一元一次不等式组解题技巧Word文档下载推荐.docx
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1得x<
2,
•••2、在解集中找岀它
所要求的特殊解，
原不等式组解集为x<
正整数解
这个不等式组的正整数解1、2。
例5.m为何整数时，方程组的解是非负数?
本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。
先解方程组用m的代数式表示x,y,再运用“转化
等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。
解方程组得
•••方程组的解是非负数，•••
即
解不等式组•此不等式组解集为<
me
又Jm为整数，•m=3或m=4
例6.解不等式<
0.
由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。
两个数的商为负数这两个数异号，进题可转化为解两个不等式组。
•••<
0,•或⑵
由
（1）•无解，
由
（2）•
•••原不等式的解为-<
.
例7.解不等式-3<
3x-1<
5.
解法
（1）:
原不等式相当于不等式组
解不等式组得-e,•原不等式解集为-<
解法
（2）:
将原不等式的两边和中间都加上1,得-2<
3x<
6,
将这个不等式的两边和中间都除以3得，
-<
•原不等式解集为-<
（1）“不小于6”即》6,
（2）由题意转化成不等式问题解决，
由题意可得，6<
-<
8,
将不等式转化为不等式组，
•••解不等式⑴得x<
解不等式⑵得x>
-,
••••••原不等式组解集为-<
•••-<
6的整数解为x=士3,士2,士1,0,4,5,6.
•••当x取士3,士2,士1,0,4,5,6时两个代数式差不小于6而小于8。
例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于20并且小于40,求这个两位数
这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。
题目中有两个主要未关系：
个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：
20<
原两位数<
40。
设十位上的数为X,则个位上的数为（x+2）,原两位数为10x+（x+2）,
由题意可得：
10x+（x+2）<
40,
解这个不等式得，1vx<
3,
•/x为正整数，•1<
3的整数为x=2或x=3,
•当x=2时，•
当x=3时，•10x+（x+2）=35,
答：
这个两位数为24或35。
设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,
由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）
将⑴代入⑵得，20<
11x+2<
解不等式得：
1<
•/x为正整数，1<
3的整数为x=2或x=3,
•••当x=2时，y=4，二
当x=3时，y=5,•
20且小于40，所以它十位上的数只能是
解法（3）:
可通过“心算”直接求解。
方法如下：
既然这个两位数大于
时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。
例10.解下列不等式：
（1）||<
（2）<
0;
（3）（3x-6）（2x-1）>
（1）分析：
这个不等式不是一元一次不等式,
因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。
但由绝对值的知识|x|<
贝Ux>
a或x<
-a.
||<
-4<
<
4,
•由绝对值的定义可转化为：
即
系数化为1，•>
-,
系数化为1:
二xw3,
原不等式的解集为-ww3.
（2）分析：
不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。
它可以理解成
法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。
因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等
•/<
0,•••3x-6与2X+1异号，
即：
I或II
解I的不等式组得,•不等式组无解，
解II的不等式组得，•不等式组的解集为-<
•••原不等式的解集为-<
2.
（3）分析：
不等式的左边是（3x-6）（2x+1）为两个一次式的积的形式，右边是零。
它可以理解为“当x取何值时,
只要两个因式同号，积就为正值。
因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。
J（3x-6）（2x+1）>
0,•（3x-6）与（2x+1）同号，
即I或II
解I的不等式组得,•不等式组的解集为x>
解II的不等式组得，•不等式组的解集为x<
•原不等式的解集为x>
2或xv-.
