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浙江省地处中国东南沿海长江三角洲南翼，是中国面积最小、人口密度最大的省份之一。
改革开放以来，浙江省的经济发展速度一直居全国各省前列，这主要得益于市场的先发优势和民营经济的内在活力。
据统计，1978-2001年，浙江省GDP年均增长率高达13.3%，由124亿元猛增至6700亿元，经济总量在全国的排序由原来的第12为迅速升值第4位。
那么，作为一个资源小省、经济大省，浙江省的社会发展是否依赖于自身强大的经济优势，或是其他方面的优势呢？
另外，浙江省有11个地级市，每个城市都有其各自的发展特点，例如：
杭州的经济发展主要依靠吸引投资；
宁波的经济发展主要依靠港口贸易；
温州的经济发展主要依靠服装等的加工生产。
那么，这些地级市的社会发展状况排名如何呢？
这都是本文要探讨的问题，本文从实证角度利用因子分析法对浙江省各地级市的社会发展水平进行评价，并由此概括全省的社会发展水平。
2理论基础
2.1方法的选用
社会发展水平的评价方法有多种，传统的多指标综合评价方法中的指标权重的设置往往带有一定的主观随意性，虽然多指标大样本可以为综合评价提供丰富的信息，但在一定程度上增加了评价工作的复杂性，每个指标都在不同的角度和层面反映评价目标的某一信息，而各个指标之间往往存在一定的相关关系，反映的信息将产生重叠，导致统计分析失真。
因子分析法是用较少个数的公共因子的线性函数和特定因子之和来表达原来观测的每个变量，在减少分析指标的同时，尽量减少原指标包含信息的损失，对所收集的资料作全面的分析，从研究相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错综复杂的变量归纳为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。
因此本文选用因子分析法作为理论的基础，并结合SPSS软件进行分析判断的工具。
2.2因子分析法的简介
2.2.1因子分析数学模型
通常在作因子分析时，针对变量作因子分析，称为R型因子分析；
针对样品作因子分析，称为Q型因子分析。
R型因子分析数学模型为：
可表示为：
其中X为可实测的P维随机向量，X的每个分量代表一个指标或变量。
F=（Fl，F2，…，Fm）T为不可观测的m（m≤P）维随机向量，它的各个分量将出现在每个变量之中，所以称它们为公共因子。
矩阵A称为因子载荷矩阵，aij称为因子载荷，表示第i个变量在第j个公共因子上的载荷，向量e称为特殊因子，其中包括随机误差。
它们满足：
（1）Cov（F,e）＝0，即F与e不相关。
（2）Cov（Fi,Fj）=0,i≠j；
Var（Fi）=Cov（Fi,Fi）＝1。
i，j=1，2，…，m。
即向量F的协差阵为m阶单位阵。
（3）Cov（ei,ej）=0,i≠j；
Var（ei）=
，i，j=1，2,…，p。
即向量e的协差阵为p阶对角阵。
2.2.2因子分析法的原理
因子分析通过对变量的相关系数矩阵内部结构的分析，从中找出少数几个能控制原始变量的随机变量Fi（i=1,…，m），选取公共因子的原则是使其尽可能多地包含原始变量中的信息，建立模型X=A*F＋e，通过F再现原始变量X的众多分量xi（i=1…,p）之间的相关关系，达到简化变量降低维数的目的。
值得指出的是，为了消除指标间数量级的差异，因子分析是基于将数据标准化的基础上做的。
本文利用SPSS17.0软件作为工具，软件中对于数据的因子分析，已将变量（即指标）和各公共因子进行了标准化处理，不需先将数据标准化。
3浙江省各城市社会发展水平分析
3.1建立评价指标体系
社会发展水平的高低体现了各地全面协调发展的程度,与居民的收入水平、生活水平和生活环境密切相关，对社会发展水平进行综合评价涉及到收入层次、居住条件、生活环境以及设施等各个方面。
在遵循数据客观性、代表性和可得性的原则下,本文选取《中国区域经济统计年鉴2010》、《中国城市（镇）生活与价格年鉴2010》以及《浙江统计年鉴2009》、《中国城市统计年鉴2011》中收录的2009年浙江省的一些数据作为评价指标。
选取的9项指标分别如下：
X1-人均GDP（元）；
X2-城镇居民人均年可支配收入（元）；
X3-农村居民人均纯收入（元）；
X4-职工平均工资（元）；
X5-社会保险参保人数（人）；
X6-每万人民用汽车拥有量（辆）；
X7-固定资产投资额（亿元）；
X8-公路里程（公里）。
其中X5-社会保险参保人数是由基本医疗保险、基本养老保险和失业保险三项的人数之和确定的。
资料数据如表1所示：
表1浙江省各地级市社会发展水平综合评价指标值
城市
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
杭州
63333
26171
11822
43946.59
795.11
1453.10
2291.65
15114
