高中数学必修一知识点总结(全)(1)Word下载.doc
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含有无限个元素的集合
(3)空集:
不含任何元素的集合 例:
{x|x2=-5}
5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:
aÎ
A
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:
aA
u注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
(1)定义:
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。
记作:
(或BA)
注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AÍ
②真子集:
如果AÍ
B,且A¹
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
或若集合AÍ
B,存在xB且xA,则称集合A是集合B的真子集。
③如果AÍ
B,BÍ
C,那么AÍ
C
④如果AÍ
B同时BÍ
A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
u有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).
全集:
一般,若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素,我们就称这个集合为全集,记作:
U
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作,
CSA=
韦恩图示
S
性质
A∩A=A
A∩Φ=Φ
A∩B=BA
A∩BAA∩BB
AUA=AAUΦ=A
AUB=BUA
AUBA
AUBB
(CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)
(CuA)U(CuB)=Cu(A∩B)
AU(CuA)=U
A∩(CuA)=Φ.
四:
函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
3.函数的表示方法:
(1)解析法:
明确函数的定义域
(2)图想像:
确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法:
选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法:
平移变换;
伸缩变换;
对称变换。
(3)函数图像变换的特点:
1)函数y=f(x)关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x)关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x)关于原点对称y=-f(-x)
五:
函数的解析表达式,及函数定义域的求法
1、函数解析式子的求法
(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
2.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
六:
1.值域:
先考虑其定义域
(1)观察法:
直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法:
针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法:
针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):
作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。
七
1.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
(4)常用的分段函数
1)取整函数:
2)符号函数:
3)含绝对值的函数:
2.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射,而映射不一定的函数
八函数的单调性(局部性质)及最值
1、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种
2、图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
作差f(x1)-f(x2);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
九:
函数的奇偶性(整体性质)
(1)、偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
若是不对称,则是非奇非偶的函数;
若对称,则进行下面判断;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
1)在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
2)复合函数的奇偶性:
一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±
f(x)=0或f(x)/f(-x)=±
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
十、函数最值及性质的应用
1、函数的最值
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
利用图象求函数的最大(小)值
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
3、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与0作比较,作商法是与1作比较。
4、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。
5、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。
(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。
十一
1、指数与指数幂的运算:
复习初中整数指数幂的运算性质:
am*an=am+n
(am)n=amn
(a*b)n=anbn
2、根式的概念:
一般地,若,那么叫做的次方根,其中>
1,且∈*.
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数。
此时,a的n次方根用符号表示。
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数。
此时正数a的正的n次方根用符号表示,负的n的次方根用符号表示。
正的n次方根与负的n次方根可以合并成(a>
0)。
负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。
3、分数指数幂
正数的分数指数幂的
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4、有理数指数米的运算性质
(1)·
;
(2) ;
(3) .
5、无理数指数幂
一般的,无理数指数幂aa(a>
0,a是无理数)是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
十二:
指数函数的性质及其特点
(1)
1、指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.为什么?
2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像:
(1)
(2)(3)(4)(5)
图像特征
a>
1
0<
a<
向X、Y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图像关于原点和Y轴不对称
非奇非偶函数
函数图像都在X轴的上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
a0=1
自左向右看图像逐渐上升。
增函数
减函数
在第一象限内图像纵坐标都大于1。
x>
0,ax>
0,ax<
在第二象限内图像纵坐标都小于1。
在第二象限内图像纵坐标都大于1。
x<
0,ax<
图像上升的趋势愈来愈陡。
函数值开始增加较慢,到了某一值后增长速度极快。
函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢。
十三:
指数函数的图象和性质
定义域R
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;
取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
(4)当a>
1时,若X1<
X2,则有f(X1)<
f(X2)。
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:
一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:
(—底数,—真数,—对数式)
说明:
注意底数的限制,且;
;
注意对数的书写格式.
两个重要对数:
常用对数:
以10为底的对数;
自然对数:
以无理数为底的对数的对数.
u指数式与对数式的互化
幂值真数
=N=b
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
·
+;
-;
.
换底公式
(,且;
,且;
).
利用换底公式推导下面的结论
(1);
(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念:
函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:
,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
对数函数对底数的限制:
,且.
2、对数函数的性质:
定义域x>0
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:
一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;
当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.