圆锥曲线定义及应用精Word文件下载.docx

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=⎩

⎪⎨⎪⎧4x,x≥0,0,x<

0.7.如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?

若A圆O外一个定点,点Q的轨迹是什么?

连接AQ,QO+QP=QO+QA>

AO,所以点Q的轨迹是以A和O为焦点半径r为长轴长的椭圆。

A是圆O点,点Q的轨迹是双曲线。

8.已知动圆A和圆B:

（x+32+y2=81（x-32

+y2

=1外切,求动圆圆心A的轨迹方程。

解:

设动圆A的半径为R,则

动圆A和圆B内切,所以|AB|=|PB|-R,

动圆A和圆C外切,所以|AC|=|CQ|+R,所以|AB|+|AC|=|PB|+|CQ|=9+1=10

由椭圆定义知,动圆圆心A的轨迹为B,C为焦点的椭圆,方程为:

3.已知动圆A和圆B:

（x+32+y2=9及

圆C:

（x-32+y2=1都内切,求动圆圆心A的轨迹方程。

动圆A和圆B内切,所以|AB|=R-|PB|,动圆A和圆C外切,所以|AC|=R-|CQ|,所以|AC|-|AB|=|PB|-|CQ|=3-1=2

由双曲线定义知,动圆圆心A的轨迹为B,C为焦点的双曲线的一支,方程为:

（118

-≤=+xyx

9.如图,ABCD是一张矩形纸片,AB=4,AD=8,按图形所示方法进行折叠,使折叠后的B点都

落在AD上,此时B记为Bˊ,（注:

折痕EF中,点F也可落在边CD上。

过Bˊ作Bˊ

T∥CD交

EF于T点,求T点的轨迹方程.

分析:

本题是有关折叠问题的一道题,应注意折叠前后的图形联系。

就本题而言,连

结TB后,有|TB|=|TBˊ

|,即T到定点B的距离与到直线AD距离相等,所以T的轨迹为抛物线,剩下的工作就是建系,求方程及范围,同样应注意应用图形的几何性质.

解:

连结TB,由ΔEBT与ΔEBˊT全等可知,|TB|=|TBˊ

|即动点T到定点B与到定直线

AD距离相等,所以T的轨迹为抛物线的一部分,B为焦点,AD

为准线,以AB的中垂线为x轴,以BA为y轴建立直角坐标系,AB中点为O,设其方程为x2=-2py,则|OB|=

2

p

=2,∴所求方程为x2=-8y.当沿x轴为折痕时,T在原点O;

当沿A与BC中点连线为折痕时,T在BC的中点,所以T点横坐标范围是0≤x≤4.∴T点的轨迹方程为x2=-8y（0≤x≤4.

二、定义应用（注意变化中的不变性,注意焦点与焦点、焦点与准线间的转化

1.M是椭圆14

92

2=+yx上的任意一点,F1、F2是椭圆的左右焦点,12MFMF则的最大值是.分析:

621=+MFMF,

21MFMF⨯≤2

212⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+MFMF=9∴答案是9

2.如图,M是以A、B为焦点的双曲线222xy-=右支上任一点,若点M到点C（3,1与点B的距离之和为S,则S的取值范围是（

A

、+∞B

、

+∞C

、-+D

+∞

此题的得分率很低,用函数观点求解困难重重。

若能利用双曲线的第

一定义,则势如破竹。

解法如下:

连结MA,由双曲线的第一定义可得:

2MBMCMAaMC+=-+

MAMC=+-=-当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。

如果此题就到此为止,未免太可惜了!

于是笔者进一步引导学生作如下的探究:

变式（1如果M点在左支上,则点M到点C（3,1与点B的距离之和为S,则S的取值范围是多少?

变式（2如果M是以A、B为焦点的椭圆22

143

xy+

=上任一点,若点M到点1,12C⎛⎫

⎪⎝⎭

与点B的距离之差为S,则S的最大值是多少?

变式（3如果M是以A、B为焦点的椭圆22

xy+=上任一点,若点M到点

1,12C⎛⎫

与点B的距离之和为S,则S的取值范围是多少?