宁波
60720
27237
12641
39137.62
682.52
1147.27
2004.22
9884
温州
32588
24467
10100
33891.88
308.05
818.15
837.78
13716
嘉兴
44898
24693
12685
31963.21
268.52
836.18
1233.41
7501
湖州
38865
23280
11745
33841.71
125.76
647.22
638.69
7747
绍兴
54316
26874
12026
32503.64
278.52
794.14
1055.03
9079
金华
34294
22915
9001
34768.70
205.44
1003.64
635.16
11320
衢州
25127
19539
7336
39093.57
79.67
380.06
415.40
7241
舟山
55311
24082
12612
40569.74
63.23
484.07
400.66
1680
台州
35489
24429
10006
36821.04
200.99
790.29
834.10
10988
丽水
23717
19018
5703
41141.09
59.17
455.43
279.19
12862
3.2因子分析的适宜性检验
利用软件得出变量间的pearson相关系数矩阵R，如表2（下页）所示：
表2变量相关系数矩阵
1.000
0.850
0.844
0.201
0.710
0.640
0.762
-0.136
0.869
-0.198
0.700
0.712
0.749
0.058
-0.240
0.469
0.571
-0.338
-.198
0.306
0.132
0.226
0.142
0.918
0.979
0.505
0.899
0.565
0.405
-.338
由此表可以看出，多数变量之间存在着较高的相关关系，说明变量间存在着一定的信息重叠，需要利用因子分析进行精简和分类。
另外，因子分析的适宜性检验通常采用KMO统计量和Bartlett’s球型检验法，利用软件得到表3的检验结果。
表3KMO和Bartlett的检验
取样足够度的Kaiser-Meyer-Olkin度量。
.703
Bartlett的球形度检验
近似卡方
88.173
df
28
Sig.
.000
KMO统计量用于检验变量间的偏相关性，它比较各变量的简单相关和偏相关的大小，取值范围在0～1之间。
如果各变量间存在内在联系，则由于计算偏相关时控制其他因素就会同时控制潜在变量，导致偏相关系数远远小于简单相关系数。
本文KMO检验值为0.703，因此认为这些指标比较适宜做因子分析。
Bartlett’s球型检验用于检验相关矩阵是否为单位阵，即各变量是否相互独立。
检验值小于0.01说明各变量相互独立,本文Bartlett’s球型检验值为0.000，证明适合做因子分析。
3.3确定提取的公因子数
首先，从SPSS的输出结果中得出如表4（下页）所示的矩阵R的特征值和方差贡献率，可以看到，公共因子达到3个时，其方差累积贡献率已达到96.294%，这表示提取前3个公共因子已足以概括所有因子的解释能力；
另外，从图1（下页）的碎石图中看出，开始时图中折线陡峭，从第4个因子以后，折线变得非常平缓，因此，认为选择3个公共因子是恰当的。
表4解释的总方差
成份
初始特征值
提取平方和载入
合计
方差的%
累积%
1
4.797
59.965
2
1.876
23.448
83.413
3
1.030
12.880
96.294
4
.127
1.586
97.879
5
.085
1.063
98.942
6
.044
.552
99.495
7
.031
.388
99.883
8
.009
.117
100.000
提取方法：
主成份分析。
图1碎石图
再看表5的变量共同度，当取3个因子时，每个变量的共同度都非常大。
根据变量共同度的统计意义，它刻划了全部公共因子对于变量X的总方差所作的贡献。
因此，每个变量的共同度都达到了0.9以上，说明所有变量都能被这3个公共因子所解释。
表5变量共同度表
初始
提取
X1人均GDP
.987
X2城镇居民人均年可支配收入
.990
X3农村居民人均纯收入
.999
X4职工平均工资
.998
X5参保人数
.994
X6人均民用汽车拥有量
X7固定资产投资额
.996
X8公路里程
通过以上的分析，确定了将要提取的公共因子数为3个，并得提取因子后解释的总方差如表6。
表6提取因子后解释的总方差
因子
方差的%
累计%
3.4求因子载荷阵并确定各因子的性质
因子的载荷矩阵如表7所示，多数因子的典型代表变量并不突出，不能对因子的性质做出很好的解释，因此，需要对载荷矩阵实施旋转。
表7因子载荷矩阵
人均GDP（元）
.878
-.318
.312
城镇居民人均年可支配收入（元）
.892
-.347
-.174
