统计学e.ppt

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统计学,工商管理类核心课程,唐爱莉主讲,面向21世纪课程教材,2,第3节趋势变动分析,3.1长期趋势测定和分析的目的；3.2线性趋势的测定方法移动平均法；3.3线性趋势的测定方法指数平滑法；3.4线性趋势的测定方法直线趋势方程拟合法；3.5非线性趋势的线性拟合法；3.6趋势线的选择。

统计学,3,3.1长期趋势测定和分析的目的,目的有三个：

（1）认识现象随时间发展变化的趋势和规律性；

（2）对现象未来的发展趋势作出预测；（3）从时间序列中剔除长期趋势成分，以便分解出其他影响因素。

长期趋势就一个较长时期而言，时期越长越好。

长期趋势分为线性、非线性趋势。

3.3线性趋势的测定移动平均法,3.3.1移动平均法及其特点3.3.2移动平均预测法-简单移动平均-加权移动平均,统计学,5,3.3.1移动平均法及其特点,

（1）它是扩大原时间序列的时间间隔，选定的时距项数K，采用逐次递移的方法对原数列递移的K项计算一系列序时平均数，形成新数列消除或消弱原数列中的由于短期偶然因素引起的不规则变动和其他成分，对原数列起到修匀作用，从而呈现出现象在较长时期的发展趋势。

6,例：

表7-4为某市某客运站旅客运输量及其三项移动平均和五项移动平均的计算结果,表7-4某市某客运站旅客运输量单位：

万人公里,7,例:

为消除季节变动对表7-4中的数列作四次移动平均,结果见表7-5,表7-5某客运站旅客运输量四次移动平均计算表单位:

万人公里,统计学,8,3.3.1移动平均法及其特点,

（2）移动平均法的特点：

A、移动平均对原数列有修匀作用，平均的时距项数K越大，对数列的修匀作用越强；B、移动平均时距项数K为奇数时，只需一次移动平均，其均值作为移动平均项数中间一期的数值；时距项数K为偶数时，移动平均值无法对正某一期，需要再进行相邻两平均值的移动平均，是其均值对正某一期，这叫移正平均；,统计学,9,3.3.1移动平均法及其特点,

（2）移动平均法的特点：

C、当数列包含季节变动，移动平均时距项数K应与季节变动长度一致（如4个季度或12个月），消除季节变动；数列包含周期变动时，时距项数K应和周期长度基本一致，较好消除周期波动；D、移动平均后数列比原数列的项数更少。

奇数项移动平均所形成的新数列，首尾各少（K-1）/2项；偶数项移动平均所形成的新数列，首尾各少K/2项。

所以移动平均使原数列失去部分信息，平均项数越大失去信息越多，因此项数不宜过大。

3.3.2移动平均预测法简单移动平均,选择一定长度的移动间隔，对序列逐期移动求得平均数作为下一期的预测值将最近k期数据平均作为下一期的预测值设移动间隔为k（1kt），则t+1期的移动平均预测值为预测误差用均方误差（MSE）来衡量,例题：

利用Excel对某市某客运站旅客运输量进行移动平均预测,步骤：

1在工作表中输入数据2在“工具”中打开“数据分析”，点击“移动平均”，输入数据区域3在“间隔”中输入k（3、4、5），在“输出区域”输入指定区域，点击“确定”。

4若四次移动平均，需要对四次移动平均的结果再做“间隔”为2的移动平均。

注意：

在选择输出区域时，应将输出区域的第一个单元格设置在第一个数值的下一行。

用Excel进行移动平均预测,3.3.2移动平均预测法简单移动平均,表某客运站旅客运输量四次移动平均趋势预测单位:

万人公里,3.3.2移动平均预测法简单移动平均的特点,将每个观察值都给予相同的权数只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k主要适合对较为平稳的序列进行预测对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长,3.3.2移动平均预测法加权移动平均法,加权移动平均法给每个观测值赋予不同的权重，实际中，近期观测值比远期观测值的影响更大一些，赋予更大的权重。

