函数概念与基本初等函数Word下载.docx
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设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的
元素，在集合B中都有
元素和它对应，这样的对应叫做
到
的映射，记作
.
2．象与原象：
如果f:
A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的
叫做象，
叫做原象。
二、函数
．定义：
设A、B是
，f:
A→B是从A到B的一个映射，则映射f:
A→B叫做A到B的
，记作
2．函数的三要素为
、
，两个函数当且仅当
分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有
。
例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（
）.
A.
B.
c.
D.
解：
c
变式训练1：
下列函数中，与函数y=x相同的函数是
（
）
A.y=
B.y=2
c.y=lg10x
D.y=
例2.给出下列两个条件：
（1）f=x+2;
f为二次函数且f=3,f-f=4x+2.试分别求出f的解析式.
（1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2.
则f=2+2=t2-1,即f=x2-1,x∈［1，+∞）.
（2）设f=ax2+bx+c,
∴f=a2+b+c,则f-f=4ax+4a+2b=4x+2.
∴，∴，又f=3c=3,∴f=x2-x+3.
变式训练2：
（1）已知f（）=lgx，求f（x）；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
（3）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.
令+1=t，则x=，
∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈.
（2）设f（x）=ax+b，则
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，
∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.
（3）2f（x）+f（）=3x，
①
把①中的x换成，得2f（）+f（x）=
②
①×
2-②得3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-.
例3.等腰梯形ABcD的两底分别为AD=2a，Bc=a，∠BAD=45°
，作直线mN⊥AD交AD于m，交折线ABcD于N，记Am=x，试将梯形ABcD位于直线mN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.
作BH⊥AD，H为垂足，cG⊥AD，G为垂足，
依题意，则有AH=，AG=a.
（1）当m位于点H的左侧时，N∈AB，
由于Am=x，∠BAD=45°
.∴mN=x.∴y=S△AmN=x2（0≤x≤）.
（2）当m位于HG之间时，由于Am=x，∴mN=，BN=x-.
∴y=SAmNB
=［x+（x-）］=ax-
（3）当m位于点G的右侧时，由于Am=x，mN=mD=2a-x.
∴y=SABcD-S△mDN=
综上：
y=
变式训练3：
已知函数f=
（1）画出函数的图象；
（2）求f，f,f的值.
（1）分别作出f在x＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略.
（2）f=12=1,f=-f=f=1.
1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．
2．函数的解析式常用求法有：
待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．
3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．
第2课时
函数的定义域和值域
一、定义域：
．函数的定义域就是使函数式
的集合.
2．常见的三种题型确定定义域：
①已知函数的解析式，就是
②复合函数f[g]的有关定义域，就要保证内函数g的
域是外函数f的
域.
③实际应用问题的定义域，就是要使得
有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
．函数y＝f中，与自变量x的值
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑
，取决于
，常用的方法有：
①观察法；
②配方法；
③反函数法；
④不等式法；
⑤单调性法；
⑥数形法；
⑦判别式法；
⑧有界性法；
⑨换元法（又分为
法和
法）
例如：
①形如y＝，可采用
法；
②y＝，可采用
法或
③y＝a[f]2＋bf＋c，可采用
④y＝x－，可采用
⑤y＝x－，可采用
⑥y＝可采用
法等.
例1.求下列函数的定义域：
（1）y=;
y=;
y=.
（1）由题意得化简得
即故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}.
（2）由题意可得解得
故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±
}.
（3）要使函数有意义，必须有
即∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.
求下列函数的定义域：
（1）y=+0;
y=+0;
y=+lgcosx;
（1）由得所以-3＜x＜2且x≠1.
故所求函数的定义域为（-3，1）∪.
（2）由得∴函数的定义域为
（3）由,得
借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为
例2.设函数y=f的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.
（1）y=f;
y=f;
y=fy=f+f.
（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f的定义域为［0,
］.
（2）仿
（1）解得定义域为［1，+∞）.