说明：
ab>
0（或>
0）与ab<
0（或<
0）这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。
这类问题一般
（1）ab>
0（或>
0）,•、b同号，
即I或II,再分别解不等式组I和II，
如例10的（3）题。
（2）ab<
0（或<
0）,
•••ab<
0（或<
0）,•、b异号，
即I或II,
再分别解不等式组I和不等式组IIO
例11.已知整数x满足不等式3x-4<
6X-2和不等式-1<
并且满足方程3（x+a）=5a-2试求代数式5a3-的值
同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为
求岀a值，再将a代入代数式5a3-即可。
•/整数x满足3x-4<
和-1<
•••X为，解集的整数值，
解不等式⑴，得x>
-,解不等式⑵得，x<
1,
•的解集为-<
•--<
1的整数x为x=0,
又•••x=0满足方程3（x+a）=5a-2,
•将x=0代入3（x+a）=5a-2中,•-•-a=1,
当a=1时，5a3-=5x13-=4,
代数式5a3-的值为4.。
测试
选择题
1•解下列不等式组，结果正确的是
A、不等式组的解集是x>
3
B、不等式组的解集是-3vxv-2
C不等式组的解集是xv-1
D不等式组的解集是-4<
2
2•不等式组的解集是（）
A、x>
1
B、x<
C、x<
1或x>
D、1<
3．不等式组的解集是（）
A、x<
1B、x>
1C、x<
2D、无解
4.如果不等式组有解，那么m的取值范围是：
（）
A、m>
8B、m>
8C、m<
8D、m<
8
5.使两个代数式x-1与x-2的值的符号相同的x取值范围是（）
A、x>
2B、x<
C、x<
2D、x>
1或x<
答案与解析
答案：
1、D2、D3、D4、C5、C
解析：
2.分析：
由
（1）得x<
3，由
（2）得x>
1二1<
3答案：
D
3.分析：
先解不等式，看是否有解，由
（1）得x<
1,由
（2）得x>
2,两者无公共部分，所以选0答案：
5.因x-1与x-2的值的符号相同，所以
或
可求得x>
2或x<
1.
所以选C.
注：
比较简单，应该全部正确。
一元一次不等式和它的解法
考点扫描:
1.了解一元一次不等式的概念.
2.会用不等式的基本性质解一元一次不等式.
名师精讲:
一元一次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫一元一次不等式.其标
1•一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax>
b或ax<
b，其中x是未知数，
2.一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程类似，基本思想是化为最简形式（ax>
ba工）后，
都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变.
中考典例：
1•解不等式-（x-1）<
1，并把它的解集在数轴上表示岀来.
考点：
一元一次不等式的解法
评析：
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要注意不等式性质3的运用.该题可先去分母（不要漏乘
后得岀解集，解题过程如下：
原不等式化为：
x-2-2（x-1）<
x-2-2x+2<
-xV2
x>
-2.
它在数轴上表示为：
2.（河北省）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题,每道题都给岀4个答案，其中只有一个答案
分,不选或选错倒扣2分.如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了道题
一元一次不等式的应用
可设选对了x道，那么选错或不选的共有（25-x）道题。
根据题意，可以列不等式为4x-2（25-x）>
60,解
列不等式解的应用题，一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求，要正确理解这几个词的含义.
3.商场岀售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高岀10%
一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电元计算）？
列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意，设出适当的未知数.消费者要买A型冰箱，10年的花费用比B型少才
X10X1X,B型10年的费用为2190X（1+10%）+365X10XX，根据题意得不等式2190X+365X10X1X<
折，解题过程如下：
解:
设商场将A型冰箱打x折岀售，消费者购买才合算
依题意，有
2190X+365X10X1X<
X（1+10%）+365X10XX
即219x+1460<
+803
解这个不等式，得x<
商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算.
真题专练：
1•不等式7-2x>
1的正整数解是
2•若代数式+2x的值不大于代数式8-的值，那么x的正整数解是•
3•恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家
家庭类型
贫困家庭
温饱家庭
小康家庭
发达国家家庭
最富
思格尔系数
（n）
75%以上
50%—75%
40%—49%
20%—39%
则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为•
4.（杭州市）x的2倍减3的差不大于1，列岀的不等式是（）
A、2x-<
1B、2x-3>
1C、2x-3v1D2x-3>
1
5.（内江市）解不等式>
6.（安徽省）解不等式3x-2（1-2x）>
1，并把解集在数轴上表示岀来.
