矩阵的对角化及其应用.docx
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矩阵的对角化及其应用
学院2016届
本科毕业论文（设计）
矩阵的对角化及具应用
专业：
数学与应用数学指导老师：
答辩时间：
201&5.22装订时间：
2016.5.25
AGradUatiOnTheSiS（PrOjeCt）
SUbmitfedtoSChOOIOfSCienCefHUbeiUmVerSityfor
NatiOnaIitieS
InPartiaIFUIfiIImelltOftheReqUiringforBSDegree
IntheYearOf2016
DiagOnalizatiOnOftheMatriXanditsAPPliCatiOnS
StUdentNameStUdentNo.:
SPetiaIty：
MathernatiCSandAPPliedMathematiCSSUPerViSOn
DateOfTheSiSDefenSe:
2016522DateOfBookbinding：
2016.5.25
矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言,而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质,方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件看手，探讨数域上任意一个〃阶矩阵的对角化问题,给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幕等矩阵、对合矩阵、幕幺矩阵对角化的应用.
关键词：
对角矩阵，实对称矩阵，幕等矩阵,对合矩阵，特征值,特征向量，最小多项式
AbStraCt
ThematrixisanimportanttoolinCOIlegemathematicsandCanSimPlifythedescriptionIangUagebasedOntheapplicationOfmatrixinmanyways.SOitiseasiertoUnderstandinmanyfields,forexamplelIinearequations,quadraticequatiOns.InmanyCharaCteriStiCSfthematrixSimilarityisanVeryimportantaspectWeknowthatthematrixSimilarityisanequivalencerelationbyWhiChWeCanClaSSifymatrix,thediagonalmatrixisVeryimportant.ThiSkindOfmatrixhasgoodPrOPertieSZanditisCOnVenientforUStoSOlVeOtherPrOblemSlSUChastheapplicationOfSimilarmatrixinIinearSPaCe・InthisPaPerlWefirstdiscussmanynecessaryandSUffiCientCOnditiOnSOfdiagonalizationOfmatrixandthengiveSOmeapplicationsOfSPeCialmatrixdiagonalization.
Keywords:
diagOnalmatrixfrealSymmetriCmatrixZidempotentmatrixZinvolutorymatrixItheeigenvaulefthefeatureVeCtOrzminimalPOlynOmial
AbStraCtII
绪言1
课题背景1
目的和意义1
国外概况1
预备知识2
相关概念2
矩阵的对角化4
特殊矩阵的对角化14
矩阵对角化的应用22
总结24
致谢25
参考文献26
独创声明28
1绪言
本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会,希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.
1.1课题背景
在由大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念.在线性方程组的讨论中我们看到,线性方程组的系数矩阵和増广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质,并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程•除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的硏究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的•在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质,引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法•在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质,引入矩阵相似的概念,这是一种等价关系,利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意Z由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题,进而又引入对角型矩阵、入矩阵及若尔当标准型•本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质,还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用•
1.2课题研究的目的和意义
课题研究的意义：
（1）研究矩阵对角化的判定定理及应用,为其它学术研究提供便捷的工具;
（2）比较全面的介绍矩阵的对角化,方便读者的整体理解和应用;
1.3国外概况
实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟,涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善Z四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就,矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破.实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中.矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善.
2预备知识
给出本文容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解•
定义1常以P”网表示数域P上〃以〃矩阵的全体，用E表示单位矩阵.
定义2π阶方阵A与B是相似的如果我们可以找到一个〃阶非奇异的方阵矩阵T∈PWXn,^^B=T-XAT-^A=T~λBT.
根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：
①反身性：
A=E-XAE；②对称性：
若A相似于3,则〃相似于A；③传递性：
如果A相似于B,3相似于C,那么A相似于C.
定义3"阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个“阶非奇异方阵T∈PMI使得B=TTAT或者A=T1BT.
根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：
①反身性：
A=ESE；②对称性：
由B=TTAT即有A=（T-I）TBrl；③传递性:
由Ai=TjATi和4=圧人石有AI=（T^2）τA（T^2）.
%O...0、
定义4式为°®…θ的加阶方阵叫对角矩阵，这里勺是数
:
:
.0
、00...bm）
（/=1,2,In）.
定义5方阵AePn-I若A=厂'BTIT非奇异,B是对角阵,则称A可相似对角化.
定义6方阵A∈P-I若A=TrBTIT非奇异,B是对角阵，则称A可合同对
角化.
定义7矩阵的初等变换：
⑴互换矩阵的藝行例）于_/•行例）；⑵用非零数c*乘以矩阵貞行例）；⑶把矩阵第丿•行的/倍加到巍行.
