第1节 集合Word格式文档下载.docx
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集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
[常用结论与微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
2.子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
3.注意空集:
空集是任何集合的子集,是非空集合的真子集,应时刻关注对于空集的讨论.
4.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
5.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
解析
(1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.
(3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.(新教材必修第一册P9T1
(1)改编)若集合P={x∈N|x≤
},a=2
,则( )
A.a∈PB.{a}∈P
C.{a}⊆PD.a∉P
解析 因为a=2
不是自然数,而集合P是不大于
的自然数构成的集合,所以a∉P,只有D正确.
答案 D
3.(老教材必修1P44A组T5改编)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R且y=x},则A∩B中元素的个数为________.
解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点
,
,则A∩B中有两个元素.
答案 2
4.(2019·
全国Ⅲ卷)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )
A.{-1,0,1}B.{0,1}
C.{-1,1}D.{0,1,2}
解析 因为B={x|x2≤1|}={x|-1≤x≤1},又A={-1,0,1,2},所以A∩B={-1,0,1}.
答案 A
5.(2019·
全国Ⅱ卷改编)已知集合A={x|x>
-1},B={x|x<
2},全集U=R,则(∁UA)∪B=( )
A.(-1,+∞)B.(-∞,2)
C.(-1,2)D.∅
解析 易知∁UA={x|x≤-1},B={x|x<
2}.
∴(∁UA)∪B={x|x<
答案 B
6.(2020·
南昌调研)已知集合M={x|0<
x<
5},N={x|m<
6},若M∩N={x|3<
n},则m+n等于( )
A.9B.8C.7D.6
解析 因为M∩N={x|0<
5}∩{x|m<
6}={x|3<
n},所以m=3,n=5,因此m+n=8.
考点一 集合的基本概念
【例1】
(1)定义P⊙Q=
,已知P={0,-2},Q={1,2},则P⊙Q=( )
A.{1,-1}B.{1,-1,0}
C.
D.
(2)设集合A={x|(x-a)2<
1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.
解析
(1)由定义,当x=0时,z=1,
当x=-2时,z=1-2+
=-1或z=2-2-1=-
.
因此P⊙Q=
(2)由题意得
解得
所以1<
a≤2.
答案
(1)C
(2)(1,2]
规律方法 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;
然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】
(1)(2018·
全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
(2)若x∈A,则
∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1B.3C.7D.31
解析
(1)由题意知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,
-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A中共有9个元素.
(2)具有伙伴关系的元素组是-1,
,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:
{-1},
答案
(1)A
(2)B
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)已知集合A={x|y=
,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BA
C.A⊆BD.B=A
(2)(2020·
沈阳一中检测)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为________.
解析
(1)易知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}.
因此BA.
(2)由A⊆(A∩B),得A⊆B,则
①当A=∅时,2a+1>
3a-5,解得a<
6;
②当A≠∅时,
解得6≤a≤9.
综上可知,使A⊆(A∩B)成立的实数a的取值范围为(-∞,9].
答案
(1)B
(2)(-∞,9]
规律方法 1.若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.
【训练2】
(1)若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=NB.M⊆N
C.M∩N=∅D.N⊆M
武昌调研)已知集合A={x|log2(x-1)<
1},B={x||x-a|<
2},若A⊆B,则实数a的取值范围为( )
A.(1,3)B.[1,3]
C.[1,+∞)D.(-∞,3]
解析
(1)易知M={x|-1≤x≤1},N={y|y=x2,|x|≤1}={y|0≤y≤1},∴N⊆M.
(2)由log2(x-1)<
1,得0<
x-1<
2,所以A=(1,3).
由|x-a|<
2得a-2<
a+2,即B=(a-2,a+2).
因为A⊆B,所以
解得1≤a≤3.
所以实数a的取值范围为[1,3].
答案
(1)D
(2)B
考点三 集合的运算
多维探究
角度1 集合的基本运算
【例3-1】
(1)(2019·
全国Ⅰ卷)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁UA)=( )
A.{1,6}B.{1,7}
C.{6,7}D.{1,6,7}
九江模拟)已知全集U=R,集合A={x|x-4≤0},B={x|lnx<
2},则∁U(A∩B)=( )
A.{x|x>
4}B.{x|x≤0或x>
4}
C.{x|0<
x≤4}D.{x|x<
4或x≥e2}
解析
(1)由题意知∁UA={1,6,7}.又B={2,3,6,7},
∴B∩(∁UA)={6,7}.
(2)易知A={x|x≤4},B={x|0<
e2},则A∩B={x|0<
x≤4},故∁U(A∩B)={x|x≤0或x>
4}.
答案
(1)C
(2)B
角度2 抽象集合的运算
【例3-2】设U为全集,A,B是其两个子集,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由图可知,若“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”,则一定有“A∩B=∅”;
反过来,若“A∩B=∅”,则一定能找到集合C,使A⊆C且B⊆∁UC.
答案 C
规律方法 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用:
(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;
(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
【训练3】
(1)(角度1)(2019·
天津卷)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<
3},则(A∩C)∪B=( )
A.{2}B.{2,3}
C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}
(2)(角度1)已知集合A={x|x2-x≤0},B={x|a-1≤x<
a},若A∩B只有一个元素,则a=( )
A.0B.1C.2D.1或2
(3)(角度2)若全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={x|x2-1=0},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{-1,0,1}B.{-1,0}
C.{-1,1}D.{0}
解析
(1)由题意A∩C={1,2},则(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D.