设移动间隔为k（1kt），权数为wi（i=1,2,t）,wi=1则t+1期的移动平均预测值为权重的选择同移动期数相同，可以根据预测误差来判断，选择误差最小的权重和期数组合。

3.4线性趋势的测定方法指数平滑法（exponentialsmoothing）,

（1）指数平滑法可以弥补移动平均法的不足，能够充分利用所有的数据信息，同时又体现近期数据对未来预测影响作用更大的特点。

它是通过计算一系列指数平滑值消除不规则变动，揭示现象的基本趋势。

具体来讲，指数平滑法是一种特殊的加权平均法，就是利用本期实际观察值和本期预测值，分别给予不同的权数进行加权，求得一个指数平滑值（Et），作为下一期趋势预测值（Tt+1）的预测方法。

3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,

（2）其基本思想是：

如果第t期趋势估计值与第t期实际值完全一致，二者之间没有误差，则可以第t期趋势估计值直接作为第（t+1）期的趋势估计值；如果二者之间有误差，则这种误差可分为两部分：

一部分是不规则随机误差另一部分是现象从第（t-1）期到第t期的实质性变化。

3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,（3）为了合理估计趋势值，就要剔除不规则随机误差，反映出现象的实质性变化。

误差中属于现象实质性变化部分的比例可由平滑系数（权数）决定，值越大，即认为误差中现象实质性变化的比例越大，在下期的趋势估计中本期的误差就保留的越多；反之，值越小，则认为误差中不规则随机因素引起的随机误差所占比例越大，在下期的趋势估计中本期的误差就剔除的越多。

3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,（4）指数平滑由一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等。

一次指数平滑的计算公式一：

从公式中得知，指数平滑具有递推性质，各期指数平滑值均在上期平滑值的基础上递推而得，即第t期指数平滑值Et是在第（t-1）期指数平滑值Et-1的基础上，加上第t期的实际观测值yt与作为第t期趋势估计值的第（t-1）期指数平滑值Et-1间误差的一部分组合而成。

3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,（5）将公式一改写，得到公式二，即因指数平滑法是将一个指数平滑值（Et）作为下一期趋势预测值（Tt+1），则一次指数平滑趋势预测值：

可以看出，第t期指数平滑值（即第t+1期的预测值）等于第t期的实际值与第t期的预测值的加权平均，指数平滑是加权平均的一种特殊形式。

3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,（6）平滑系数（权系数）的选择：

分析公式,3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,（6）平滑系数（权系数）的选择：

由于a是介于0与1之间的小数，随着时间t的增大，最后一项系数（1-a）t几乎为零，将此略去后，有可见指数平滑值Et实质上是各期观测值yt的加权平均数（权数和为1），各期权数（a,a（1-a）,a（1-a）2,）呈指数递减形式，故称指数平滑。

第t期平滑值包含了以前所有数据的信息，但又对不同时期的数据给与不同的权数，越是近期的数据，给予权数越大,且权系数之和为1，即,3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,（6）平滑系数（权系数）的选择：

第一，a值越小，对序列的平滑作用越强，对时间序列的变化反映越慢，因而序列中随机波动较大时，为了消除随机波动的影响，可选择较小的a，使序列较少受随机波动的影响；a值越大，对序列的平滑作用越弱，对时间序列的变化反映越快，因而为了反映出序列的变动状况，可选择较大的a，使数据的变化很快反映出来。

3.4线性趋势的测定方法指数平滑法,第二，如果对将来趋势的估计主要依靠近期信息，a值选择得大一些；如果希望充分重视历史信息，a值选择得小一些。

第三，看对初始值的重视程度，如果对初始值的正确性把握不大，希望减小初始值的影响，则a值宜大些；反之，对初始值的正确性把握较大，希望突出初始值的影响，则a值宜小些。

