小学数学六年级上册《圆》双向细目表Word文件下载.docx
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字母d表示
半径
字母r表示
圆的
特征
在同一个圆里，可以画无数条半径，且长度都相等
在同一个圆里，可以画无数条直径，且长度都相等
圆心确定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小
二
找圆心
把圆对折再对折
圆是
轴对称图形
对折后能完全重合。
直径所在的的直线是圆的对称轴，对称轴有无数条。
半径直径
关系
在同一圆里d=2rr=1/2d
旋转对称
图形
一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后与原图形重合。
圆是旋转图形
欣赏
与设
计
欣赏图案
体会图案是由简单图形经过平移、旋转、或对称得到。
设计图案
用简单图形经过平移、旋转、或对称设计图案
周
长
周长的概念
围成圆的曲线的长
测量圆周长
（化曲为直）
1、滚动方法
2、绕线法
圆周长与
直径的关系
圆周长除以圆的直径。
圆周率（∏）
（计算取值一般是3.14）
圆周长
计算方法
C=∏d或c=2∏r
数学阅读
圆周率的
历史
最早的记载《周髀算经》
古希腊阿基米德
魏晋刘徽割圆术
祖冲之∏的值
在3.1415926——3.1415927之间
面
积
含义
圆所占平面的大小
圆面积计算公式探索
化曲为直剪拼成近似长方形
或平行四边形
圆面积公式
S=∏r2
圆环面积
公式
S=∏（R2-r2）
说明：
1.学习水平分为四个层次：
A识记，B理解，C再现性情景应用，D生成性情景应用。
2.检测方法主要题型：
a填空，b判断，c选择，d计算，e操作，f解决问题。
二、教学设计建议
一、单元主题
本单元是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。
从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
本单元的教学重点为：
认识圆的各部分名称及圆的特征；
画出已知图形是不是对称图形以及圆的对称轴的画法；
运用圆的周长计算公式解决实际问题；
圆的面积公式的推导及应用公式正确计算出圆的面积。
难点为：
会用圆规按要求正确地画圆；
含有圆的组合图形的对称轴的画法；
理解圆周长计算公式的推导过程；
理解把圆转化为长方形推导出面积计算公式的过程。
二、知识结构
全单元的六道例题、四个练习，把内容分成三段教学。
依次是认识圆、圆的周长、圆的面积。
三、重点示例和难点解决策略
本单元的教学主要通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。
比如在教学圆的认识时，当学生画好圆后，教师可引导学生进行对折，从而导出圆心、半径和直径等概念，再通过测量来发现半径、直径的特点及相互关系；
探究圆的周长时，则可让学生采用围一围、滚一滚的方法先测出周长，在此基础上再引导学生探究周长与直径的关系；
探索圆的面积时，教师可利用书中的附页或备好的学具，引导学生动手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。
教学时，还要让学生认识到转化是一种很重要的数学思想方法，在解决日常问题以及在科学研究中，人们常常就是把复杂转化为简单、未知转化为已知、抽象转化为具体等方式来处理的。
在难点的突破上可能会遇到以下问题。
问题一：
探究圆的基本特征，学生对理解圆的基本特征有些困难。
解决策略：
教学时，注重学生动手操作来探究圆的基本特征，应放手让学生活动，通过折、画、量等方式来寻找规律。
在学生活动中，教师可适时用问题引导探究的内容。
如“同一个圆里，有多少条半径呢？
”“半径和直径的长度有什么关系？
”……最后，教师应在学生探究的基础上，对圆的有关概念和基本特征进行归纳和整理，以使学生形成系统、科学的认识。
问题二：
学生用圆规按要求正确地画圆有些困难。
教学用圆规画圆时，应先让学生自己在纸上画一画，然后小组交流画法。
在此基础上，教师可归纳总结出画圆的基本步骤和方法，主要应说明两点：
一是圆的位置和大小分别是由圆心和半径决定的，故画圆时应先确定圆心，然后按照指定的长度为半径来画圆；
二是圆的大小取决于半径的长短，与圆心的位置无关。
然后再让学生按照要求画几个圆，逐步掌握用圆规画圆的方法。
