沪科版九年级数学上册 第23章 232 解直角三角形及其应用 导学案.docx

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沪科版九年级数学上册第23章232解直角三角形及其应用导学案

解直角三角形及其应用

第一课时

教学目标：

1、熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系。

2、学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形。

教学重难点：

1、重点：

会利用已知条件解直角三角形。

2、难点：

根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。

教学过程：

1、复习回顾

＊直角三角形三边的关系:

勾股定理a2+b2=c2.

直角三角形两锐角的关系:

两锐角互余∠A+∠B=90°.

＊直角三角形边与角之间的关系:

锐角三角函数

＊互余两角之间的三角函数关系:

sinA=cosB.

＊同角之间的三角函数关系:

＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

2、新课探究：

有以上的关系，如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

例1在RT△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6′,c=287.4,解这个三角形。

解：

∠A=90°-42°6′=47°54′

a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3

b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7

例2在△ABC中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积

（精确到0.1cm2）

解：

如图，作AB上的高CD，在RT△ACD中，CD=AC·sinA=b·sinA.

当∠A=55°，b=20cm,c=30cm时，有

3、练习：

（1）在RT△ABC中，∠C=90°,AC=6,∠BAC的平分线AD=，解此直角三角形。

（2）如图,根据图中已知数据,求△ABC

其余各边的长,各角的度数和△ABC

的面积

（3）如图,根据图中已知数据,求△ABC

其余各边的长,各角的度数和

△ABC的面积.

4、小结：

本节课主要学习了如何利用已知条件，选用合适的三角关系式解直角三角形，这是需要我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下基础。

5、作业：

课本108页练习1、2、3

6、个性化设计与反馈：

解直角三角形及其应用

第二课时

教学目标：

1、了解仰角、俯角的概念，并弄清它们的意义。

2、将实际问题转化成数学问题，并由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。

教学重难点:

1、重点：

将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念。

2、难点：

实际情景和平面图形之间的转化。

教学过程：

1、复习回顾：

＊直角三角形三边的关系:

勾股定理a2+b2=c2.

直角三角形两锐角的关系:

两锐角互余∠A+∠B=90°.

＊直角三角形边与角之间的关系:

锐角三角函数

＊互余两角之间的三角函数关系:

sinA=cosB.

＊同角之间的三角函数关系:

＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

2、探究新课：

例如，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?

（小明的身高忽略不计,结果精确到1m）.

♦你能完成这个任务吗?

♦请与同伴交流你是怎么想的?

♦准备怎么去做?

这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:

解:

如图,根据题意可知,∠A=30°,

∠DBC=60°,AB=50m.求CD的长

设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,

答:

该塔约有43m高.

老师提示:

解决这个问题的方法，我们称为实际问题数学化，这是解决实际问题常用的方法。

在进行高度测量时，视线与水平线所成角中，当视线在水平线上方时叫做仰角，当视线在水平线下方时叫做俯角

3、例题：

某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?

楼梯多占多长一段地面?

（结果精确到0.01m）.

这个问题我们也应该数学化，根据题意可以画图为：

解:

如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.

（1）AB-BD的长,

（2）AD的长.

答:

调整后的楼梯会加长约0.48m.

（AD的长度请学生们共同讨论并计算，答案：

）

4、练习：

（1）有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度（结果精确到0.1m）.

（2）书本109页练习：

1、2、3

5、小结：

本节课学习了解决实际问题的重要方法：

实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。

并且了解了仰角，俯角的概念。

6、作业：

书本113页习题：

1、3、4

7、个性化设计与反馈：

解直角三角形及其应用

第三课时

教学目标：

1、航海方位角的概念，并学会画航行方位图，将航海问题转化成数学问题。

2、通过航海问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景，从而培养空间想象力。

教学重难点：

1、重点：

学会画航行的方位图，将航海问题转化成数学问题。

2、难点：

将航海的实际情景用航行方位图表现出来。

教学过程：

1、复习回顾

如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面

成40°角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固

另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?

（结果精确到0.01m）.

解:

如图,根据题意可知,∠CDB=40°，EC=2m,DB=5m.求DE的长.

∴∠BDE≈51.12°.

答:

钢缆ED的长度约为7.97m.

2、探究新课：

如图,海中有一个小岛A,该岛四周

10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航

行,开始在A岛南偏西550的B处,往东

行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.

♦你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:

请与同伴交流你是怎么想的?

怎么去做?

解:

要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=55°∠CAD=25°BC=20海里.设AD=x,则

答:

货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.

3、例题：

如图：

东西两炮台A、B相距2000米，

同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在

它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰

C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.

（精确到1米）

解　在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90゜－∠DAC＝50°，

∴BC＝AB•tan∠CAB

=2000×tan50゜≈2384（米）.

又∵　　　　　，

∴AC＝

答：

敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.

4、练习：

课本111页练习1、2

5、小结:

本节课我们学习了航海方位角的概念，并学会根据航海实际情景来画航行方位图，将航海问题转化成数学问题来解决。

6、作业：

课本113页3、5、8

7、个性化设计与反馈：

解直角三角形及其应用

第四课时

教学目标：

1、加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系。

2、能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力。

教学重难点：

1、重点：

对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决。

2、难点：

对坡度、坡角、坡面概念的理解。

教学过程：

1、复习回顾：

修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana。

显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡

2、探究新课：

如图，铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，路基上底宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡的坡度为1：

1.6.求路基的下底宽（精确到0.1）与斜坡的坡角。

解：

因而，铁路路基下底宽约为28.4，坡角约为32°.

3、例题：

如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°

♦1）求坡角∠ABC的大小;

♦

（2）如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方（结果精确到0.01m3）.

解:

如图，过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.

1）

∴∠ABC≈13°.

答:

坡角∠ABC约为13°.

2）

答:

修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.

4、练习：

如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm,燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC（结果精确到1mm）.

5、小结：

本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习，了解坡度与坡面陡峭程度的关系。

学会解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力。

6：

作业：

课本113页6

2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度（结果精确到0.1m）.

3、如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:

2改成1:

2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,

求:

（1）原背水坡的坡角宽后的背水坡的坡角;

（2）加宽后水坝的横截面面积增加了多少?

（精确到0.01）

7、个性化设计与反馈：