第四，通常可以选择几种不同的a数值进行比较，最后选择使实际值和估计值均方误差最小的a。

例题：

某客运站旅客运输量指数平滑预测值计算结果单位：

万人公里,例题：

利用Excel对某客运站旅客运输量指数平滑预测,第1步：

选择【工具】下拉菜单第2步：

选择【数据分析】，并选择【指数平滑】，然后【确定】第3步：

当对话框出现时在【输入区域】中输入数据区域,在【阻尼系数】（注意：

阻尼系数=1-）输入的值,选择【确定”】,用Excel进行指数平滑预测,统计学,26,利用下表数据运用一次指数平滑法对2001年1月某地平板玻璃月产量进行预测（取=0.3，0.5，0.7）。

并计算均方误差选择使其最小的进行预测。

拟选用=0.3，=0.5，=0.7试预测。

结果列入下表：

例题,统计学,27,统计学,28,=0.3，=0.5，=0.7时，均方误差分别为：

MSE=287.1MSE=297.43MSE=233.36因此可选=0.7作为预测时的平滑常数。

2001年1月的平板玻璃月产量的预测值为：

由上表可见：

最小,统计学,29,附加：

二次指数平滑法,线性二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上，对一次指数平滑值再进行一次平滑预测，只利用三个数据和一个值就可进行计算；,在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑法作为预测方法。

统计学,30,计算公式：

为一次指数平滑值；,为二次指数平滑值。

统计学,31,3.5线性趋势的测度直线趋势方程拟合法,

（1）是利用直线回归的方法对原始时间序列拟合线性方程，消除其他成分变动，从而揭示出数列长期直线趋势的方法。

直线趋势方程的一般形式为:

式中：

为时间序列的趋势值，t表示时间，a为截距项，是t=0时的初始值，b为趋势线斜率，表示时间t变动一个单位时趋势值的平均变动数量。

参数a、b用最小二乘法估计,统计学,32,3.5线性趋势的测度直线趋势方程拟合法,

（2）其思想：

对时间序列配合一条较为理想的趋势线，它是一条最接近原数列的趋势线，趋势线满足下面条件：

A、原数列数值Y与趋势值的离差平方和为最小，即B、原数列数值Y与趋势值离差和为零，即,统计学,33,3.5线性趋势的测度直线趋势方程拟合法,（3）最小二乘法估计参数a、b：

根据设Q是a、b的函数，Q为最小值，则对a、b求偏导数应为0，即整理得：

Y-na-bt=0tY-at-bt2=0即方程组：

统计学,34,3.5线性趋势的测度直线趋势方程拟合法,（3）最小二乘法估计参数a、b：

Y=na+bttY=at+bt2方程中t的取值一般按时间顺序取0，1，2，n连续的整数，t=0表明具体某一年是趋势直线方程的原点。

统计学,35,3.5线性趋势的测度直线趋势方程拟合法,（4）最小二乘法估计参数的评价：

由上知拟合直线就是找a、b的适当取值。

a、b是两个未知常数，其估计量是随机变量Y观察值的线性函数，因此一方面a、b是随机变量，另一方面对一组既定的观察值总有确定的a、b，使用时视为常数。

数学定理已证明最小二乘法确定的参数是最佳线性无偏估计。

测定线性、非线性趋势均可应用。

36,例：

对表7-4中旅客运输量，可得直线趋势方程拟合计算表，如表7-6,表7-6直线方程拟合计算表单位：

万人公里,统计学,37,例,将计算表中数据代入公式得:

所以，直线趋势方程为：

这里2004年第四季度为方程原点。

趋势方程具有外推功能，可以对未来趋势值进行预测，如预测该客运站2008年一季度的客运量为：

Y13=93.72727+2.50349713=126.2727（万人公里）,统计学,38,3.5线性趋势的测度直线趋势方程拟合法,（5）最小二乘法拟合线性趋势简算：

当取时间序列中间时期为趋势方程的原点，有t=0，此时方程组简化为：

Y=na解得tY=bt2注意：

数列项数为奇数时，计算容易，将中间时期作为原点，t依次取值-3，-2，-1，0，1，2，3，；当数列项数为偶数时，如有10年资料，原点在第5、6年之间，t的取值为，-1.5,-0.5,0.5,1.5，数字再扩大一倍变为，-3，-1，1，3，计算。