问题三：
学生探究圆的周长与直径（或半径）之间关系，有一定的困难。
教师可以直接告诉学生去计算不同圆的周长和直径的比值，并把结果填在书上的表中。
然后让学生观察、比较实验的结果，引导学生得出：
圆的周长是直径的三倍多一些（或3.14左右的一个数）。
学生在小组内比较各个不同大小的圆的（周长/直径）的值，看到（周长/直径）的值大部分在3.14附近。
在此基础上，教师进一步指出，由于测量时存在一定的误差，也许不同的圆计算出的（周长/直径）的值不完全相同，但实际上，这个比值是一个固定不变的数，通常叫做圆周率，用希腊字母“π”来表示。
教师要说明π是一个无限不循环小数。
我们在计算时，一般只取它的近似值“3.14”。
问题四：
教学圆面积计算公式的推导学生有困难。
教学圆的面积计算公式之前，可以先引导学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程，并分析、对比各个公式推导过程的共同点，使学生体会到将一个图形转化为已学过的图形，是一种基本的数学思想和方法，但每个图形面积公式的推导过程又有其自身的特殊性。
要充分利用直观教学具，让学生在动手操作中自主探索。
例如，教学圆面积计算公式的推导过程时，可以让学生把教材后面所附的圆形做成学具。
在教师指导下，按照教材上的提示，将圆等分成若干份，再剪开，拼成一个近似的长方形。
在动手操作的基础上，要充分发挥多媒体课件的作用。
由于在实际操作的过程中，分成的份数不可能很多，一方面是教学时间所限，另一方面是操作上有一定的难度。
这时，应利用多媒体课件的优势，不断地把圆细分，这样拼成的图形越来越接近于长方形，效果更直观。
圆的认识
（一）教学目标
1.结合生活实际，通过观察、操作等活动认识圆，认识到“同一个圆中半径都相等、直径都相等”，体会圆的本质特征及圆心和半径的作用，会用圆规画圆。
2.结合具体的情境，体验数学与日常生活密切相关，能用圆的知识来解释生活中的简单现象。
3.通过观察、操作、想象等活动，发展空间观念。
教材分析与教学建议
“圆的认识”是在学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形和初步认识圆的基础上进行学习的。
这是学生研究曲线图形的开始，是学生认识发展的又一次飞跃。
教材注重从学生已有的生活经验和知识背景出发，结合具体情境和操作活动激活已经存在于学生头脑中的经验，促使学生逐步归纳内化，上升到数学层面来认识圆，体会到圆的本质特征：
圆是到定点的距离等于定长的点的集合（“定点”“定长”）。
考虑到小学生的认知水平，教材并没有给出圆的本质特征的描述，但教材通过观察与思考、画一画等活动帮助学生逐步对此加以体会，为学生到中学学习圆的定义提供了感性认识和直观经验。
……
圆的认识
（二）教学目标
1.通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形，理解同一个圆里半径与直径的关系。
2.整理已学过的轴对称图形，进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。
3.在折纸找圆心、验证圆是轴对称图形等活动中，发展空间观念。
图形的对称性是图形的重要特征，一般来说，我们讨论图形的轴对称性和旋转对称性。
一个图形是旋转对称图形，可以理解为图形绕某一点旋转一定角度后仍然与原图形重合，或者图形上的所有点绕某一点旋转同一角度后仍在这个图形上。
欣赏与设计教学目标
1.结合欣赏与绘制图案的过程，体会圆在图案设计中的应用，能用圆规设计简单的图案。
2.在设计图案的活动中，进一步体会圆的对称性等特征。
3.感受图案的美，发展想象力和创造力。
运用所学的图形设计图案不仅能培养学生的想象力和创造力，使学生体会到图形世界的神奇和美丽，同时在分析图案和创造图案中，学生还将进一步巩固对所学图形特征的认识。
因此，在认识圆后，教材安排了欣赏与设计的内容，教学时应给予充分重视。
看一看
教材呈现了四幅图案让学生欣赏。
教学时，让学生观察后说一说，这些图案是由哪些基本图形组成的，怎样组成的（如基本图形经过了哪些变换），让学生感受到圆在图案设计中的作用，提高分析图形的能力。
除了教材中的几幅图案以外，教师也可以再提供几幅包含圆形的图案，让学生欣赏、分析。
涂一涂
第1题
首先设计涂一涂活动，旨在激发学生的学习兴趣，发挥他们的想象力。
