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初二数学97文档

5．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．

方法1：

方法2：

（2）观察图②请你写出下列三个代数式：

（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系．

；

（3）根据

（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：

a-b=5，ab=-6，求：

（a+b）2的值；

②已知：

a＞0，a−

2/a＝1，求：

a+2/a

的值．

30．已知：

BD∥GE，AQ平分∠FAC，交BD于Q，∠GFA=50°，∠Q=15°

求：

∠ACB的度数．

29．你能化简（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？

我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．

（1）先填空：

（a-1）（a+1）=

；（a-1）（a2+a+1）=

；

（a-1）（a3+a2+a+1）=

；…

由此猜想（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=

．

（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？

①2199+2198+2197+…+22+2+1；

②若a5+a4+a3+a2+a+1=0，则a6等于多少？

25．如图，直线AB∥CD．

（1）在图1中，∠BME、∠E，∠END的数量关系为：

；（不需证明）

在图2中，∠BMF、∠F，∠FND的数量关系为：

；（不需证明）

（2）如图3，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E与∠F互补，求∠FME的大小．

（3）如图4中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化？

若变化，说明理由；若不变化，求∠FEQ的度数．

21．如图1，在底面积为100cm2、高为20cm的长方体水槽内放人一个圆柱形烧杯．以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变．水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2所示．

（1）写出函数图象中点A、点B的实际意义；

（2）求烧杯的底面积；

（3）若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间．

25．如图：

E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD=4cm，BC=3cm，且AD∥BC．

（1）你认为AE和BE有什么位置关系？

并验证你的结论；

（2）当点F运动到离点A多少cm时，△ADE才能和△AFE全等？

为什么？

（3）在

（2）的情况下，此时BF=BC吗？

为什么？

并求出AB的长．

24．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

（1）若AB=AC，∠BAC=90°．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；

②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；

（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．

22．在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

①求证：

DG=DC；

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，

（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在

（1）中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

24.解：

（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，

∴∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中，

AB＝AC

∠CAF＝∠BAD

AD＝AF

，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD；

②如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°，

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中，

AB＝AC

∠CAF＝∠BAD

AD＝AF

，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD；

（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC=AE，∠AED=45°，

∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，

∴∠CAF=∠EAD，

在△ACF和△AED中，

AC＝AE

∠CAF＝∠EAD

AD＝AF

，

∴△ACF≌△AED（SAS），

∴∠ACF=∠AED=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD．

5.解：

（1）方法1：

（m-n）2；

方法2：

（m+n）2-4mn；

（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；

故答案为：

（m-n）2；（m+n）2-4mn；（m-n）2=（m+n）2-4mn；

（3）①解：

∵a-b=5，ab=-6，

∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1；

②解：

由已知得：

（a+

2/a）2=（a-

2/a）2+4•a•

2/a=12+8=9，

∵a＞0，a+

2/a＞0，

∴a+

2/a=3．

25.解：

（1）如图1，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠BME=∠1，∠END=∠2，

∴∠1+∠2=∠BME+∠END，

即∠E=∠BME+∠END；

如图2，∵AB∥CD，

∴∠3=∠FND，

∴∠BMF=∠F+∠3=∠F+∠FND，

即∠BMF=∠F+∠FND；

故答案为：

∠E=∠BME+∠END；∠BMF=∠F+∠FND；

（2）如图3，设∠END=x°，∠BNE=y°，

由

（1）的结论可得x+y=∠E，2x+∠F=y，

消掉x得，3y=2∠E+∠F，

∵2∠E与∠F互补，

∴2∠E+∠F=180°，

∴3y=180°，

解得y=60°，

∵MB平分∠FME，

∴∠FME=2y=2×60°=120°；

（3）由

（1）的结论得，∠MEN=∠BME+∠END，

∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，

∴∠FEN=

1/2∠MEN=

1/2（∠BME+∠END），

∠ENP=

1/2∠END，

∵EQ∥NP，

∴∠NEQ=∠ENP，

∴∠FEQ=∠FEN-∠NEQ=

1/2（∠BME+∠END）-

1/2∠END=

1/2∠BME，

∵∠BME=60°，

∴∠FEQ=

1/2×60°=30°．

25.