例：

利用Excel对某客运站旅客运输量拟合趋势方程,步骤一：

在工作表中输入客运量数据y，输入时间序号t步骤二：

在“工具”中的“数据分析”中点击“回归”步骤三：

在“回归”对话框中分别填写x、y的输入区域，选定输出区域，点击“确定”,用Excel进行线性趋势预测,统计学,40,3.6非线性趋势,把握以下问题：

3.6.1非线性趋势的概念；3.6.2抛物线的方程拟合；3.6.3指数曲线型的方程拟合。

统计学,41,3.6.1非线性趋势的概念,事实上，现象的长期趋势不总是线性，即现象变动的变化率或趋势线的斜率在一个较长时期是有变动的，当这种变动明显时，长期趋势是非线性的，但又有一定规律，称非线性趋势，它常呈现某种形态的曲线变化，又称曲线趋势。

非线性趋势变动的形式多样，有抛物线型、指数曲线型、修正指数曲线型等，这里只介绍抛物线型和指数曲线型。

统计学,42,3.6.2抛物线型的方程拟合,

（1）当现象的长期趋势近似于抛物线形态时，或每期的二级增长量（指各期增长量的逐期增长量）基本相等时，拟合二次曲线方程：

需要估计参数a、b、c，据最小二乘法导出标准方程：

统计学,43,3.6.2抛物线型的方程拟合,

（2）简算：

将时间序列的中间时期设为原点，则t=0，t3=0，方程式简化为：

例略，请看书。

统计学,44,3.6.3指数曲线型的方程拟合,

（1）当现象的长期趋势每期大体上按相同的增长速度递增或递减变化时，或各期环比增长速度大体相同，即时间序列的趋势值按一定的百分比递减或递增时，拟合指数曲线方程：

上式a、b为未知参数，当b1时，为递增曲线；当0b1时，为递减曲线。

统计学,45,3.6.3指数曲线型的方程拟合,

（2）参数的估计：

对前式两端取对数：

设则有Y=A+Bt运用最小二乘法可估计出a和b，再取反对数可得参数a、b的估计值。

例略，请看书。

统计学,46,3.7趋势线的选择,长期趋势方程的拟合，需要判断现象发展的基本规律和态势，采用最合适的形式，方法如下：

（1）进行定性分析：

研究现象的客观性质，分析其一般的发展规律，作出基本判断。

（2）绘散布图：

根据时间序列的观测值画图，从分布的基本态势判断现象变化的类型。

统计学,47,3.7趋势线的选择,（3）分析序列的数据特征：

若序列指标数值一次差（逐期增长量）大体相同，拟合直线；若二次差大体相同，拟合二次曲线，K次差大体相同，拟合K次曲线；若数据的对数一次差大体相同，拟合指数曲线。

（4）分段拟合：

现象实际变化复杂，可分段考察，分别拟合不同的曲线趋势。

统计学,48,3.7趋势线的选择,（5）最小均方误差分析：

当有多种曲线可供选择时，可将多种曲线的拟合结果加以比较，分别计算各曲线的均方误差或估计的平方误差s2，以估计的平方误差最小的曲线为宜。

估计s2的方法为：

统计学,49,第4节季节变动分析,4.1季节变动及其测定目的；4.2季节变动分析原理与方法-原始资料平均法；4.3季节变动分析原理与方法-趋势剔除法；4.4季节变动的调整。