（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.
列出不等式组
故y=f的定义域为.
（４）由条件得讨论：
①当即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］;
②当即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.
综上所述：
当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；
当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］.
若函数f的定义域是［0，1］，则f&
#8226;
f（0＜a＜）的定义域是
）A.
B.［a，1-a］
c.［-a，1+a］
D.［0，1］
B
例3.求下列函数的值域：
（1）y=
y=x-;
y=.
（1）方法一
（配方法）
∵y=1-而
∴0＜∴∴值域为.
方法二（判别式法）
由y=得
∵y=1时,1.又∵R，∴必须=2-4y≥0.
∴∵∴函数的值域为.
（2）方法一
（单调性法）
定义域，函数y=x,y=-均在上递增，
故y≤
∴函数的值域为.
方法二（换元法）
令=t,则t≥0，且x=∴y=-（t+1）2+1≤（t≥0）,
∴y∈（-∞，］.
（3）由y=得,ex=∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1.
∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}.
求下列函数的值域：
y=|x|.
（1）y=-，∵≠0,
∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
方法一
∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,
故函数值域为［0，］.
方法二
y=|x|&
∴0≤y≤即函数的值域为.
例4．若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.
∵f（x）=2+a-.
∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间.
∴f（x）min=f
（1）=a-=1
①
f（x）max=f（b）=b2-b+a=b
②
由①②解得
变式训练4：
已知函数f=x2-4ax+2a+6.
（1）求函数的值域为［0，+∞）时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f=2-a|a+3|的值域.
∴Δ=16a2-4=02a2-a-3=0∴a=-1或a=.
（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8≤0-1≤a≤,∴a+3＞0,
∴f=2-a=-a2-3a+2=-2+.
∵二次函数f在上单调递减，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，
∴f的值域为.
．求函数的定义域一般有三类问题：
一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；
二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；
三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.
2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
第3课时
函数的单调性
一、单调性
如果函数y＝f对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、&
lt;
x2时，①都有
，则称f在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个
；
②都有
，则称f在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个
若函数f在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f称为
2．判断单调性的方法：
定义法，其步骤为：
①
②
③
导数法，若函数y＝f在定义域内的某个区间上可导，①若
，则f在这个区间上是增函数；
②若
，则f在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
．若f,g均为增函数，则f＋g
函数；
2．若f为增函数，则－f为
3．互为反函数的两个函数有
的单调性；
4．复合函数y＝f[g]是定义在m上的函数，若f与g的单调相同，则f[g]为
，若f,g的单调性相反，则f[g]为
5．奇函数在其对称区间上的单调性
，偶函数在其对称区间上的单调性
例1.已知函数f=ax+
，证明：
函数f在上为增函数.
证明
方法一
任取x1,x2∈,
不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,
＞1且＞0,
∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,
∴＞0,
于是f-f=+＞0,
故函数f在（-1,+∞）上为增函数.
f=ax+1-,
求导数得=axlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,＞0,
＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f在（-1,+∞）上为增函数.
方法三
∵a＞1,∴y=ax为增函数，
又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.
∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.
讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.
方法一
显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，
设x1＞x2＞0,则
f-f=（x1+）-（x2+）=&
（1-）.
∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,
则f（x1）-f（x2）＜0，即f＜f,故f（x）在（0，］上是减函数.
当x1＞x2≥时，0＜＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f＞f,
故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，
∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；
f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数.
由=1-=0可得x=±
当x＞或x＜-时，＞0∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.
同理0＜x＜或-＜x＜0时，＜0
即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.
例2.判断函数f=在定义域上的单调性.
函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f=
,
可分解成两个简单函数.
f=
=x2-1的形式.当x≥1时，u为增函数，为增函数.
∴f（x）=在［1，+∞）上为增函数.当x≤-1时，u（x）为减函数，为减函数，
∴f=在（-∞,-1］上为减函数.
求函数y=（4x-x2）的单调区间.
由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.
∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.
又y=t在（0，+∞）上是减函数，
∴函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4）.
例3.求下列函数的最值与值域：
（1）y=4-;
y=x+;
y=.
（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-2.
∴t∈［0，4］，∈［0，2］，
从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.
函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论
x＞0时,即可知x＜0时的最值.
∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,
等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.
任取x1,x2,且x1＜x2,
因为f-f=x1+-=
所以当x≤-2或x≥2时，f递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f递减.
故x=-2时，f最大值=f=-4,x=2时，f最小值=f=4,
所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.
（3）将函数式变形为y=,
可视为动点m（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.
ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=.
显然无最大值.故值域为［，+∞）.
在经济学中，函数f的边际函数mf定义为mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3000x-20x2，其成本函数为c（x）=500x+4000（单位：
元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数mP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数mP（x）是否具有相同的最大值？
（1）P（x）=R（x）-c（x）=（3000x-20x2）-（500x+4000）=-20x2+2500x-4000
（x∈［1，100］且x∈N,）
mP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2500（x+1）-4000-（-20x2+2500x-4000）
=2480-40x（x∈［1，100］且x∈N）.
（2）P（x）=-20max=74120（元）.
因为mP（x）=2480-40x是减函数，所以当x=1时，mPmax=2440满足f-f，且当x＞1时，f＜0.
（1）求f的值；
（2）判断f=-1,解不等式f＜-2.
（1）令x1=x2＞0,代入得f=f-f=0,故f=0.
（2）任取x1,x2∈，且x1＞x2,则＞1,由于当x＞1时，f＜0,
所以f＜0,即f-f＜0,因此f＜f,
所以函数f在区间上是单调递减函数.
（3）由f=f-f得f-f,而f=-1,所以f=-2.
由于函数f在区间（0,+∞）上是单调递减函数，
由f＜f,得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.
函数f对任意的a、b∈R,都有f=f+f-1,并且当x＞0时，f＞1.
（1）求证：
f是R上的增函数；
（2）若f=5,解不等式f＜3.
（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,
则x2-x1＞0,∴f＞1.
f-f=f+x1）-f=f+f-1-f=f-1＞0.
∴f（x2）＞f.
即f是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f
（2）+f
（2）-1=5，
∴f
（2）=3，
∴原不等式可化为f＜f,
∵f是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜,故解集为（-1,）.
1．证明一个函数在区间D上是增函数的方法有：
定义法.其过程是：
作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；
求导法.其过程是：
求导——判断导函数的符号——下结论.
2．确定函数单调区间的常用方法有：
观察法；
图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；
定义法；
求导法.注意：
单调区间一定要在定义域内.
3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：
一类是由参数的范围判定其单调性；
一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.
第4课时
函数的奇偶性
．奇偶性：
①定义：
如果对于函数f定义域内的任意x都有
，则称f为奇函数；
若
，则称f为偶函数.
如果函数f不具有上述性质，则f不具有
.如果函数同时具有上述两条性质，则f
②简单性质：
）图象的对称性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于
对称；
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于
对称.
2）函数f具有奇偶性的必要条件是其定义域关于
2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期
例1.
判断下列函数的奇偶性.
（1）f=;
f=log2;
f=lg|x-2|.
（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±
1,即f的定义域是{-1，1}.
∵f
（1）=0，f=0,∴f=f,f=-f,
故f既是奇函数又是偶函数.
（2）方法一
易知f的定义域为R，
又∵f=log2［-x+］=log2=-log2=-f,
∴f是奇函数.
又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2=log21=0,即f=-f,
∴f为奇函数.
（3）由|x-2|＞0，得x≠2.
∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f为非奇非偶函数.
判断下列各函数的奇偶性：
（1）f（x）=（x-2）；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=
（1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.
（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.
这时f（x）=.
∵f（-x）=-∴f（x）为偶函数.
（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.
x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f=x+2=f.
-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.
∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.
例2
已知函数f
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