高中数学-基本初等函数.doc
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高考数学复习专题
§1.3基本初等函数
1.3.1指数函数
指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．
②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．
③根式的性质：
；当为奇数时，；当为偶数时，．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：
底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①②
③
指数函数及其性质
（4）指数函数
函数
名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
1：
化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
解：
（1）原式=
2：
已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：
①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解：
B
3：
求下列函数的单调递增区间：
（2）y=2.
解：
（2）令u=x2-x-6,则y=2u,
∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,
在区间［，+∞）上u=x2-x-6是增函数.
又函数y=2u为增函数，
∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数.
故函数y=2的单调递增区间是［，+∞）
1.3.2对数函数
对数与对数运算
（1）对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
．
（2）几个重要的对数恒等式
，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
，即；自然对数：
，即（其中…）．
（4）对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
例1计算：
（1）
（3）lg-lg+lg.
解：
（1）利用对数定义求值
设=x,则（2+）x=2-==（2+）-1,∴x=-1.
（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245
=（5lg2-2lg7）-×+（2lg7+lg5）
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5
=lg（2×5）=lg10=.
变式训练1：
化简求值.
（1）log2+log212-log242-1;
（2）（lg2）2+lg2·lg50+lg25;
（3）（log32+log92）·（log43+log83）.
解：
（1）原式=log2+log212-log2-log22=log2
（2）原式=lg2（lg2+lg50）+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.
（3）原式=（
例2比较下列各组数的大小.
（1）log3与log5;
（2）log1.10.7与log1.20.7;
（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.
解：
（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5.
（2）方法一∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞,
∴,
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.
如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.
（3）∵y=为减函数，且,
∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.
变式训练2：
已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是（）
A.logaB.
C.D.
解：
C
1.3.3幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①图象分布：
幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：
所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：
如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：
当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：
幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
解：
（1）此函数的定义域为R，
∴此函数为奇函数．
（2）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数．
（3）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（4）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（5）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）
∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
变式训练1：
讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
（1）
（2）（3）（4）（5）
分析：
要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．
解：
（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．
（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，
在上单调递减．
（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．
（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．
（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．
例2比较大小：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，
，∴
（3）∵在上是减函数，
，∴；
∵是增函数，，
∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
分析：
幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．
解：
∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
变式训练3：
证明幂函数在上是增函数．
分析：
直接根据函数单调性的定义来证明．
证明：
设，[来源:
Z&xx&k.Com]
则
即
此函数在上是增函数
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