教学时，引导学生先思考，自己准备怎样涂色，按怎样的规律涂色，涂出来会是什么样的，再涂上颜色，展示交流。
第2题
本题是让学生先用圆规画出图形，再涂色，目的是进一步引导学生分析、了解图案的设计过程，比较各个图案的设计方法和特点，并按照图示的过程设计图案，为自主设计图案提供借鉴。
教学时，先引导学生对每个图案进行分解，分析每个图案的设计过程，特别是要分析清楚每次画圆时，以哪个点为圆心，以什么为半径，画整个圆还是半个圆等。
在此基础上，让学生尝试画出这些图形并涂色，教师要注意对有困难学生的个别指导，对于学生的作品要组织展示、交流。
做一做
本题是在上面模仿的基础上，让学生自主设计图案，经历图案创作的过程。
题目的要求是用圆规进行图案设计，也就是图案中一般要求包含圆，也可以是圆与其他图形的组合。
在学生进行图案设计时，可以先让学生画个草图，说明自己的设计方案，再进行设计。
本题既具有趣味性，又需要学生充分展开想象。
为此，教师应给学生充分想象的空间，可以先让学生说说生活中哪些地方看到过圆，再鼓励学生展开想象，进行物品或标志的设计。
然后组织学生交流自己所设计的物品和标志是什么，怎么想到设计它们的。
数学万花筒
教材提供的方法是“运用直线族画圆”的方法。
这个活动也可以为以后探索圆的面积提供“化曲为直”的思路。
因此，教学时教师应鼓励学生试一试。
圆的周长教学目标
1.认识圆的周长，能用滚动、绕线等方法测量圆的周长。
2.在测量活动中探索发现圆的周长与直径的关系，理解圆周率的意义及圆周长的计算方法。
3.能正确地计算圆的周长，能运用圆周长的知识解决一些简单的实际问题。
教材创设了一个“为圆镜镶边框”的简单情境，帮助学生认识圆的周长，体会测量圆的周长的必要性。
教材中呈现了两个直径不同的圆镜，结合具体情境引出圆的周长，并使学生直观地感受直径大的圆的周长大，直径小的圆的周长也小。
教材安排了测量圆的周长的活动，引导学生根据周长的意义想办法测量圆的周长。
教材中呈现了比较常用的两种方法：
一种是在直尺上滚动的方法；
一种是用线绕一圈，再量出线的长度的方法。
教学时，教师可以鼓励学生用硬纸板剪好直径分别是5厘米和8厘米的两个圆，小组合作共同想办法测量圆的周长。
在得出两个圆的周长后，可以让学生比较一下，直径大的圆的周长要大一些，为下面对圆的周长的进一步研究提供感性认识。
探究活动
在初步认识圆的周长和测量圆的周长后，教材安排了探究活动，即探究“圆的周长与什么有关系，有什么关系”。
教材先引导学生进行猜想：
由正方形的周长是边长的4倍，类比猜想圆的周长与直径之间也有一定的关系。
然后，组织学生开展实验研究活动，通过测量、计算，研究发现圆的周长与直径的关系，从而得出圆的周长计算公式。
教学时，教师可以让学生课前准备几个大小不同的圆，通过滚动、绕线等方法得出圆的周长，再测量出圆的直径，并利用测量得到的数据进行计算，即计算每个圆的周长是直径的几倍，填入表格内。
最后，引导学生观察表格，这样每个学生都有了动手操作及计算得出结果的体验，而且把不同的圆的有关数据通过表格的形式呈现出来，更利于学生观察、比较，初步发现圆的周长总是直径的3倍多一些。
在实验探究的基础上，教师再介绍圆周率并得出圆周长的计算公式。
教学时需要注意的是，测量会有一定的误差，教师要利用课堂上生成的资源使学生认识测量时总会有一些误差，同时让学生认识到测量方法正确、测量过程仔细等可以减小误差，也可以多测量几次求平均数。
由于圆周率是一个无限不循环小数，教材指出计算时圆周率的值通常取3.14，即计算时教材凡没有具体规定的，“”都取近似值3.14，计算结果用“＝”连接。
最后，教材回顾了最初的实际问题，
鼓励学生直接运用周长的计算公式进行计算，解决实际问题。
教师如果补充这样的习题要注意数据，不要使计算太繁杂。
实践活动
本题的目的是引导学生运用圆的周长的有关知识解决问题。
教师要根据学校周围的实际情况，组织学生进行实际测量计算活动，灵活处理问题。
比如，除了教材上呈现的方法外，学生可以几个人伸出手臂围住大树，然后通过测量每个人的双臂伸开后的距离求出大树的周长。
如果部分学校周围没有合适的树木，也可以用其他圆柱形的物体代替。
数学故事
这是一个有趣味的问题，两只小蚂蚁分别绕正方形和正方形的内切圆跑，如果速度一样，谁能先绕完一圈。
教师可以引导学生分析“决定谁先回到A点的主要因素是什么”，分析得出：
因为两只蚂蚁的速度是一样的，所以路程的长短决定了谁先回到A点，而甲蚂蚁走的路程是正方形的周长，乙蚂蚁走的路程是圆的周长，所以只要分别计算出正方形的周长和圆的周长即可。
