定积分的概念引入Word文档下载推荐.doc

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通过“数形结合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。

四、教学重点、难点：

教学重点：

定积分的概念、定积分的几何意义；

教学难点：

用定义求简单的定积分。

五、学情分析：

我所教授的学生从基础知识比较薄弱，有的接受有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。

六、教学方法：

根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

七、教学手段：

传统教学与多媒体资源相结合。

八、教学过程：

1、复习前面所学的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，由这两个实际例子引出定积分的概念.

复习1求曲边梯形的面积．

分四步来解决：

（1）分割（化整为零）　

（2）近似代替（以直代曲）　

（3）求和（求曲边梯形面积的近似值）　

（4）取极限（积零为整）

复习2求变速直线运动的路程

（1）分割（化整为零）

（2）近似代替（以匀代变）

（3）求和（求总路程的近似值）

总结：

上述二问题一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：

求与某个变化范围内的变量有关的总量问题．数学结构相同：

求个乘积之和，当时的极限．

它们研究的对象有三个共同的特点：

（1）都有一个在某一区间上的连续函数；

（2）所研究的量在这一区间上具有可加性：

即区间被分为个小区间时，所研究的量也被相应的分割为个部分量，且总量等于部分量之和；

（3）在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值.

由此找到了研究这些问题的相同方法：

（1）化整为零，找出局部近似值；

（2）积零为整，求出和式的极限,得精确值.

2、定积分的概念.

定义1　设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个子区间．在每个子区间上任取一点，作个乘积的和式．如果区间长度即时，和式的无限接近某个常数，则这个常数称为函数在区间上的定积分．记作，即　．

其中左端的符号“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．

定积分存在称函数在区间上可积，否则称为不可积．

有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为：

曲边梯形的面积是曲线在区间上的定积分，即．

变速直线运动的物体所经过的路程是速度在时间区间上的定积分，即

由定积分的定义可知

（1）定积分只与函数的对应法则以及定义区间有关，而与表示积分变量的字母无关，因而

=

（2）定积分的实质是一种特殊和式（个乘积之和）

的特殊极限（）．（该极限与的分法无关，与的取法无关）．

什么条件下可积？

定理1　若函数在上连续，则函数在上可积．

例3利用定义计算的值.

教师分析与引导：

因在区间内是连续的，故是存在的，是一常数，且此数的大小与的分法及对在区间的取法无关，为了好计算：

把区间分成等份,分点和小区间长度分别为,.取,作积分和

图4.3

.

因为,当所以

.

3、定积分的几何意义

从例子，我们看到当时，定积分表示曲边梯形的面积．当时，曲边梯形在轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．当在上有正、有负时，则定积分在几何上表示：

曲线，直线，及轴所围成的几块曲边梯形面积的代数和（图4.3），即．　　

例4利用定积分的几何意义说明：

　（．

这里被积函数，我们已经知道了定积分的几何意义，故让学生画出草图，观察易得此积分表示底为，高为1的矩形的面积．

所以有

例5根据定积分的几何意义推出下列积分的值：

（1）,

（2）,（3）,（4）.

画出图形

2

A

（

）

-

1

（1）由下图

（1）所示，.

3

4

5

π

（4）

（2）由上图

（2）所示，.

（3）由上图（3）所示，.

（4）由上图（4）所示，.

定理3　设函数在上连续，

（1）如果为奇函数，则.

（2）如果为偶函数，.

4、课堂小结与思考题

这节课我们从实际例子出发学习了定积分的概念及几何意义.定积分是通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量.

希望同学们认真理解定积分的概念和几何意义，并灵活地掌握用定义或几何意义求简单的定积分的值.希望同学们灵活地看待问题，积极地思考问题，不断地发现问题和解决问题.

切记，数学离不开解题，更离不开思考问题.只有通过解题和思考问题才能积累经验，提高能力，把握本质，体会奥妙，产生灵感，变得熟练.

5、作业布置

重要思想：

1.由已知求未知；

2.极限思想；

3.问题归结；

4.化整为零；

5.以直代曲。

分割方法----任意

分割要求----最大宽度趋于0

这里的教学过程：

教师提出问题，让学生思考，教师给出解决方案，让学生思考回答为什么求极限得到的就是我们要求的精确值，教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生抽象出定积分的概念.

可积的充分条件说明：

-----几何直观

教师提出问题（定积分的几何意义）并给出答案，让学生思考并回答为什么，教师进行必要的引导、分析与归纳.

下面请同学们进一步思考：

，为什么？

解：

提示学生画出图形，发现此积分等于矩形长为4，高为5的面积，故教师提问：

为什么？

这个问题的教学过程：

首先让学生思考，并回答问题.然后教师进行必要的引导、分析与归纳，并给出完整的回答.

教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生

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