连结MA,由椭圆的第一定义可得:

（22MBMCaMAMCaMAMC+=-+=--,当且仅当A、M、C三点共

线时取得最大、最小值,如上图所示。

对于抛物线,也有类似的结论,由于较简单,在此就不一一列举了。

3.已知定点M（3,2,F是抛物线y2=2x的焦点,在此抛物线上求一点P,使|PM|+|PF|取得最小值,求点P的坐标分析:

如图,由抛物线的定义:

抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。

即|PF|=|PN|

∴|PM|+|PF|=|PM|+|PN|

∴当M、P、N三点共线时距离之和最小。

例2、2008年福建省高考数学试题选择题文科第12题、理科的第11题:

双曲线22

221xyab-=（a>

0,b>

0的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

A、（1,3

B、（]1,3

C、（3,+∞D、[3,+∞

若能利用双曲线的第一定义,则迅速获解.解法如下:

不妨设|PF2|=m,

则|PF1|=2m,

故a=m,由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|可得,323,13c

mceea

≥⇒=≤∴<

≤故选B.

例3、如图,椭圆C的方程为22

221（0yxabab+=>

>

A是椭圆C的短轴左

顶点,过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点,点P（1,0,且BP∥y轴,

△APB的面积为9

.

（1求椭圆C的方程;

（2在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.

同样,此题若采用函数观点,问题（2将变得复杂化!

若能利用双曲线的第一定义,则解答就容解易得多了。

简解:

（1,2

9

21=⋅=∆PBAPSAPB又∠PAB=45°

AP=PB,故AP=BP=3.∵P（1,0,A（-2,0,B（1,-3

∴b=2,将B（1,-3代入椭圆得:

191bba=⎧⎪

⎨+=⎪⎩

得2

12a=,所求椭圆方程为22

1124

yx+=

（2设椭圆C的焦点为F1,F2,则易知F1（0,

-F2（0

,直线AB的方程为:

20xy++=,因为M在双曲线E上,要双曲线E的实轴最大,

只须||MF1|-|MF2||最大,设F1（0

-AB的对称点为

1'

F

（-2,-2

则直线'

12FF与直线的交点为所求M,因为'

12FF的方

程为:

（30yx++-=,

联立（3020

yxxy⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩得M（1,3-

又'

2a=||MF1|-|MF2||=||M1'

F|-|MF2||21|'

|FF≤

=

故2,6'

'

max

==ba,故所求双曲线方程为:

162

yx-=

例5:

点A（3,2为定点,点F是抛物线yx2

4=的焦点,点P在抛物线y2

=4x上移动,若||||PAPF+取得最小值,求点P的坐标。

分析：

题设中|PF|是抛物线的焦半径，则|PF|等于点P到其准线的距离，所以|PA|+|PF|的最小值即可转化为|PA|+d的最小值.解：

抛物线y=4x的准线方程为x=-1，设P到线的距离为d，则2|PA|+|PF|=|PA|+d。

要使|PA|+|PF|取得最小值，则过A向准线作垂线y=2可知此时|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）.例6一直线过圆锥曲线的焦点F1且倾抖角为600，它与圆锥曲线交于A、B两点，若|FA|=2|FB|，求该圆锥曲线的离心率．分析：

因AB是焦点弦，故其焦半径可以转化为点A、B到准线的距离，利用平面几何图形性质，结合统一性定义可得以解决．解：

设|FB|＝x，则|FA|=2x，|AB|=3x,过A、B两点且平行于x轴的直线分别交其相应的2xx,|BN|=,（e为圆锥曲线的离心率）.过B点作BK⊥AM,Kee3x3xx2x+=为垂足，由于直线AB与x轴成600，由此可求得：

|AK|=,又|AM|=|AK|+|BN|,即,22ee2所以e=.3准线于M、N两点，则|AM|=【数学理卷·

2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word版】8．设点P是椭圆x2y2右焦点，I为DPF1F2+=1（a>

b>

0上一点，F1,F2分别是椭圆的左、a2b2的内心，若SDIPF1+SDIPF2=2SDIF1F2，则该椭圆的离心率是（▲）。

1A．4B．22C．12D．32【知识点】椭圆方程，离心率H5【答案解析】C解析：

设DPF1F2的内切圆半径为r，则由SDIPF1+SDIPF2=2SDIF1F2得111PF1+PF2=2F1F22a=2´

2cPF1´

r+PF2´

r=2´

F1F2´

r，即，所以2221e=即2。

【思路点拨】设出内切圆半径，根据面积条件列出相应等式，找到椭圆中量的关系即可求出离心率。