正方形的周长：
10×
4＝40（厘米），圆的周长：
3.14＝31.4（厘米），31.4＜40，所以乙蚂蚁先回到A点。
数学阅读教学目标
结合圆周率发展历史的阅读，体会人类对数学知识的不断探索过程，感受数学文化的魅力，激发民族自豪感。
教材安排数学阅读“圆周率的历史”，目的是挖掘圆周率蕴涵的教育价值，让学生了解自古以来人类对圆周率的研究历程，领略与计算圆周率有关的方法（从测量—正多边形逼近—近代的一些方法），以及的计算的价值（如计算值已成为评价电脑性能的最佳方法之一），从而了解数学的悠久历史和人类对数学知识的不断探索过程，感受数学的魅力，激发研究数学的兴趣。
同时，结合刘徽、祖冲之等数学家研究圆周率取得的成就的介绍，激发学生的民族自豪感。
教学时，可以将课内外相结合，课前鼓励学生收集有关人类研究圆及圆周率的资料，并分小组把这些资料集中起来，按时间顺序进行整理，然后分小组做成小报告。
课上可以先组织全班交流各小组的成果，然后阅读教材提供的资料。
教材不仅仅提供了一些史实，更希望通过文字叙述展现人们探索圆周率的过程及方法的演变。
第一幅图，说明由于轮子等的广泛应用，人们自然想到了圆的周长与直径之间的关系，由此使学生感受到许多数学问题都来源于生活。
第一幅图还介绍了最初的方法是测量，通过测量得到了圆的周长和直径之间的一定的关系，同时也指出了测量方法的局限性。
第二、三幅图，分别介绍了古希腊的阿基米德和我国古代的刘徽想到的计算圆周率的方法。
这两个人的方法从本质上都是一致的，都是用正多边形逼近圆，不同的是阿基米德的方法是从两个方向同时逼近圆，而刘徽的方法是从一个方向逼近圆。
这种正多边形逼近圆的方法的介绍，也可能为后面学生探索圆的面积提供思路。
第四幅图，介绍了广为人知的祖冲之的贡献。
教材不仅仅介绍了他所取得的成就，还列举了这一成就获得的国际声誉，以激发学生的民族自豪感。
第五幅图，首先介绍了用正多边形逼近圆这个方法的局限性，然后介绍了后来的人们一直在不断对计算圆周率展开探索，产生了不少方法。
图中呈现的是著名的“蒲丰投针试验”，是利用概率的方法计算圆周率。
学生不需要知道这些方法的具体内涵，而是要体会人类对计算圆周率的探索一直没有停止过。
第六幅图，介绍了电子计算机的出现导致了计算方面的根本革命，以此带来的计算圆周率的突破进展，并说明了计算圆周率的值的一个作用，可以用来检验计算机的性能。
教学时，教师可以结合学生收集的资料和教材所提供的资料，鼓励学生交流自己的体会和收获。
圆的面积教学目标
1.了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。
2.能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积的知识解决一些简单的实际问题。
3.在估一估和探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的思想，初步感受极限思想。
把未知的问题转化为已知的问题是常用的思想方法，而“化曲为直”是推导圆面积公式的基本思想，教材注重这些思想方法的渗透，引导学生用这个思想来推导圆的面积计算公式。
教材首先创设了一个“节水型灌溉”的生活情境，呈现了一个旋转喷水器喷水的情境，喷水区域形成一个圆，并提出一个问题“喷水头转动一周可以浇灌多大的面积”，帮助学生在具体情境中了解圆的面积的含义，体会计算圆的面积的必要性，并引发研究圆面积的兴趣。
教学时，先要引导学生理解情境，如可以让学生讨论“喷头旋转一周，喷到的地方形成什么图形”“圆的面积是指哪一部分”“圆的半径是多少”等。
估一估
教材安排了“估一估”的活动，目的是使学生进一步体会面积度量的含义，感受“化曲为直”的思想，同时培养学生的估计意识。
教材采用了方格纸估算圆面积的方法，呈现了一个10×
10的正方形（每个方格代表1米2），并把半径5米的圆置于其中。
教材呈现了两种估计方法：
第一种是利用正多边形的面积进行估计。
圆的面积比圆外切正方形的面积小，比圆内接正方形的面积大。
圆外切正方形的面积是100米2，圆内接正方形的面积是50米2，所以圆的面积大于50米2、小于100米2。
第二种是用数方格的方法进行估计。
先用数格子的方法数出14个圆的面积约是20米2，再估计整个圆的面积约是80米2。
根据学生实际，教师还可以引导学生思考，如果方格再小一点，估计得会更准确一些。