定义8由单位矩阵经过一次初等行例）变换所得的矩阵称为初等矩阵.共有三种初等矩阵：
①单位矩阵经过初等变换⑴得PbJ）且PaJ）-I=P（i,7）；②单位矩阵经过初等变换⑵得P（W））且P（∕（∕））-,=P（∕（1//）；③单位矩阵经过初等变换⑶得P（iJ（f））且P（iJ（t））-,=P（iJ（-t））.
定义9设方阵BePM,若Bl=EI就称B为对合矩阵.
定义10设方阵AWPM,若yr*,就称A为幕幺矩阵.
定义11设方阵C∈P-,若C2=C,就称C为幕等矩阵.
定义12设方阵A∈I2∈P,若存在向量，^AI=AX,我们就称久是A
的特征值，X是A属于特征值Λ的特征向量.
定义13A∈Λ'×π,定义®（刃为矩阵A的最小多项式，％（刃的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，加二刃首项系数是L
3矩阵的对角化
本章介绍数域P上“阶方阵阵的对角化问题.
先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.
弓健1如果/a；...,儿是矩阵Q的不同的特征值,而％•••,勺是属于特征值
人的线性无关的特征向量，∕=1,2,那么α∣Ia^I...laklI,%也线性无关.
证明：
假设r11απ+η2α12+...+rlηαlη+...IaAl+...+/MaM=OftijeP,令tilaιl+...
+©%二η,I则
Qa=入a（t=ι,2...,R）,
且弘+%+∙∙∙+%=θ……
（1）
分别用EQQ,…,0“左乘以
（1）两端，再由引理4得：
Q"lηi=λιηiI
（∕n=l,2..A-l；z=L..√）f由此有
zA+½+∙∙¼=0，λxηx+λ1η2^..λκηk=0,
<兄初+久；〃2+∙∙√⅛%=0,
X⅛+4⅛+∙∙X⅛=o∙
该线性方程组的系数矩阵为
Pl为德蒙行列式,又由M=I2・Q互异有∣D∣≠o.
根据克拉默法则就有ηi=0l即Gaiι+…+S二0『再由αfp...¾线性无关得：
tl↑=ti2=・••=©=OQ=12∙W）J故如,…,勺…,％…,％线性无关・
推论1属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理1QeP呦与对角阵相似o0有〃个特征向量，它们是线性无关的.
证明：
0可以对角化o存在可逆矩阵T=（T}JlI...I几）使得
（QTrQTV...,QTJ=（λTvλT2y...^）.
因此Q可以对角化o存在7；（∕=l,2...,n）WP使得（27：
=入£f也即0有〃个线性无关的特征向量.
根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化,必须从求解这个矩阵的特征多项式
入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大Z加之特征值与特征向量只能分开求解,下
面会介绍更简便的方法.
下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法•
引理2设〃阶方阵ABePHX,,,则有r（A+B）≤r（A）+r（B）.
证明:
T1GfflErank[AiB]≤rank（A）+rank（B）……
（2）.根据矩阵秩的定义有
r[A,B]≤心加阶矩阵[A,B]的线性无关的行数
≤方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数
≤r（Λ）+r（B）.
r（A+B）≤r（A）+r（B）.
弓I理3对于"阶方阵C,D有r（AB）≥r（Λ）+r（B）一n.
（Cθ∖（Cτ∖
证明：
先证HC）+g）F∙爲≤rΓ……（3）f其中T为任意Tl阶方阵.
显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设Me）=P,MD）=q,则C有P阶子式
PVII≠OzD有q阶子式陋|工0・
（CT、
于是）有W阶子式
（CT
因此∕β≥p十q=r（C）+r（£>）
ι°D丿
≡llEr（λB）≥r（A）+r（B）-nZ只需证明：
r（AB）+H≥r（A）+r（B）
运用分块矩阵的初等变换有：
ElJO）
（EftO∖（En-B'
JBEr
HIKlH
→
I-I
→
OAB>
.AAB）[AO,
OA7
有初等变换不改变矩阵的秩以及式G）有:
_BEtl∖
r（AB）+n=r,t≥r（A）+r（B）・
ι°A丿
（EQ∖OO、
另证：
令r（A）=p,则存在可逆矩阵C,D使得CAD=/C,若令CjD-I
\°θ）∖θEn-P）
=HI^r（H）=n-p以及A+H=C-iD~l.又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此
HB）二厂（CjZrlB）
=r（AB）+r（HB）
≤r（AB）+r（H）
≤r（AB）+n-p.