统计学,50,4.1季节变动及其测定目的,4.1.1季节变动的概念；4.1.2季节变动测定的目的。

统计学,51,4.1.1季节变动的概念,季节变动指客观现象因受自然因素或社会因素影响形成的有规律的周期性变动。

如商业活动中的销售旺季、淡季，旅游业的旺季、淡季等。

它不仅指随一年中四季变动，泛指有规律的、按一定周期（年、季、月、周、日）重复出现的变化。

季节变动的原因与自然、生产、风俗等有关，它会影响人们的社会经济生活。

统计学,52,4.1.2季节变动测定的目的,主要在于认识规律、分析过去、预测未来。

（1）分析与测定过去的季节变动规律，为当前的决策提供依据；

（2）对未来现象季节变动作出预测，以便提前做出合理的安排；（3）为了消除季节变动对数列的影响，以便更好地分析其他因素。

统计学,53,4.2季节变动分析原理与方法-原始资料平均法；,把握以下问题：

4.2.1原始资料平均法的含义；4.2.2基本步骤；4.2.3季节指数的意义；4.2.4原始资料平均法的假定及其适用条件。

统计学,54,4.2.1原始资料平均法的含义,又称按月（或季）平均法，这种方法不考虑长期趋势影响，根据原始数据直接计算季节指数，测定季节变动。

统计学,55,4.2.2基本步骤,

（1）计算各年同月（季）的平均数（i=112月或i=14季），目的消除各年同一季度（月份）数据上的不规则变动；

（2）计算全部数据的总平均数，找出整个数列的水平趋势；（3）计算季节指数Si，即（i=112月或i=14季）,统计学,56,4.2.3季节指数的意义,季节指数以全部数值的均值等于100%为条件，反映某一月或季度的数值占全年均值的大小。

若无季节变动，季节指数应为100%，若有季节变动，季节指数应大于或小于100%，季节指数大于100%，即通常说的旺季，反之小于100%，即为淡季，由此测定季节变动的程度。

若按月平均则12个季节指数和应为1200%；若按季平均则4个季节指数和应为400%。

看例子：

统计学,57,例某旅行社2003年至2006年的经营收入及所计算的各年同月平均数和季节指数，如表7-7所示,表7-7某旅行社经营收入单位：

万元,统计学,58,4.2.4原始资料平均法的假定及其适用条件,基本假定是:

原时间序列没有明显的长期趋势和循环变动,通过各年同期数据的平均,可以消除不规则变动,且当平均的期间与循环周期基本一致时,也在一定程度上消除循环波动。

当时间序列有明显的长期趋势时，会使季节变动分析不准确，如有明显上升趋势时，年末季节指数高于年初季节指数，反之，有明显下降趋势时，年末季节指数低于年初指数。

所以原始资料平均法适合于数列的长期趋势和循环变动不明显的情况。

统计学,59,4.3季节变动分析原理与方法-趋势剔除法；,把握以下问题：

4.3.1趋势剔除法的含义；4.3.2基本步骤；4.3.3例题。

统计学,60,4.3.1趋势剔除法的含义,在具有明显的长期趋势变动的数列中，为了测定季节变动，必须先将趋势变动因素在数列中加以剔除，然后用平均的方法消除不规则变动，而后计算季节比率的，就称为趋势剔除法。

数列的长期趋势可用移动平均或趋势方程拟合法测定,统计学,61,4.3.2趋势剔除法的基本步骤,假定包含趋势变动的时间序列的各影响因素以乘法模型形式组合，其结构为Y=TCSI，以移动平均法测定趋势值，则确定季节变动的步骤如下：

（1）对原序列进行12个月（或4个季度）移动平均数，消除季节变动S和不规则变动I，结果只包含趋势变动T和循环变动C；

（2）为剔除原数列中的趋势变动T和循环变动C，将原数列各项除以移动平均数的对应时间数据，即消除趋势变动的数列：

4.3.2趋势剔除法的基本步骤,（3）将消除趋势变动后的数列各年同月（或同季）的数据平均，消除不规则变动I，再分别除以总平均数，得季节指数S；（4）对季节比率的调整。

季节比率的总和应当等于季节周期的长度L,如果计算结果接近于季节周期长度L,不必调整，否则，需要调整，公式为,63,例表7-8为某旅行社经营收入及按12个月移动平均计算的趋势值以及计算的季节比率,表7-8旅行社经营收入季节比率计算表（部分）单位：

万元,统计学,64,4.4季节变动的调整,把握以下问题:

