《中学代数研究》秋《数学与应用数学》专业Word文档下载推荐.docx
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11、下列哪个说法是错误的:
A.用尺规作图可以二等分角B.用尺规作图可以画出根号5的数
C.用尺规作图可以三等分角D.用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线
12、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有：
A.可数性；
B.连续性；
C.完备性D.稠密性
13、用下列哪种方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。
A.拉格朗日插值公式B.数列的母函数C.高阶数列的求和公式
14、加权平均不等式和下列哪种不等式有联系：
A.排序不等式B.均值不等式C.柯西不等式
15、下列说法，哪一个是错误的：
A.自然数集是可数的；
B.有理数集是可数的；
C.实数集是可数的；
16、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为
A.结构；
B.关系；
C.序偶；
D.对偶
17、不定方程求解的算理依据是：
A.孙子定理B.单因子构件法C.辗转相除法D.拉格朗日插值法
18、点到直线的距离公式，可以用--------推出：
A.均值不等式B.柯西不等式C.加权平均不等式D.排序不等式
19、复数集按照“字典排序”关系，是一个：
A.全序集B.有序域C.复数域
20、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为
A.序偶B.结构C.对偶D.关系
21、一个收敛的有理数列，其极限可以不是有理数，这说明有理数不具有：
A.稠密性B.可数性C.连续性
判断题：
√22、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。
√23、《孙子算经》、《周髀算经》、《九章算术》并称为我国最古老的数学三大名著。
×
24、“三等分角”是可解的。
（错误）
√25、在数学运算中，善于进行恒等变形是一项基本数学能力。
26、在讨论函数的复合运算时，使用函数的“变量说”定义比较方便。
27、在戴德金分割中，存在下列情形：
戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。
28、均值不等式和加权平均不等式是两个不同的不等式，二者并没有什么
关系。
29、实数集是可数的无穷集合
30、在戴德金分割中，存在下列情形：
√31、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。
32、自然数的序数理论回答了一个集合含“多少个元”的问题。
√33、代数学一般有古典代数与近代代数之分。
34、实数集是可数的。
√35、复数集是一个全序集。
36、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。
√37、有理数集和自然数集具有相同的“势”。
√38、斐波拉契数列和黄金分割数有密切的关系。
√39、0.999……=1（正确）
√40、形式幂级数的乘法运算定义是多项式乘法运算的推广。
√41、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”
三个条件。
√42、在自然数公理系统中“1”和“′”是两个没有实质意义的形式符号。
43、代数基本定理所表现出的思想方法原则是“单因子构件法。
44、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。
√45、代数学一般有古典代数与近代代数之分。
46、在实数的定义方法上，“无穷小数定义说”和“有理数区间套定义说”
并没有本质区别。
47、无穷小不是一个理想的数。
48、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。
√49、实数的有理数区间套定义和戴德金分割定义，两种定义方法在本质上
是一致的。
√50、柯西不等式与余弦定理有内在的联系。
√51、算术到代数的演进加速了数系的形成。
√52、任何有理数的十进位小数表示式都是循环的。
53、在讨论函数的复合运算时，使用函数的“变量说”定义比较方便。
54、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。
√55、三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何
作图问题。
56、有理数对极限运算是封闭的。
57、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。
58、对于有限数列来说，并不一定存在一个多项式函数，来表示它的通项。
59、群是古典代数研究的对象。
60、用尺规不能二等分角。
√61、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数（a,b）。
√62、0与空集的基数相对应，所以从集合论的角度看，0应当是自然数。
√63、自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性，所以，也可以
把数学归纳法当作公理来看待。
64、有理数对极限运算是封闭的。
65、实数集是可数的。
√66、“中学代数教学”的一个基本原则是：
在注意形式化的同时，加强
代数知识的直观理解。
√67、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。
证明题：
68、试用自然数（皮亚诺）公理系统证明数学归纳法：
设p（n）是关于自然数n的命题，如果p（n）满足下面的条件：
（1）p
（1）成立；
（2）假定从P（k）成立可以推出p（k+1）也成立，则命题p（n）对所有的自然数n都成立。
69、
abc各不相等用柯西不等式证明下列不等式.docx
70、
试证明三维形式的均指不等式.docx
71、
在三角形ABC中排序不等式证明.docx
在三角形ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，
求证：
72、试证欧拉数e不是一个有理数
73、试证没有一个有理数的平方等于5。
证明：
用反证法证明。
假设有理数
满足：
，并且
于是
。
因为5是素数，所以
|
设
则有
，
即得：
，这说明5|
于是5是p,q的一个共因子，与（p,q）=1矛盾
故假设不成立。
所以没有一个有理数的平方等于5成立。
74、试证任何一个有理数的平方都不等于5。
所以任何一个有理数的平方都不等于5成立。
75、证明自然数的加法满足交换律，即对于任意自然数a和b,有a+b=b+a.