农村居民人均纯收入（元）
.736
-.655
职工平均工资（元）
.128
.532
.831
参保人数（人）
.931
.325
人均民用汽车拥有量（辆/万人）
.903
.303
-.175
固定资产投资额（亿元）
.954
.200
.019
公路里程（公里）
.281
.840
-.426
对因子载荷阵作旋转，是为了使因子载荷阵的结构简化，便于对公共因子进行解释。
所谓的结构简化，就是使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余因子上的载荷比较小。
因子载荷阵旋转的方法有多种，笔者选用的是方差最大正交旋转法。
得到的旋转后的因子载荷阵如表8（下页）所示。
表8旋转后的因子载荷矩阵a
.953
.064
.238
.915
.258
-.206
.957
-.129
-.196
-.042
.105
.988
.645
.695
.275
.604
.753
.078
.724
.617
.212
-.229
.956
.020
利用旋转的因子载荷阵所提供的信息，可将9项指标分为如表9所示的3类性质的因子：
表9因子成分与性质
高载荷指标
因子性质
因子一
X1-人均GDP
X2-城镇居民人均年可支配收入
X3-农村居民人均纯收入
X7-固定资产投资额
经济因子
因子二
X5-社会保险参保人数
X6-人均民用汽车拥有量
X8-公路里程（公里）
条件因子
因子三
X4-职工平均工资
报酬因子
因子一主要描述的是居民生活中的经济发展和收入状况，因此概括地称其为经济因子；
因子二描述的是居民拥有的物质条件和生活质量，因此概括地称其为条件因子；
因子三描述的是只有职工的平均工资，表示人们在付出劳动后获得的报酬，因此将其命名为报酬因子。
3.5各公共因子的得分以及赋权
从表10所示的因子得分系数矩阵，可得每个因子的得分关于变量的回归方程式为：
F1=0.281*X1+0.229*X2+0.305*X3-0.01*X4+0.086*X5+0.06*X6+0.121*X7-0.226*X8
F2=-0.167*X1+0.026*X2-0.19*X3-0.122*X4+0.214*X5+0.289*X6+0.171*X7+0.544*X8
F3=0.216*X1-0.21*X2-0.128*X3+0.846*X4+0.125*X5-0.06*X6+0.086*X7-0.166*X8
通过以上的3个因子得分方程式，可以将任意城市的指标带入，便可得到该城市某因子的得分。
表10因子得分系数矩阵
-.167
.216
.229
.026
-.210
.305
-.190
-.128
-.010
-.122
.846
.086
.214
.125
.060
.289
-.060
.121
.171
-.226
.544
-.166
当然，分析并比较各城市的社会发展水平，仅仅单独地看每个因子的得分显然是不足够的，必须从整体去比较城市之间的综合水平。
因此，必须要计算出每个城市的综合得分以比较城市之间的社会发展水平。
因子分析综合评价采用客观赋权法，利用表6中的数据，将各公共因子的方差贡献在方差累计贡献中所占的比重作为权重，即公共因子权重=单个因子方差贡献/所有因子方差累计贡献，分别得到各个公共因子的权重。
例如：
F1的权重=59.965%/96.294%=62.273%。
经计算，各公共因子权重分别为：
W（F1）=62.273%，W（F2）=24.250%，W（F3）=13.376%。
3.6因子的地区排名
利用公式：
F=0.62273*F1+0.2425*F2+0.13376*F3计算各地区的综合得分，得到的每个城市的因子得分和综合得分如表11所示：
表11因子得分
F1
F2
F3
F
0.99030
1.63431
1.61068
1.23
1.31369
0.54247
0.61110
1.03
-0.44815
0.84424
-1.03679
-0.21
0.59802
-0.27161
-1.11168
0.16
0.01800
-0.61173
-0.76702
-0.24
0.75501
-0.17151
-1.06816
0.29
-0.58605
0.54644
-0.64773
-0.32
-1.24284
-0.70524
0.69746
-0.85
0.78413
-2.22723
1.04947
0.09
-0.29077
0.20897
-0.28722
-0.17
-1.89134
0.21089
0.94990
-1.00
需要注意的是，表11中的所有得分都是标准化后的。
由此得到因子的地区排名如表12所示：
表12浙江省各地市分项及总体社会发展排名情况
名次
综合排名
9
10
11
按照综合排名的顺序从左到右描绘的各城市的综合得分的散点图如图2所示：
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