解答：

解：

（1）AE⊥BE；（1分）

∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠2=

1

2

∠DAB，∠3=

1

2

∠ABC，

∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BE；（3分）

（2）当点F运动到离点A为4cm（即AF=AD=4cm）时，△ADE≌△AFE；（4分）

∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

在△AFE与△ADE中有∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，

∴△AFE≌△ADE；（6分）

（3）BF=BC；

∵△AFE≌△ADE，

∴∠D=∠5，

∵AD∥BC，

∴∠D+∠C=180°，

∵∠5+∠6=180°，

∴∠C=∠6，

在△ECB与△EFB中有

∠3＝∠4

∠C＝∠6

BE＝BE

∴△ECB≌△EFB，

∴BF=BC．（8分）

∵AF=AD=4cm，BF=BC=3cm，

∴AB=AF+BF=3+4=7（cm）．（10分）

29.解：

（1）（a-1）（a+1）=a2-1；（a-1）（a2+a+1）=a3-1；

（a-1）（a3+a2+a+1）=a4-1；…由此猜想（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=a100-1；

（2）①根据得出的结论得：

2199+2198+2197+…+22+2+1=（2199+2198+2197+…+22+2+1）（2-1）=2200-1；

 ②根据题意得：

（a-1）（a5+a4+a3+a2+a+1）=a6-1，

将a5+a4+a3+a2+a+1=0代入得：

a6=1．

故答案为：

（1）a2-1；a3-1；a4-1；a100-1

30.角形外角的性质即可得出结论．

解答：

解：

过点A作AH∥BD，

∵BD∥GE，

∴BD∥GE∥AH，

∵∠GFA=50°，∠Q=15°，

∴∠FAH=50°，∠HAQ=∠Q=15°，

∴∠FAQ=∠FAH+∠HAQ=50°+15°=65°．

∵AQ平分∠FAC，

∴∠FAQ=∠CAQ=65°，

∵∠ACB是△ACQ的外角，

∴∠ACB=∠CAQ+∠Q=65°+15°=80°．

21、：

（1）点A：

烧杯中刚好注满水；

点B：

水槽中水面恰与烧杯中水面齐平；

（2）设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度为vcm3/s，注满水槽所用时间为t0s．由图2知，当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是h1cm（即烧杯高度）．于是，Sh1=18v，100h1=90v

则有100h1=90×1/18Sh1，即S=20．

所以，烧杯的底面积为20cm2．

（3）若h1=9，则

v=Sh/18＝1/18×20×9=10．

所以，注水速度为10cm3/s．

由vt0=100×20，解得t0=200．

因此，注满水槽所用时间为200s．

22.

（2）根据题意画出图形，再利用②中方法即可得出FH=FC．

解答：

解：

（1）①证明：

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

又GD⊥AC，

∴∠ADG=90°，

在△ADG中，

∠A+∠ADG+∠AGD=180°，

∴∠AGD=45°，

∴∠A=∠AGD，

∴AD=DG，

又D是AC中点，

∴AD=DC，

∴DG=DC，

②由①DG=DC，

又∵DF=DE，

∴DF-DG=DC-DE，

即FG=CE，

由①∠AGD=45°，

∴∠HGF=180°-45°=135°，

又DE=DF，∠EDF=90°，

∴∠DEF=45°，

∴∠CEF=180°-45°=135°，

∴∠HGF=∠FEC，

又HF⊥CF，

∴∠HFC=90°，

∴∠GFH+∠DFC=180°-90°=90°，

又Rt△FDC中，

∠DFC+∠ECF=90°，

∴∠GFH=∠ECF，

在△FGH和△CEF中

∠HGF＝∠FEC

GF＝EC

∠GFH＝∠ECF

，

∴△FGH≌△CEF（ASA），

∴FH=FC；

（2）如图所示，

△FHG≌△CFE，

不变，FH=FC．