7.（陕西省）乘某城市的一种岀租汽车起价是10元（即行驶路程在5km以内都需付10元车费），达到或超过
1km计）.现在某人乘这种岀租汽车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路大约是多少？
1、1，2;
2、1，2，3（提示：
根据题意得不等式+2x<
-解不等式得x<
，•••正整数解为1,2,3）;
3、40%<
n<
49%
4、A；
5、解：
去分母得8x-4-20x-2>
15x-60
移项合并同类项得-27x>
-54
解得x<
2
6、解：
3x-2+4x>
1,
7x>
3,
x>
所以原不等式的解集为x>
在数轴上表示为：
7、解：
设从甲地到乙地的路程大约是xkm,根据题意，得
16<
10+（x-5）<
解此不等式组，得
10<
11
从甲地到乙地的路程大于10km,小于或等于11km.
一元一次不等式组和它的解法
1.了解一元一次不等式组及其解集的概念.
2.掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集.
1.一元一次不等式组及其解集：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分
2.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组
3.解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求岀这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
1•不等式组的解集是.
一元一次不等式组的解法.
分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，解不等式
（1）得x<
4,解不等式
（2）得x<
5，公共部分是x<
4，即为不
2•若不等式组的解集为-1<
xv1,那么（a+1）（b-1）的值等于.
不等式组解集的应用
此题类型是；
已知不等式组的解集，求其中字母系数，进而求关于字母系数的代数式的值。
这类问题解法是：
先解不等数的值，进而代入所给代数式，求出代数式的值，具体解法如下：
由2x—av1得XV;
由％—2b>
3得x>
3+2b，因为方程组有解，所以，>
3+2b，方程组的解是3+2k<
b=-2.•••（a+1）（b-1）=-6
3•不等式组的最小整数解为（）
A、-B、0C、1D、4
不等式组的整数解
解不等式⑵得x<
4,所以不等式组的解集为vx<
4，在此不等式中最小整数为0，所以选B.
解此类问题是先求岀不等式组的解集，然后在解集中，求整数值.
1•不等式组的解集是，这个不等式组的最小整数解是.
2.不等式组的解集是.
3.不等式组的解集是.
4.不等式组的解集是.
5.不等式组的解集是.
6.若不等式组有三个整数解则a的取值范围是
7.不等式组的解集是（）
6
C、1<
x<
D、x<
8．不等式组的解在数轴上可表示为（）
9．不等式组的解集（）
Ax>
1B、xv2C、1vxv2D、1<
xv2
10．不等式组的整数解是（）
A、-1,0,1B-1,1
C-1,0D、0,1
11．不等式组成的整数解的个数是（）
12．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A、
B、
C、
D、
13．不等式组的解集是（）
A、-2<
1Bx<
1C、x>
-2D无解
A、-4<
B、-4<
-1
C、-1<
4D、1<
4
14．不等式组的解集是（）
15．不等式组的整数解的个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
16.有解集为2<
3的不等式组是（
BCD、
17.解不等式组
18•解不等式组
19•求不等式组的整数解.
20•解不等式组
21•解不等式组并写出不等式组的整数解.
22.
解不等式组,
并把解集在数轴上表示出来.
23.
解不等式组
24.
25.
并在数轴上表示解集.
26.
求不等式组
的整数解.
答案:
1、—4<
-2,-3；
2、—2<
4；
3、1<
2;
4、x<
-3；
5、-10<
6、0<
a<
1（提示由已知得x>
a,x<
，则其解集为a<
3,故a的范围为0<
aw1；
16、C
7、C8、A9、D10、C11、D12、C13、A14、A15、C
17、解：
解不等式⑴，得x<
解不等式⑵，得x+8>
-3x
-2.
在数轴上表示不等式
（1）,
（2）的解集.
不等式组的解集为-2<
3
18、解：
解10--3）>
2（x-1），得x<
4.
