高中数学《简单旋转体》导学案Word格式文档下载.docx

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③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是（　　）

A．①②B．②③

C．①③D．②④

D　依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．

例1　有下列说法：

①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；

②球的直径是球面上任意两点间的连线；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；

④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．

其中正确的序号是________．

[解析]　球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；

如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；

球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；

空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．

[答案]　①

类题通法

透析球的概念

（1）球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．

（2）根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义．

　下列命题：

①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

②球面上任意三点可能在一条直线上；

③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．

其中正确的命题序号为________．

答案　③

解析　①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；

②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；

③由球的定义可知③正确.

例2　下列命题：

①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱的任意两条母线平行；

④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．

其中正确命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

[解析]　本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；

②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；

③、④显然都正确．

[答案]　C

透析几种旋转体的概念

解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．

圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．

　下列命题中：

①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；

②圆台的母线延长后一定相交于一点；

③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；

④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．

答案　①②③④

解析　由圆台与球的定义可知①②③④都对.

例3　如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．

[解]　如图，设圆台的母线长为ycm，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是xcm,4xcm，根据相似三角形的性质得

＝

，

解此方程得y＝9，

因此，圆台的母线长为9cm.

处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.

　圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是

，则圆锥的高与母线的长分别为________．

答案　

，2

解析　设正三角形的边长为a，则

a2＝

，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为

a＝

，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.

易错点⊳空间位置关系考虑不全导致漏解

[典例]　已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．

[错解]　如图

（1），设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，

由题意知两截面圆的半径分别为6和8.

在Rt△COE中，OC＝

＝8.

在Rt△DOF中，OD＝

＝6.

所以CD＝OC－OD＝8－6＝2.

故这两个截面间的距离为2.

[错因分析]　错解中由于考虑问题不全面而导致错误．

事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．

[正解]　如图

（1）

（2），设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，

当两截面在球心同侧时，

CD＝OC－OD＝

－

＝2.

当两截面在球心两侧时，

CD＝OC＋OD＝

＋

＝14.

所以这两个截面间的距离为2或14.

课堂小结

1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.

1．图1是由哪个平面图形旋转得到的（　　）

答案　D

解析　图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．

2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成（　　）

A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥

C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥

解析　把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．

3．给出下列四个命题：

①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．

其中正确命题的序号是________．

答案　②

解析　①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图

（1）；

②正确，如图

（2）；

③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图（3）．

4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．

答案　9π

解析　如下图，

把圆台还原成圆锥，设截面⊙O1的半径为r，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以

.设SO＝x，则SO2＝4x，从而OO2＝3x.因为OO1∶O1O2＝2∶1，所以OO1＝2x，则SO1＝SO＋OO1＝3x.在△SBO1中，

，所以r＝3，因此截面的面积是9π.

时间：

25分钟

1．给出以下说法：

①圆台的上底面缩小为一点时（下底面不变），圆台就变成了圆锥；

②球面就是球；

③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是（　　）

答案　B

解析　根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；

球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；

当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．

2．如图阴影部分，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（　　）

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个棱柱

解析　按旋转体的定义得到几何体B.

3．有下列三个命题：

①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；

②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

③圆锥的轴截面是等腰三角形．

其中错误命题的个数是（　　）

答案　C

解析　①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．

4．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是（　　）

A．

（1）

（2）B．

（1）（3）C．

（1）（4）D．

（1）（5）

解析　轴截面为

（1），平行于圆锥轴截面的截面是（5）．

5．下列命题中，错误的是（　　）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面

D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形

解析　当圆锥的截面顶角大于90°

时，面积不是最大．

6．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此圆锥的高被分成的两段之比为（　　）

A．1∶2B．1∶4

C．1∶（

＋1）D．1∶（

－1）

解析　根据相似性，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则对应小圆锥与原圆锥高之比为1∶

，那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶（

－1）．

7．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（　　）

解析　由组合体的结构特征知，球只与正方体的六个面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.

8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°

，形成的几何体是________．

答案　圆锥

解析　由旋转体的概念可知，得到的几何体是圆锥．

9．圆台两底面半径分别是2cm和5cm，母线长是3

cm，则它的轴截面的面积是________．

答案　63cm2

解析　画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3（cm），

AM＝

＝9（cm），

∴S四边形ABCD＝

＝63（cm2）．

10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．

解　②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高，SA，SB是圆锥的母线．

③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面，O′O为圆柱的高，A′A与B′B为圆柱的母线．

①不是圆柱，④不是圆锥．