(2)易知A=[0,1],且A∩B只有一个元素,因此a-1=1,解得a=2.
(3)B={x|x2-1=0}={-1,1},阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).又A∪B=
{-2,-1,1,2},全集U={-2,-1,0,1,2},所以∁U(A∪B)={0}.
答案
(1)D
(2)C (3)D
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·
北京卷)已知集合A={x|-1<
2},B={x|x>
1},则A∪B=( )
A.(-1,1)B.(1,2)
C.(-1,+∞)D.(1,+∞)
解析 将集合A,B在数轴上表示出来,如图所示.
由图可得A∪B={x|x>
-1}.故选C.
2.(2019·
浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA)∩B=( )
A.{-1}B.{0,1}
C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}
解析 由题意,得∁UA={-1,3},∴(∁UA)∩B={-1}.
3.(2019·
郴州模拟)已知集合A={0,1,2,3,4,6},B={x|x=2n,n∈N},则A∩B的元素个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析 ∵集合A={0,1,2,3,4,6},B={x|x=2n,n∈N}={1,2,4,8,…},∴A∩B={1,2,4},∴A∩B的元素个数是3.
4.设集合M={x|x2-x>
0},N=
A.MNB.NM
C.M=ND.M∪N=R
解析 集合M={x|x2-x>
0}={x|x>
1或x<
={x|x>
0},所以M=N.
5.设集合A={x|-1<
x≤2},B={x|x<
0},则下列结论正确的是( )
A.(∁RA)∩B={x|x<
-1}
B.A∩B={x|-1<
0}
C.A∪(∁RB)={x|x≥0}
D.A∪B={x|x<
解析 易求∁RA={x|x≤-1或x>
2},∁RB={x|x≥0},
∴(∁RA)∩B={x|x≤-1},A项不正确.
A∩B={x|-1<
0},B项正确,检验C、D错误.
6.已知集合M={x|y=
},N={x|y=log2(2-x)},则∁R(M∩N)=( )
A.[1,2)B.(-∞,1)∪[2,+∞)
C.[0,1]D.(-∞,0)∪[2,+∞)
解析 由题意可得M={x|x≥1},N={x|x<
2},∴M∩N={x|1≤x<
2},∴∁R(M∩N)={x|x<
1或x≥2}.
7.(2020·
日照一中月考)已知A=[1,+∞),B=[0,3a-1],若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.
D.(1,+∞)
解析 由题意可得3a-1≥1,解得a≥
,∴实数a的取值范围是
8.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析 由
得
∴A∩B={(2,-1)}.
由M⊆(A∩B),知M=∅或M={(2,-1)}.
二、填空题
9.(2019·
江苏卷)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>
0,x∈R},则A∩B=________.
解析 由交集定义可得A∩B={1,6}.
答案 {1,6}
10.已知集合A={1,3,4,7},B={x|x=2k+1,k∈A},则集合A∪B中元素的个数为________.
解析 由已知得B={3,7,9,15},
所以A∪B={1,3,4,7,9,15},
故集合A∪B中元素的个数为6.
答案 6
11.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<
0,c>
0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>
0}=(0,1),B={x|x2-cx<
0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
答案 [1,+∞)
12.若全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(∁UB)=________.
解析 由题意,得集合A={x|x2-x-2≥0}={x|x≤-1或x≥2},
因为log3(2-x)≤1=log33,所以0<
2-x≤3,
解得-1≤x<
2,所以B={x|-1≤x<
2},
从而∁UB={x|x<
-1或x≥2},
故A∩(∁UB)={x|x<
-1或x≥2}.
答案 {x|x<
-1或x≥2}
B级 能力提升
13.(2020·
福州检测)已知集合A={x|x2-16<
0},B={x|3x2+6x=1},则( )
A.A∪B=∅B.B⊆A
C.A∩B={0}D.A⊆B
解析 由题意,得A={x|x2-16<
0}={x|-4<
4},B={x|3x2+6x=1}={0,-6},A∪B={x|x=-6或-4<
4},A∩B={0},故A错误,显然B、D错误,故C正确.
14.已知集合A={x|y=
},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-3]∪[2,+∞) B.[-1,2]
C.[-2,1] D.[2,+∞)
解析 集合A={x|y=
}={x|-2≤x≤2},
因A∪B=A,则B⊆A.
又B≠∅,所以有
所以-2≤a≤1.
15.(多填题)已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<
0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
解析 A={x∈R||x+2|<
3}={x∈R|-5<
1},
由A∩B=(-1,n),可知m<
1,
则B={x|m<
2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
答案 -1 1
16.集合U=R,A={x|x2-x-2<
0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是________.
解析 易知A=(-1,2),B=(-∞,1),∴∁UB=[1,+∞),A∩(∁UB)=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<
答案 [1,2)
C级 创新猜想
17.(多填题)对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|y=lg(9-x2)},则B-A=________,A*B=________.
解析 由题意,得A={y|y≥0},B={x|-3<
3},
∴A-B={x|x≥3},B-A={x|-3<
0}.
因此A*B={x|x≥3}∪{x|-3<
0}={x|-3<
0或x≥3}.
答案 {x|-3<
0} {x|-3<
0或x≥3}