引理3的一般形式：
（SW希尔维斯特不等式）设AIBIC已严"分别为
ixj.j×kyk×t矩阵.贝I」
r（ABC）≥r（AB）+MBC）一r（B）・
证明：
≡ilEr（ABC）≥r（AB）+r（BC）-r（B）只需证明
r（ABC）+r（B）≥r（AB）+r（BC）Z因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而
fAB
O、
2
—BC,
AYABCOYEOYOElOBK-Ce∖e
E
O
也即
再有定理（3）就得
°]≥rank（AB）+rank（BC）-BC）
推论3设弘为数域P上的H阶方阵Z则
r（B1）+r（B2）+...+r（Bl）≤（t-l）n+r（BlB2...BJ）.
定理4设n阶方阵QePniInIμx≠μ2,且SE-QX址E-Q）=O,则Q可对角化.
证明:
由“1≠μ2,（冋E-β）（χ∕2E-Q）=O有矩阵Q的特征值为∕√1或ju2I根据引理2,引理3得：
r（^E-Q）+r（μ2E-Q）=nI从而Q的特征向量（线性无关）共有
H-心IE-Q）-r（μ2E-Q）=H个.
由定理1即得矩阵。
可对角化.
定理4'设n阶方阵GWPIX”,“],“2，...,“两两互不相等f若
（“E-Q）UhE-Q）∙∙∙（MjE-2）（AE-0=0
则Q与对角阵相似.
证明:
根据—Q）{μ2E—QY..{μl-xE—Q）{μlE—Q）=0有Q的特征值在/∕1√∕2……"中取得.再由引理3的推论有
r（“E_Q）+『（"E-Q）+∙∙∙+r（"E-Q）≤（/-1）”/
从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为
"—「（“£—Q）+“-r（"E-Q）+•••+"—「（“E—Q）
=tn-（r（∕ιlE-Q）+r{μ2E-Q）+...+r（∕∕,E—Q））
≥tn-（t-∖）n=n.
又因为r（Q）≤n,故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为"Z由此矩阵。
可对角化.
推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：
r{∕,ιxE—Q）+r{∕,ι2E-Q）+...+r{∕.t1E-Q）=（f—I）H.
定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.
定理5设“,“2，・・・，H（互不相同）是0e严"的的特征值Z重数分别为八宀‘…'St
且町+S?
+...+»=“,0可又寸角化0
⑥（FW）
◎（文—3」
L（Al⅛mol⅛3
酿扫・HSH⅛M
..s⅛
.OH（OIgH）Li
J
t・■世KSs⅛・O⅛1L□J*⅛IU⅛-sφitt
∙ohsi⅛5l⅛0・U..:
.z∙IHtH=cIM）IIFb∙ffi
ils
{（f5c∙-■—
■
yd）LI
、
-I-IJ
L（Alu5∙LIH（OlyH）Ll
J■
7（J）
7
J2
JZ（Z=Iχ..√）≡Jordan块，若Jj=PjEj=Q就可以对角化，而
（ME-Q）=T（ME-J）T-'
=T
S-JJEI
（H-厶）坊
Π（XZr-JJEi
II^iE-Q）=T
JJ（χ<.-J2）E2
[I（HT）Q
所以，若（ME-0）=0侧因T可逆有-厶）=0（j=12∙j）,又因为当i≠J时'
（μi≠μi）≠0,（“£丿-厶）可逆/所以WjEj-JjW即PjEj=Jj（J=\2、・・」）・
m
引理4XEPrqe2∙∙∙*•是X的关于特征值2的特征向量，我们有Ygr-l
（kiJ=1,2,…,In不全为OlkieP）也是X的关于几的特征向量.
证明：
已知Xdi=^iI贝^kiX∂i=kiΛ∂iI也即Xkidi=λki∂iI因此
mm
X∑g
=λ^ki∂iI
/=I/=1
In加
又出不全为0,因此Ykidi≠QI由特征向量的定义有Yg是矩阵X的属于特/=1Z-I
征值久得特征向量.
定理6“,“，•••，"（互不相同）是"阶矩阵O的所有特征值，它们的代数重数依次
是》归,...,耳，则方阵0与对角矩阵相似or（Aj）=5.（;=l,2,..√）zA7=∏（∕证明：
先证必要性.
（2可对角化=>存在可逆矩阵T使得Q=TMgggzyr'I从而
Aj=Yl（JiiE-Q）
∩（∕<-∕∕2）E2
[Ox
∩（χ∕.-∕zy）Ey
OI）
其中Q为巧阶O矩阵，◎为巧阶单位矩阵（（J=I2・・・力・因T可逆，且“…所
以有
^Aj）=r（∏（∕<一“JEj）=r（Ej）=Sj（j=12・・・/）・<≠>
再证充分性：
用反证法.