4.4.1季节变动调整的目的；4.4.2季节调整的方法；4.4.3例题。

65,4.4.1季节调整的目的,含有季节变动因素的时间序列，由于受季节的影响而产生波动，使数列的其他特征不能清晰地表现出来。

为此，常需要从时间序列中消除季节变动的影响，这称为季节变动的调整。

统计学,66,4.4.2季节变动调整的方法,确定数列的季节指数后，将原数列除以季节指数，即调整后的数列消除了季节变动的影响。

统计学,67,例：

为了将某旅行社2008年经营收入作季节调整，利用前面用原始资料平均法计算的季节比率，计算结果列于表7-9。

表7-9某旅行社2008年经营收入消除季节变动计算表单位万元,统计学,68,第4节循环变动分析,把握以下问题：

4.1循环变动及其测定的目的；4.2循环变动的测定方法。

统计学,69,4.1循环变动及其测定目的,把握以下问题：

4.1.1循环变动的概念；4.1.2循环变动的测定目的。

统计学,70,4.1.1循环变动的概念,循环变动存在于一个较长时期，不同于长期趋势，它所表现的不是朝着某一个方向持续上升或下降，而是从低到高，又从高到低的周而复始的近乎规律性的变动。

循环变动也不同于季节变动，季节变动一般以一年、一季或一月等为一周期，有比较固定的规律性。

而循环变动没有固定的周期，一般都在数年以上，周期的长短、变动形态、波动的大小也不固定，很难事先预知。

例如产品有导入期、成长期、衰退期、替代期等经济寿命周期；又如宏观经济的增长通常产生周期性波动。

统计学,71,4.1.2循环变动的测定目的,

（1）从数量上揭示现象循环变动的规律性；

（2）研究不同现象周期性循环波动的内在联系，有助于分析引起变动的原因；（3）预测现象的发展，为制定有效遏制循环变动不利影响的决策方案提供依据。

统计学,72,4.2循环变动的测定方法,循环变动的测定是比较困难的，实际中常用方法有：

4.2.1剩余法；4.2.2直接法。

统计学,73,4.2.1剩余法,剩余法也称分解法，其基本思路是：

利用分解分析的原理，在时间序列中剔除长期趋势和季节变动，然后通过平均消除不规则变动，剩余的的变动揭示循环变动的特征。

即：

最后，将所得的循环变动和不规则变动的结果CI进行移动平均，消除不规则变动I，求得循环变动值C。

看下例：

统计学,74,例：

前面所举的某旅行社经营收入的例子,计算过程列在表7-10中。

第一步，用长期趋势剔除法求季节指数S，列在表中第

（2）栏。

第二步，剔除季节变动，列在表中第（3）栏。

第三步，用去是方程拟合法计算长期趋势值T，列在表中第（4）栏中。

第四步，剔除长期趋势，列在表中第（5）栏。

第五步，进行移动平均（取十二项）消除不规则变动，列在表中第（6）栏。

统计学,75,表7-10,统计学,76,4.2.2直接法,若只是测定数列的循环变动特征，在实际中用此法。

方式有两种：

（1）将每年各月（或季）数值与上年同期数值对比，即年距发展速度，大体消除季节变动和长期趋势，即其中下标t为年份，i为月份或季度,统计学,77,4.2.2直接法,

（2）将每年各月（或季度）数值较上年同期增长部分除以前一年对应月份（或季度）数值，即年距增长速度，大体表示循环变动，即注意：

这种方法理论依据并不充分，只是大体观察循环变动，结果并不一定准确描述循环变动的真实状态。

看例题：

78,例：

前面所举的某旅行社经营收入，以2005年为基期的年距发展速度和年距增长速度如表7-11所示,表7-11年距发展速度与年距增长速度计算单位：

万元由表看出，2005年-2008年该旅行社的经营收入大体18个月循环波动一次。

统计学,79,本章小结,时间序列的意义、种类及其编制原则时间序列水平、速度分析的各种方法趋势变动分析中线性趋势分析方法季节变动、循环变动分析的基本原理、方法,统计学,80,