步步高届高三数学大一轮复习 85直线平面垂直的判定与性质教案 理 新人教A版Word文档格式.docx
《步步高届高三数学大一轮复习 85直线平面垂直的判定与性质教案 理 新人教A版Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《步步高届高三数学大一轮复习 85直线平面垂直的判定与性质教案 理 新人教A版Word文档格式.docx(26页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
________.
答案 4
3.α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:
①m⊥n;
②α⊥β;
③n⊥β;
④m⊥α,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题____________________________.
答案 可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
4.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是( )
A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂β
C.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α
答案 C
解析 对于选项C,在平面α内作c∥b,因为a⊥α,所以a⊥c,故a⊥b;
A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,也可能是异面直线;
D选项中一定有a∥b.
5.(2011·
辽宁)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,
则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案 D
解析 易证AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,A正确;
AB∥DC,DC⊂平面SCD,故AB∥平面SCD,B正确;
由于SA,SC与平面SBD的相对位置一样,因而所成的角相同.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
思维启迪:
第
(1)问通过DC⊥平面PAC证明;
也可通过AE⊥平面PCD得到结论;
第
(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.
证明
(1)在四棱锥P—ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°
,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由
(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,
∴PD⊥平面ABE.
探究提高 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.
(2012·
陕西)
(1)如图所示,
证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真;
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).
(1)证明 方法一 如图,
过直线b上任一点作平面π的垂线n,设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n,则b,c,n共面.
根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得c=λb+μn,
则a·
c=a·
(λb+μn)=λ(a·
b)+μ(a·
n).
因为a⊥b,所以a·
b=0.
又因为a⊂π,n⊥π,所以a·
n=0.
故a·
c=0,从而a⊥c.
方法二 如图,
记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P作PO⊥π,垂足为O,则O∈c.
因为PO⊥π,a⊂π,
所以直线PO⊥a.
又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,
所以a⊥平面PAO.
又c⊂平面PAO,所以a⊥c.
(2)解 逆命题为a是平面π内的一条直线,
b是π外的一条直线(b不垂直于π),
c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b.
逆命题为真命题.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2
(2012·
江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,
E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为
B1C1的中点.
求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
(1)证明两个平面垂直,关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线;
(2)两个平面垂直的性质是证明的突破点.
证明
(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由
(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,
所以A1F∥平面ADE.
探究提高 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法,本题就是用的面面垂直性质定理法,这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法.
(2011·
江苏)
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°
,E,F分别是AP,AD的中点.
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明
(1)如图,在△PAD中,
因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.
又因为EF⊄平面PCD,
PD⊂平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°
,所以△ABD为正三角形.
因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
题型三 线面、面面垂直的综合应用
例3
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,
AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4
.
(1)设M是PC上的一点,求证:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P—ABCD的体积.
(1)因为两平面垂直与M点位置无关,所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD,考虑证明BD⊥平面PAD.
(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.
(1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4
,
∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,
BD⊂面ABCD,∴BD⊥面PAD.
又BD⊂面BDM,
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD,
∵面PAD⊥面ABCD,
∴PO⊥面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,
∴PO=2
在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
∴四边形ABCD为梯形.
在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为
=
此即为梯形的高.
∴S四边形ABCD=
×
=24.
∴VP—ABCD=
24×
2
=16
探究提高 当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直.
如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,
(1)求证:
EF∥平面ABCD;
(2)设M为线段C1C的中点,当
的比值为多少时,DF⊥平面D1MB?
并说明理由.
(1)证明 ∵E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,∴EF∥AB.∵EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
(2)解 当
时,DF⊥平面D1MB.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABC,∴D1D⊥AC.
∴AC⊥平面BB1D1D,∴AC⊥DF.
∵F,M分别是BD1,CC1的中点,∴FM∥AC.∴DF⊥FM.
∵D1D=
AD,∴D1D=BD.∴矩形D1DBB1为正方形.
∵F为BD1的中点,∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面D1MB.
题型四 线面角、二面角的求法
例4
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
∠ABC=60°
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A—PD—C的正弦值.
(1)先找出PB和平面PAD所成的角,线面角的定义要能灵活运用;
(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角.
(1)解 在四棱锥P—ABCD中,
因PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,
从而AB⊥平面PAD,
故PB在平面PAD内的射影为PA,
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°
(2)证明 在四棱锥P—ABCD中,
因PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,
又AE⊂平面PAC,∴AE⊥CD.
由PA=AB=BC,∠ABC=60°
又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD.
(3)解 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示.
由
(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,
则AM⊥PD.
因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.
由已知,可得∠CAD=30°
设AC=a,可得
PA=a,AD=
a,PD=
a,AE=
a.
在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·
PD=PA·
AD,
则AM=
在Rt△AEM中,sin∠AME=
所以二面角A—PD—C的正弦值为
探究提高
(1)求直线与平面所成的角的一般步骤:
①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;
②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.