答案要点：
我们要证交换律a+b=b+a.可以分以下两步证明。
①
.我们先证明等式a+1=1+a,
因此对a用归纳法。
设M是使等式成立的所有a的集合，显然，1∈M，
如果a
∈M,那么a+1=1+a,于是
aˊ+1=（a+1）+1
=（1+a）+1
=（1+a）ˊ=1+aˊ,
所以aˊ∈M,由归纳公理，
a+1=1+a
②
.我们对b用归纳法，证明a+b=b+a,
设M是对于给定a使得等式成立的所有b的集合，由①已证知，1
∈M，
如果b
∈M,那么a+b=b+a,利用已证过的结合律，得到
a+bˊ
=（a+b）ˊ
=（b+a）ˊ
=b+aˊ
=b+（a+1）
=b+（1+a）
=（b+1）+a
=bˊ+a.
所以bˊ∈M,由归纳公理，故加法的交换律被证明。
76、
试用柯西不等式证明平面三角不等式.docx
试用柯西不等式证明平面三角不等式
77、
证明pai与1/3的和是无理数。
.docx
证明
与
的和是无理数。
论述题：
78、试述算法学习的意义和作用
答：
算法是计算机理论和实践的核心，也是是数学的最基本内容之一。
可以这样说，数学学习的主要作用之一是形成“算法思维”。
算法有着悠久的发展历史，中国古代数学曾经以算法为特色，取得了举世瞩目的辉煌成就。
在已经逐步进入信息化社会的今天，算法的基本知识、方法、思想日益融入人们社会生活的方方面面，已经也应该成为现代人所应具备的一种基本素质。
高中数学课程中的算法有以下几个方面的作用：
（1）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力
在某种意义上，问题是数学的核心，对于很多数学问题，不论是代数问题还是几何问题，算法框图可以准确、清晰、直观地展示解决问题的过程。
一个算法常常可以解决一类问题。
因此，算法，一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性和精确性。
将解决具体问题的思路整理成算法的过程是一个条理化、精确化、逻辑化的过程，这有助于培养学生的逻辑思维能力。
（2）算法学习有助于提高学生的信息素养
信息技术正在改变着人们的生活方式、学习方式和工作方式，掌握和使用信息技术已是现代人必备的素养，高中数学课程中已开设了信息技术课程。
信息技术以计算机技术为核心，而计算机技术的核心则是算法。
因此，算法的学习有助于学生理解信息技术的本质，提高学生的信息素养。
79、试述“中学代数研究”的研究方法？
中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。
将中学代数知识严格化、系统化，有助于对数学知识有更深入地认识和了解；
另外，还要为中学数学教学服务，数学知识的讲授应当顾及到学生的心理，不应只讲究系统。
中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手：
（一）.从较高的数学观点来研究中学代数知识，加深对相关内容的本质理解；
例：
为什么复数不能比较大小
在中学里，我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部。
如果问：
两复数不等时，它们有没有大小关系？
其实，复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。
我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面，如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。
通过这种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可以有顺序的。
那么为什么复数不能比较大小呢？
要弄清这个问题，必须要弄清什么是大小关系？
什么是有序域？
在以后的学习中，我们会知道大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集是不能同时满足这两种性质的，从而复数不能比较大小。
在中学代数中，类似以上的例子还有很多，我们只有通过从较高的数学观点出发，才能清楚地理解或回答类似的问题。
（二）.用有机联系的观点来研究，丰富对中学代数知识的理解；
数学各知识间具有有机联系性，这不仅表现在“高等数学”与“初等数学”之间，而且在数学知识的各分支中，尤其是“数”与“形”的联系。
在以后有关不等式的学习中，我们会突出这一点，即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。
我们从几何的角度去处理代数知识或反过来，当把这种方法用于教学中时，学生就不会感到代数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。
这体现了“中学代数教学”的一个基本原则：
形式化与直观理解相结合。
（三）.适当注意对解题的研究，强化对中学代数知识理解的应用性。
数学学习和教学离不开解题，因此中学代数研究还要注意对解题方法的研究。
当然，我们不主张“题海战术”，只是适当注意对数学解题方法的研究而已。
80、进入21世纪之后，我国新颁布的《高中数学课程标准（实验稿）》为什么要把“算法”列入必修课？
算法由阿拉伯著名数学家阿尔花拉子米首先定义，其内容包括加法、乘法、减法、除法等。
算法是可定义为若干组含义明确的有穷规则，也是对特定问题求解步骤的一种描述，这种描述规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。
故算法具有五个特征：
①有穷性。
②确定性。
③可行性。
④输入。
⑤输出。
算法具有许多的用途，在解答难易程度的题其算法往往不一，但算法拥有最核心的问题和最基础的知识，如“先乘除，后加减”由内向外去括号，通分母，利用分配律进行运算，运用计算公式等。
算法作为一种核心观念贯穿于高中数学教学的始终。
故算法在高中课本上具有举足轻重的作用，算法的教学框图技能训练，是具有条理地，清晰的表达算法，也是因为框图已经为编程等也相当重要。
算法可以给学生学习带来方便，也可提高学生的逻辑思维能力。
故高中数学课程引入“算法”是明智的抉择。
81、请说明为什么复数不能比较大小。
复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。