教学时，教师先引导学生自己进行估计，再交流估计的策略。
对于第一种估计策略，视班级的实际情况还可以引导学生用“圆的半径”来分析、表示两个正方形的面积，这样更有利于学生对圆的面积与半径关系的理解。
圆外切正方形的边长是2r，面积是2r×
2r＝4r2；
圆内接正方形可以看作是四个直角三角形组成的，三角形两条直角边的长是r，一个直角三角形的面积是r×
r÷
2＝12r2，圆内接正方形的面积（即四个三角形的面积）是12r2×
4＝2r2，所以4r2＞圆的面积＞2r2。
由此，学生可能猜想圆的面积是3r2，或者有的学生可能猜想到是r2。
进一步，教师可以鼓励学生回想前面的数学阅读，想到用正多边形面积逼近圆的面积。
这些都不做基本要求。
在了解圆面积的含义和估计圆面积的基础上，教材安排了“探索圆的面积计算公式”的活动，引导学生经历圆的面积公式的推导过程。
有的学生可能已经知道了圆面积的计算公式，教师不能因为学生知道就压缩了探究过程，可以鼓励他们验证这一公式的正确性。
教材体现了“化曲为直”的思想，即把圆进行分割，再拼成一个近似平行四边形或长方形的图形，如果分割的份数越多，拼出的图形越接近平行四边形或长方形，由此用平行四边形的面积计算公式或长方形的面积计算公式来推导出圆的面积计算公式。
教材分三个层次来呈现，第一步呈现了把圆平均分成8份，拼成一个近似平行四边形的图形；
或者把其中的一份再平均分成2份，拼成一个近似长方形的图形。
第二步呈现了把圆平均分成16份和32份，拼成近似的平行四边形或长方形的情况，使学生初步感知：
把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形或长方形，从中渗透极限思想。
第三步是在操作的基础上，分析原来的圆和拼成后的图形各部分之间的关系，推导出圆的面积计算公式。
教学时，教师要注重两个方面，一是重视学生的实际操作活动，通过实际操作活动使学生体会“化曲为直”的思想，要让学生剪出一个圆形纸片，把它平均分成8份、16份进行拼摆，操作体验。
二是要重视分析推导的过程，引导学生仔细观察拼成的图形，分析拼成的图形与原来的圆的各部分之间的关系，如：
拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半（r），高相当于圆的半径（r），平行四边形的面积等于“底×
高”，所以圆的面积等于“r×
r”；
再如拼成的长方形的长相当于圆周长的一半（r），宽相当于圆的半径（r），长方形的面积等于“长×
宽”，所以圆的面积等于“r×
r”。
在此过程中，学生理解“极限”思想时可能有困难，要充分利用信息技术，展示等分64份或者更多份的过程，激发学生开展想象。
最后，教材回顾了最初的实际问题，鼓励学生直接运用面积计算公式进行计算，解决实际问题。
这里介绍的是一种有趣的圆的面积计算公式的推导方法，它的基本思想仍然是“化曲为直”。
教学时，如果能找到这样的垫片，可以通过演示的方式引导学生观察分析，也可以让学生看书上的演示图分析，让学生初步了解推导的方法。
课堂检测一圆的认识
一、细心填写：
１、圆是平面上的一种（ ）图形，将一张圆形纸片至少对折（ ）次可以得到这个圆的圆心。
２、在同一个圆或相等的圆中，所有的半径长度都（ ）；
所有的直径长度都（ ）。
直径的长度是半径的（ ）。
４、连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做（ ），用字母（ ）表示。
５、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做（ ），用字母（ ）表示。
６、（ ）决定圆的大小；
（ ）决定圆的位置。
７、在长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径（ ）厘米。
8、时钟的分针转动一周形成的图形是（
）。
9、填表
3厘米
0.8米
7分米
3.7厘米
二、判断是否：
1、所有的半径都相等。
……………………………………………………（
）
2、直径的长度总是半径的2倍。
…………………………………………（
3、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
…………………
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