正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析 如图,连接BD交AC于O,连接D1O,由于
BB1∥DD1,∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角.易知∠DD1O即为所求.设正方体的棱长为1,
则DD1=1,DO=
,D1O=
∴cos∠DD1O=
∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
解答过程要规范
典例:
(12分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的
棱AB,CD,C1D1的中点.
(1)AN∥平面A1MK;
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
审题视角
(1)要证线面平行,需证线线平行.
(2)要证面面垂直,
需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直.
规范解答
证明
(1)如图所示,连接NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,
∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD.[2分]
∵N,K分别为CD,C1D1的中点,
∴DN∥D1K,DN=D1K,
∴四边形DD1KN为平行四边形.[3分]
∴KN∥DD1,KN=DD1,
∴AA1∥KN,AA1=KN.
∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.[4分]
∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,
∴AN∥平面A1MK.[6分]
(2)如图所示,连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
AB∥C1D1,AB=C1D1.
∵M,K分别为AB,C1D1的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K.
∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.[8分]
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,
BC1⊂平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C.[10分]
∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK,
∴平面A1MK⊥平面A1B1C.[12分]
温馨提醒
(1)步骤规范是答题得满分的最后保证,包括使用定理的严谨性,书写过程的流畅性.
(2)本题证明常犯错误:
①定理应用不严谨.如:
要证AN∥平面A1MK,必须强调AN⊄平面A1MK.
②解题过程不完整,缺少关键步骤,如第
(1)问中,应先证四边形ANKA1为平行四边形.第
(2)问中,缺少必要的条件,使思维不严谨,过程不流畅.
方法与技巧
1.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义:
a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α;
(2)判定定理1:
⇒l⊥α;
(3)判定定理2:
a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
(4)面面平行的性质:
α∥β,a⊥α⇒a⊥β;
(5)面面垂直的性质:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
2.证明线线垂直的方法
(1)定义:
两条直线所成的角为90°
;
(2)平面几何中证明线线垂直的方法;
(3)线面垂直的性质:
a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;
(4)线面垂直的性质:
a⊥α,b∥α⇒a⊥b.
3.证明面面垂直的方法
(1)利用定义:
两个平面相交,所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理:
a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.
4.转化思想:
垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.
失误与防范
1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
答案 B
解析 若l⊥m,m⊂α,则l与α可能平行、相交或l⊂α;
若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行或异面;
若l∥α,m∥α,则l与m可能平行、相交或异面,故只有B选项正确.
2.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( )
A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直
D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
解析 如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与
之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才
存在.
3.已知m是平面α的一条斜线,点A∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是( )
A.l∥m,l⊥αB.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α
解析 设m在平面α内的射影为n,当l⊥n且与α无公共点时,l⊥m,l∥α.
4.正方体ABCD—A′B′C′D′中,E为A′C′的中点,则直线CE垂直于( )
A.A′C′B.BDC.A′D′D.AA′
解析
连接B′D′,
∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′,
∴B′D′⊥平面CC′E.
而CE⊂平面CC′E,
∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.如图,∠BAC=90°
,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在
的直线中:
与PC垂直的直线有______________;
与AP垂直的直
线有________.
答案 AB,BC,AC AB
解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC;
∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.
6.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、
F分别是点A在PB、PC上的正投影,给出下列结论:
①AF⊥PB;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________.
答案 ①②③
解析 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,
∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.
又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确.
7.已知平面α,β和直线m,给出条件:
①m∥α;
②m⊥α;
③m⊂α;
④α∥β.当满足条件________时,有m⊥β.(填所选条件的序号)
答案 ②④
解析 若m⊥α,α∥β,则m⊥β.
三、解答题(共22分)
8.(10分)
如图所示,在斜三棱柱A1B1C1—ABC中,底面是等腰三角形,
A1B1=A1C1,侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.
(1)若D是BC的中点,求证:
AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:
截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证明
(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,
∴AD⊥侧面BB1C1C,∴AD⊥CC1.
(2)
如图,延长B1A1与BM的延长线交于点N,连接C1N.
∵AM=MA1,∴MA1綊
BB1,
∴NA1=A1B1.
∵A1B1=A1C1,
∴A1C1=A1N=A1B1,
∴NC1⊥C1B1.
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C,∴C1N⊥侧面BB1C1C,
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C,
即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
9.(12分)
如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1
的中点.
AB1⊥BF;
(2)求证:
AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?
若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.
(1)证明 连接A1B,则AB1⊥A1B,
又∵AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1,
∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF,∴AB1⊥BF.
(2)证明 取AD中点G,连接FG,BG,则FG⊥AE,
又∵△BAG≌△ADE,
∴∠ABG=∠DAE.
∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G,
∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG,∴AE⊥BF.
(3)解 存在.取CC1中点P,即为所求.连接EP,AP,C1D,
∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1.
由
(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP.
又由
(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E,
∴BF⊥平面AEP.
B组 专项能力提升
25分钟,满分:
43分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.已知l,m是不同的两条直线,α,β是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l∥β
B.若l∥α,α⊥β,则l∥β
C.若l