解x->
，得x>
•••不等式组的解集为<
19、解：
解3x+7<
5（x+2），得x>
解，得x<
2.
•不等式组的解集为<
在<
2中的整数有-1、0、1
•不等式组的整数解是：
-、0、1.
20、解：
解不等式①得x<
2.
解不等式②得x>
-1.
所以不等式组的解集是-Kx<
21、解：
解不等式2x+5<
3（x+2）,得x>
-1•解不等式得x<
•••原不等式组的解集是-<
xV3.
•••不等式组的整数解是-
22、解：
由不等式x—4（x—5）>
8.得xv4.
由不等式•
•不等式组的解集是
这个不等式组的解集在数轴上表示如下：
23、提示：
原不等式变为解得
解集为-1<
xv9在数轴上表示如图所示
25、提示：
解不等式①得
1,解不等式②得xv4,所以不等式组的解集为
1vxv4.在数轴上表示如图所示
24、提示：
解不等式①得xv，解不等式②得x>
0，所以不等式组解集为OWxv
26、解：
由①得x>
-，由②得xW
•原不等式组的解集为：
-vxW
•/X为整数，•x=-1,0,1.即不等式组的整数解为-1,0,1.
一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧
已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。
下面举例介绍常用的五种技巧方法。
、化简不等式（组），比较列式求解
例1.若不等式的解集为，求k值。
化简不等式，得x<
5k,比较已知解集，得，•••。
例2.（山东威海市中考题）若不等式组的解集是x>
3,则m的取值范围是（）。
A、m>
B、m=3C、m<
3D、m<
化简不等式组，得，比较已知解集x>
3，得3>
m,•选Do
例3.（重庆市中考题）若不等式组的解集是-1<
1，那么（a+1）（b-1）的值等于o
化简不等式组，得
•/它的解集是-1<
1，
•也为其解集，比较得
•（a+1）（b-1）=-6.
评述：
当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组
二、结合性质、对照求解
例4.（江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式（1-a）x>
2的解集为，则a的取值范围是（）。
A、a>
0B、a>
1C、a<
0D、a<
对照已知解集，结合不等式性质3得：
1-a<
0,即a>
1，选Bo
例5.（湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是x>
a，则a的取值范围是（）。
a,得a>
3,•选Do
A、a<
3B、a=3C、a>
3D、a》
根确定不等式组解集法则：
“大大取较大”，对照已知解集
三、利用性质，分类求解
例6.已知不等式的解集是，求a的取值范围解：
由解集得x-2<
0,脱去绝对值号，得
。
当a-1>
0时，得解集与已知解集矛盾；
当a-仁0时，化为0•x>
0无解；
当a-1<
0时，得解集与解集等价。
例7.若不等式组有解，且每一个解x均不在-1<
4范围内，求a的取值范围。
-1
T它有解，二5a-6<
3aTa<
3利用解集性质，题意转化为：
其每一解在x<
-1或x>
4内。
于是分类求解，当
为所求。
（1）未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；
对解
求解.
（2）要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号.
四、借助数轴，分析求解
例8.（山东聊城中考题）已知关于x的不等式组的整数解共5个，贝Ua的取值范围是。
由图1得:
-4<
a<
化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，如图1,其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3.
⑵若上不等式组无整数解，求a的范围.（答：
（1）-1<
0;
（2）a>
1）
例9.关于y的不等式组的整数解是-3,-2,-1,0,1。
求参数t的范围
化简不等式组，得其解集为
借助数轴图2得
化简得，•••。
不等式（组）有特殊解（整解、正整数解等）必有解（集），反之不然•图2中确定可动点4、B的位置，是正确
五、运用消元法，求混台组中参数范围
例10.下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表•某食品公司准备将三种食品混合成100kg，
个单位含量•要想成本最低，问三种食品各取多少kg?
A
B
C
硒（单位含量/kg）
锌（单位含量/kg）
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