二次全等讲义及答案.docx
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二次全等讲义及答案
Ø课前预习
二次全等（讲义）
1.回顾七年级上册学习的几何初步填空：
遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：
由平行想到，，；由垂直想到，；由外角想到．
2.已知：
如图，AB，CD相交于点O，AO=BO，CO=DO，过点O作EF交AC于点E，交BD于点F．
求证：
△BOF≌△AOE．
1
Ø精讲精练
1.已知：
如图，点C为线段AB上一点，在△ACM，△CBN中，AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F．
求证：
①△CAN≌△CMB；②△CEN≌△CFB．
2.已知：
如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=
∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG．
求证：
①△ADE≌△ABG；②EF=DE+BF．
2
3.已知：
如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点E，BE=CE．求证：
△ABC≌△DCB．
4.已知：
如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作ED⊥AC于点E，FB⊥AC于点F，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．求证：
△DEG≌△BFG．
3
5.已知：
如图，AB=AC，BD=CD，AD与BC相交于点O．求证：
AD⊥BC．
6.已知：
如图，在Rt△ABE和Rt△ACF中，∠E=∠F=90°，BE=CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB．求证：
AM=AN．
4
7.已知：
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．试猜想AB和AC的数量关系，并证明你的猜想．
5
【参考答案】
Ø课前预习
1.同位角；内错角；同旁内角；
直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2.证明：
如图，
在△BOD和△AOC中，
⎧BO=AO（已知）
⎪∠BOD=∠AOC（对顶角相等）
⎪DO=CO（已知）
∴△BOD≌△AOC（SAS）
∴∠B=∠A（全等三角形对应角相等）在△BOF和△AOE中，
⎧∠B=∠A（已证）
⎪BO=AO（已知）
⎪∠BOF=∠AOE（对顶角相等）
∴△BOF≌△AOE（ASA）
Ø精讲精练
1.证明：
如图，
①∵∠ACM=∠BCN=60°
∴∠MCN=60°
∴∠ACN=∠MCB=120°
在△CAN和△CMB中，
⎧AC=MC（已知）
⎪∠ACN=∠MCB（已证）
⎪CN=CB（已知）
∴△CAN≌△CMB（SAS）
②∵△CAN≌△CMB
∴∠ANC=∠MBC（全等三角形对应角相等）
∵∠ECN=60°；∠FCB=60°
∴∠ECN=∠FCB
在△CEN和△CFB中，
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⎪
⎧∠ECN=∠FCB（已证）
⎨CN=CB（已知）
⎩
⎪∠ENC=∠FBC（已证）
∴△CEN≌△CFB（ASA）
2.证明：
如图，
①∵∠D=∠ABC=90°
∴∠ABG=90°
∴∠D=∠ABG
在△ADE和△ABG中，
⎧AD=AB（已知）
⎪∠D=∠ABG（已证）
⎪DE=BG（已知）
∴△ADE≌△ABG（SAS）
②∵△ADE≌△ABG（已证）
∴AE=AG（全等三角形对应边相等）
∠EAD=∠GAB（全等三角形对应角相等）
∵∠EAF=45°；∠BAD=90°
∴∠BAF+∠EAD=45°
∴∠BAF+∠GAB=45°即∠GAF=∠45°
∴∠GAF=∠EAF
在△AFE和△AFG中，
⎧AE=AG（已证）
⎪∠EAF=∠GAF（已证）
⎪AF=AF（公共边）
∴△AFE≌△AFG（SAS）
∴EF=GF（全等三角形对应边相等）
∵GF=BG+BF
∴EF=DE+BF
3.证明：
如图，
在△AEB和△DEC中，
⎧∠A=∠D（已知）
⎪∠AEB=∠DEC（对顶角相等）
⎪BE=CE（已知）
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∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴AB=DC（全等三角形对应边相等）在Rt△ABC和Rt△DCB中，
⎧BC=CB（公共边）
⎩
⎨AB=DC（已证）
∴△ABC≌△DCB（HL）
4.证明：
如图，
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF即AF=CE
∵DE⊥AC；BF⊥AC
∴∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
⎧AB=CD（已知）
⎩
⎨AF=CE（已证）
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）
∴BF=DE（全等三角形对应边相等）在△DEG和△BFG中，
⎧∠DEG=∠BFG（已证）
⎪∠EGD=∠FGB（对顶角相等）
⎪DE=BF（已证）
∴△DEG≌△BFG（AAS）
5.证明：
如图，
在△ABD和△ACD中，
⎧AB=AC（已知）
⎪BD=CD（已知）
⎪AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）在△BAO和△CAO中，
⎧AB=AC（已知）
⎪∠BAO=∠CAO（已证）
⎪AO=AO（公共边）
∴△BAO≌△CAO（SAS）
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∴∠AOB=∠AOC（全等三角形对应角相等）
∵∠AOB+∠AOC=180°
∴∠AOB=90°
∴AD⊥BC
6.证明：
如图，
∵∠EAC=∠FAB
∴∠EAC+∠BAC=∠FAB+∠BAC即∠BAE=∠CAF
在△ABE和△ACF中，
⎧∠BAE=∠CAF（已证）
⎪∠E=∠F（已知）
⎪BE=CF（已知）
∴△ABE≌△ACF（AAS）
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）在△AEM和△AFN中；
⎧∠E=∠F（已知）
⎪AE=AF（已证）
⎪∠EAM=∠FAN（已知）
∴△AEM≌△AFN（ASA）
∴AM=AN（全等三角形对应边相等）
7.AB=AC，理由如下：
证明：
如图，
∵DF⊥AB；DE⊥AC
∴∠AFD=∠AED=∠BFD=∠CED=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠EAD
在△AFD和△AED中；
⎧∠AFD=∠AED（已证）
⎪∠FAD=∠EAD（已证）
⎪AD=AD（公共边）
∴△AFD≌△AED（AAS）
∴DF=DE，AF=AE（全等三角形对应边相等）
∵点D是BC的中点
∴BD=CD
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在Rt△BFD和Rt△CED中
⎧BD=CD（已证）
⎩
⎨DF=DE（已证）
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）
∴BF=CE（全等三角形对应边相等）
∴AF+BF=AE+CE即AB=AC
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