大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集尽管按照字典排序法可构成一个序集，但这个序关系不能同时满足加法保序性和乘法保序性。
在这个意义上说，复数不能比较大小。
82、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？
83、方程的定义是什么？
并说出这样定义的好处？
目前中学数学教科书通用的方程定义是：
含有未知数的等式叫做方程。
这个定义用的是“种+属差”的逻辑定义方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知数的”等式。
由于它简洁明了，能为大家所认同和接受。
这个定义注重外观的描述，指出方程是通过已知数“求”未知数而产生的
等量关系。
但是“种+属差”的定义方式往往只能识别一个对象是不是方程，但是却无法从中获得方程的思想实质。
识别不同于认识和理解。
打个比方，我们可以通过照片识别一个人的外貌，却无法了解一个人的全部特质以及他的精神世界。
这里我们给出一个可以取代的定义：
“方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系”。
这样定义的好处是：
（1）它揭示了方程这一数学思想方法的目标：
为了求未知数；
（2）陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；
（3）方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。
84、试述“中学代数研究”的研究方法？
长期以来，对中学代数的研究存在一种单一的“严格化”倾向，即对中学代数知识用成熟的数学语言系统，逻辑地建立起来，中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。
我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化，毕竟这有助于对数学知识有更深入地认识和了解，但是单纯地为严格化而严格化，就失去了中学代数研究的重要目的。
正如F.克莱因指出的，我们当然要用较高的观点处理初等数学知识，只有观点越高，事物越显得简单；
为此，我们认为中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手：
85、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？
有理数一定可以写成循环小数：
在一般地推公式：
中，不妨设
，由此得出：
b是
86、试述函数概念的历史发展，以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求，并简要阐述函数概念引入的教学策略。
1.在函数概念发展史中，先后经历了“变量说”、“对应说”及“关系说”三种不同定义方式的发展过程。
首先，1755年，欧拉对函数作了如下定义：
“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的变量称为后面变量的函数。
”
这是函数的早期定义之一，它比较直观，现在，在初中数学教材就基本采用了这一定义。
即一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果变量y随着x的变化而变化，那么就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。
我们把这一定义，称为函数的“变量说”。
其次，数学家康托尔的集合论出现后，人们开始用集合之间的“对应”来定义函数概念，函数被明确地定义为集合之间的“对应”。
现在，在高中的数学教材中，我们就基本采用了函数的这一定义：
函数的“对应说”定义：
设A,B为非空数集，如果存在一个对应法则f，对A中每个元x按照对应法则f，在B中有唯一的一个元素y与之对应，则称这样的对应f叫做集合A到集合B上的函数，记为
f:
A→B。
后来，1914年，法国数学家豪斯道夫用序偶（x,y）的集合来定义函数，而不用对应一词。
在序偶定义及二元关系的基础上，形成了
函数定义的“关系说”：
设X与Y是两个集合，而f是X与Y笛卡尔积的子集，如果对于每一个x∈X,有唯一的y∈Y,使得（x,y）∈f,则称关系f为X到Y的函数，记作：
f:
X→Y。
2、函数作为高中数学的一条课程主线，贯穿于整个高中数学课程中。
特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。
表现在：
（1）函数与方程：
方程可看做函数的局部性质，如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质？
这是解决方程问题的基本思想。
（2）函数与数列：
等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。
（3）函数与不等式
用函数的观点来讨论不等式的问题，无论是对于理解函数的思想，还是解不等式的有关问题，都是非常有益的，有助于更好地理解这些知识本身和解决相关问题。
（4）函数与线性规划
解线性规划问题，关键的就是以下三步：
第一步，确定目标函数；
第二步，确定目标函数的可行域；
第三步，确定目标函数在可行域内的最值。
（5）函数与算法
在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。
循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的，用函数来刻画循环变量，可把循环变量看做“运算次数”的函数。
3、在高中函数概念的教学中，我们应当注意以下教学策略：
（1）在函数概念建构之前，通过引发学生的认知冲突，实现认知结构的“顺应”；
（2）在建构函数概念时，需要选择适宜的数学原型，利用数学原型归纳概括概念；
（3）在剖析函数概念时，将需要关注的问题和关键点融入到具体的问题中，请学生思考；
（4）在巩固函数概念时，提供类型丰富的题目（如表格对应、图形表示对应以及其它集合对应等），根据学生程度，设计有梯度的练习。
87、试述函数概念的历史发展，以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求，并简要阐述函数概念引入的教学策略。
第二步，
升级会员 