假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数S代数重数得：
至少存在一个整数g,
使得尸（“£一0）>"-为，于是当Jhq时，由引理3有
Sj=Mn（ME-Q））≥Xr（μiE-Q）-（t-2）n
>*j旳
=（t-∖）n-（t-2）n-^si
矛盾，假设不成立，故。
与对角矩阵相似.
定理7m,"2,∙∙∙,"（互不相同）是n级方阵β∈P,rxn的所有特征根,若对任意m∈Z•满足=心/£-0,则矩阵。
与对角矩阵相似.
证明：
设“I,“2，•••，ZA的重数分别为Sl,$2，•••，Stl由CayIey-HamiltOn定理（高等代数第三版,高等教育）得：
（χ∕1E-Qr（μ2E-Qyi...（χ∕,E-QY'=OI
再有引理3的推论就有
r（∕∕1E-
（2）t'+r（μ1E-Q）il+...+r（χ（2）v,
<（t-1加+∕∙（（aλ-Qy…UE-Qyl）
=（t-∖）n.
对任意正整数加，r（μiE-Q）,n=r（μiE-Q）I因此
心IE-Q）+r{μ2E-Q）+...+心E-Q）≤（t-∖）n.
从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为
H-心∖E-Q）+n-r（μ1E-Q）+...+n-r（∕∕,E-Q）
=tn-[r{μxE-Q）+r{μ1E-Q）+...r（μtE-β））
≥rn-（r-l）∕∣=〃・
又r
（2）≤n,从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于",因此0共有"个线
性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵0与对角矩阵相似.
接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.
定理8n阶方阵O与对角矩阵相似o矩阵。
的最小多项式他（“）无重根•
证明：
先证必要性.
0和对角阵相似=存在非奇异矩阵化严",满足
Z、
Q=TVri=T"2T-II
从而有厂VT=V',lI令H",∙∙∙,H（f≤"）是方阵0的互不相同的特征值记/（A）=（“一AlXA一“2）•••（“—“）
=μ'+sxμ,~x+...+SM+St.
因为Tr（Q）T=T-I（Q,+slQ,~l+...+SzQ+SIE）T
=T~lQ,T+SiT-IQ,-lT+...+SlT-IQT+SIT-IET
=vf+Syl-x+...+5,_y+5,e=∕（V）.
又/（V）=Vz÷51V,-,+...+5,-1V+5fE
（I、Al
（/-!
、
Z\
μ[
$]“；T
St
+
+・・・+
<51X'1>
〃；÷5∣∕4+...+»
k“：
+SW...+Sq
7（A）、
=M）.=0.
所以/（0=OZ于是/Hρ（A）∣∕（χ∕）,然而/（“）无重根,故加°（“）无重根.
再证充分性:
叫（“）的互不相同的根是χ∕1√∕2,由叫（“）无重根就有:
〃b（“）=（"-"）（"-"）∙∙∙（“一,于是加Q（Q）=（ME-Q）（μ2E_（?
）...（μtE-0=0.
令r{μιE-ζJ）=qiI则灿的特征子空间的维数为n-qiI因此。
总共有（n-ql）+（n-q2）+...+（n-ql）=s个线性无关的特征向量，且f≤n.又因为t∕1+√2+...+^≤（∕-l）77J故
s={n-ql）+（n-q2）+...+（n-qt）≥n.
从而S=HI也即矩阵。
有〃个线性无关的特征向量，由定理1就得0可以对角化.
4某些特殊矩阵的对角化
4.1实对称矩阵的对角化问题
实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用,如常用来研究对称变换，对
线性变换进行分类•而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步•
引理5】每一个“阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对
角线上的元素为复矩阵的特征值•对任意AWCM,可逆矩阵卩，使得
T-IAT=λl.,其中人4,∙∙∙,Λ,是矩阵A的特征值
、Λ>
引理6实对称矩阵的特征值为实数•
证明：
设心实对称矩阵A的一个特征值,则存在非零向量
/\
召
XS
II=^l
满足Aq=无〃・
令
/—\
η=勺，天称为兀的共馳复数Q=1,2,./）,贝∖∖Aη=λJJ.
观察下面式子
η∖Aη}=7JfAfη=（AηSη=（AηSηI
上式左边等于人疗,右边等于无戸〃,
故
硼〃=诵'〃，
又
Tffη=xixl+...+xnxn≠0f
故⅛=¾,即人是一个实数•
引理7设M,N为处〃实方阵，我们有如下结论:
M,N在实数域上相似oM,N在复数域C上相似.
证明：
必要性显然，下面证明充分性.
M,N在复数域上相似n3∩级可逆复矩阵，使得M=P-'NP.
令P=A+∕QZA,DwR"",贝∖]（A+iD）M=N（A+
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