矩阵的逆及其应用Word格式文档下载.docx
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运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有AE=BA=E=AC=CA,B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与B^C矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理
1、初等变换不改变矩阵的可逆性。
2、n阶矩阵可逆的充分必要条件是A与n阶单位阵I等
n价。
3、n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表成一些初等矩阵的乘积。
4、n阶矩阵可逆的充分必要条件是A只经过一系列初等行
变换便可化成单位矩阵。
5、n阶矩阵A可逆的充分必要条件是|A|MO。
三、逆矩阵的计算方法
㈠定义法
定义：
设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=E，那
么A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记为A。
2
例1、求矩阵A=（1
23
-10）的逆矩阵
21
解：
T|A|M0
-1亠
「•A存在
由定义知AA=E,
（X31X32X33）
由矩阵乘法得
=4
1-4-3
-164
㈡、伴随矩阵法
n阶矩阵A=（a）可逆的充要条件|A|MO，而且当
-11?
n（n>
=2）阶矩阵A有逆矩阵‘A=pAA?
'
其中A
为伴随矩阵注释：
①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意A
（A..）元素的位置及符号。
特别对于2阶方阵A=
11
JnXm
a11*12—,「亠，"
亠?
a22-a12
（），其伴随矩阵A=（），即
*21*22-*21*11
伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。
Ab
②对于分块矩阵（）不能按上述规律求伴随矩阵。
CD
1
例2、
已知A=（
），求A
。
-3
-5
T
|A|=2
工0
・・
A可逆，由已知得
A…
_
5,
=10,
A—
7
12
13
A°
|
=2,
A
一'
-2,A
一
22
A[
一-
1,
=2,A
31
32
33
5
1?
A=—
A=
（
10
-2
2）
=
I
A|
—
㈢、行（列）初等变化法
设n阶矩阵A,作nX2n矩阵，然后对此矩阵施以行初等
变换，若把子块A变为I，则子块I将变为A，即初等变
7n7n7
换］E,A］。
注释：
①对于阶数较高（n三3）的矩阵，采用初等行变换
求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。
A初等列变换E
2也可以利用（）-（J求得A的逆矩阵。
EA
3当矩阵A可逆时，可以利用（A,B）
初等行变换-1A初等列变换E
-（E,AB）,（）-
（1）求得AB和C
CCA
A，这一方法的优点是不需要求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法仅
-1-1
通过初等变换，即求出了AB和CA。
231
例3、用初等行变换求矩阵A=
（013）的逆矩阵
125
3
（A,
E）=（
0）-
（0
0）
-6
6
（013
0-1-9
0）
-（0
0T
3）（
-1-13
66
22
㈣、用分块矩阵求逆矩阵
设A、
E分别为P、
Q阶可逆矩阵,
则:
O
ACB
B
例4、
已知A=
将A分块如下:
oO?
21
52?
oO?
?
A2
I）可求得A
-1DA
）
）其中A
（-2
㈤解方程组求逆矩阵
（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的
-i
主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；
又由AA=E两端对应元素相等，依次可得只含有一个待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。
00
例5、
求A=1
20
的逆矩阵。
13
（1
4）
xc1
121
1r-
设A
，先求出A
中主对角线
X„,
X°
c
X
（41
42
X43
下的次对角线上的兀素X
21，
X32
X43，最后求X
41,设E为
4阶单位矩阵，比较
x
0r
=E的两端对应
x„
x„c
4）
4
x43
兀系，得到
㈥、用克莱姆法则求解
a11
若线性方程组｛a21
1+a
12x2+?
22x2+?
x=b
n
2的系数行列式D
an1
n2x2+?
a
nnxn=bn
D1
D2x2=—
=|a|工0,则此方程组有唯一的一组解x
1Jn
这里D.是将D中的第1列a1.,
71117
a•换成b1,……b得到的行列式
11
㈦、恒等变形法求逆矩阵
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的
逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。
㈧、用Hamilton-Caley定理求逆矩阵
Hamilton-Caley定理：
设A是数域P上的n阶矩阵
nn-1
f（入）=|入E—A|=入入+a入+d为A的
1nn
特征多项式，贝S:
f（A）=|入E-A|=An+a1An-1+?
…anA+anE=0
1n-1n-2
于是（A+&
A++aE）
an1n-1
-11n-1n-2
因此A=（A+a,A++a]E）
S1n-1
（九）、三角矩阵的一种求逆法
t-11t-11a12…
的逆矩阵是T=（0…t22…
t11
…t-1
…L22
a1n-1111
a2n-1..t.22
a1n
a2n）其中
00…
0心
aii+1=-ti+〔i+1
xtii+1,（i
=1,2,••…
•,n-1）
aij+1=-tij1tij-刀ivkvjakjtiktkk,（i=1,2,,n-2；
j=3,4,,n）
㈩、拼接新矩阵
在可逆矩阵A的右方补上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E,再在A的右下方补加上一个零矩阵0,从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-E化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所化得的矩阵就是所要求的那逆矩阵
A-1
四、矩阵的逆的应用
（1）逆矩阵在解线性方程组中的应用
设用矩阵表示的方程组为AX=B，其中A=[aXn
X=[x1x2••…备卩B=[b1b2•-bn]T若A可逆TX=A-1B
注：
利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且矩
阵A可逆，否则此法失效。
而Gauss消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无穷多个解）。
且Gauss消元法特别适合于计算机计算。
（2）逆矩阵在求矩阵的秩中的应用
设A是mxn矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则
r（PA）二r（A）二r（AQ）二r（PAQ）
n阶矩阵A的秩为nT|A|工CTA可逆。
（3）逆矩阵在信息科学中的应
1算法的加密原理
信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（||A||=n）,将明文转换为n维数向量X,然后将X与A相乘得到密文Y,既Y=AX再将丫发送，信息端接受到丫后，则利用密钥矩阵A-1丫二A-1AX=XO
2加密通信模型
基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。
3密钥的生成
如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩
阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。
1,加密密钥的生成
初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。
因此
通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。
它的
生成方法如下：
从单位矩阵出发，反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它，而其中的乘数K必须取整数。
这样得到的矩阵将满足|
A|=±
1,而A也将具有整数元素。
通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换如下：
1.交换两行或两列；
ii.数乘某一行或某一列；
iii.将某一行（或某一列）的K倍加到另一行（或另一列）上；
实质上只有i和iii两种是独立的，i可以通过i和iii来表示。
2,解密密钥的生成
设A=PP2P2……P，其中Pi是初等矩阵，则
123n7i7
-1-1p-1-1-1
n321>
其中p-1是Pi的逆矩阵。
设Pi是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，则只需对单位矩阵I做K的逆变换即可得到p-1。
显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密
钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等变换即可。
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