高等数学：5-1定积分的概念与性质.ppt

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1,第五章定积分,定积分和不定积分是积分学的两个,一种认识问题、分析问题、解决问题的,definiteintegral,不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想,主要组成部分.,思想方法.,2,第五章定积分,基本要求,理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法.,3,第一节定积分的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,关于函数的可积性,定积分的几何意义和物理意义,小结思考题作业,定积分,定积分的性质,*,*,*,definiteintegral,4,1.曲边梯形的面积,定积分概念也是由大量的实际问题抽象出,求由连续曲线,一、定积分问题举例,来的,现举两例.,5,用矩形面积,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,近似取代曲边梯形面积,6,采取下列四个步骤来求面积A.,

（1）分割,

（2）取近似,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,7,（3）求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积A的近似值.,（4）求极限,为了得到A的精确值,取极限,形的面积:

分割无限加细,极限值就是曲边梯,8,2.求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,思路,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,9,

（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,

（2）取近似,表示在时间区间,内走过的路程.,某时刻的速度,10,二、定积分的定义,设函数f（x）在a,b上有界,在a,b中任意插入,定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,

（1）,

（2）,（3）,（4）,11,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和S总趋于确定的,极限I,称这个极限I为函数f（x）在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,12,

（2）,的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数,有关;,无关.,而与积分变量的记号无关.,13,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.几何意义,三、定积分的几何意义和物理意义,14,几何意义,各部分面积的代数和.,取负号.,它是介于x轴、函数f（x）的图形及两条,直线x=a,x=b之间的,在x轴上方的面积取正号;,在x轴下方的面积,15,例,解,2.物理意义,t=b所经过的路程s.,作直线运动的物体从时刻t=a到时刻,定积分,表示以变速,16,定理1,定理2,或,记为,黎曼德国数学家（18261866）,四、关于函数的可积性,可积.,且只有有限个间,可积.,当函数,的定积分存在时,可积.,黎曼可积,断点,充分条件,17,解,例用定义计算由抛物线,和x轴所围成的曲边梯形面积.,直线,小区间,的长度,取,18,对于任一确定的自然数,积分和,当n取不同值时,近似值精度不同.,n取得越大,近似程度越好.,19,讨论定积分的近似计算问题.,存在.,n等分,用分点,分成n个长度相等的小区间,长度,取,有,每个小区间,对任一确定的自然数,20,取,如取,矩形法,公式,矩形法的几何意义,21,对定积分的补充规定,说明,五、定积分的性质,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,22,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,23,证,性质2,性质1和性质2称为,线性性质.,24,补充,例,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,假设,的相对位置如何,上式总成立.,不论,25,证,性质4,性质5,如果在区间,则,26,解,令,于是,比较积分值,和,的大小.,例,27,性质5的推论1,证,如果在区间,则,于是,性质5,如果在区间,则,28,证,说明,性质5的推论2,性质5,如果在区间,则,可积性是显然的.,由推论1,29,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,30,解,估计积分,例,31,解,估计积分,例,32,证,由闭区间上连续函数的介值定理:

性质7（定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:

积分中值公式,至少存在一点,使,即,33,定理用途,无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求连续变量的平均值要用到.,如何去掉积分号来表示积分值.,34,解,例,定积分几何意义,求电动势,在一个周期上的,平均值,35,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,36,例,证,由积分中值定理有,（a为常数）,37,3.定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4.典型问题,

（1）估计积分值;,

（2）不计算定积分比较积分大小.,六、小结,1.定积分的实质:

特殊和式的极限.,2.定积分的思想和方法:

以直代曲、以匀代变.,四步曲:

分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,38,思考题1,证,夹逼定理,即得,39,思考题2,解,由定积分几何意义可知,用定积分的几何意义计算,并求,所围成图形的,面积（如图）.,图形,40,41,作业,习题5-1（233页）,2.

（1）3.4.5.

（2）6.

（2）（4）8.

（1）（3）（5）,