平面向量的概念及线性运算Word格式.doc

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向量运算

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝____________.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝____________.

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

________法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝________；

（2）当λ>

0时，λa的方向与a的方向________；

当λ<

当λ＝0时，λa＝______

λ（μa）＝______；

（λ＋μ）a＝________；

λ（a＋b）＝_______

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______.

[难点正本　疑点清源]

1.向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.

2.向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.

1.化简－＋－的结果为________.

2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝____________.

3.下列命题：

①平行向量一定相等；

②不相等的向量一定不平行；

③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.

4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________.

5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么（　　）

A.＝ B.＝2

C.＝3 D.2＝

题型一　平面向量的概念辨析

例1　给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________.

探究提高　

（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

（3）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.

（5）非零向量a与的关系是：

是a方向上的单位向量.

判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.

（1）若向量a与b同向，且|a|>

|b|，则a>

b；

（2）若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

（3）若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；

（4）由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

（5）若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；

（6）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；

（7）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

（8）任一向量与它的相反向量不相等.

题型二　向量的线性运算

例2　在△ABC中，D、E分别为BC、AC边

上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，

设＝a，＝b，试用a，b表示，.

探究提高　

（1）解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

　在△ABC中，E、F分别为AC、AB的

中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，

试用a，b表示.

题型三　平面向量的共线问题

例3　设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：

A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.

探究提高　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

（2）向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线.

如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，

使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，

在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长

线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值.

　　　　　　　　　11.用方程思想解决平面向量

的线性运算问题

试题：

（14分）如图所示，在△ABO中，＝，

＝，AD与BC相交于点M，设＝a，

＝b.试用a和b表示向量.

审题视角　

（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.

（2）既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.

（3）利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.

规范解答

解　设＝ma＋nb，

则＝－＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb.

＝－＝－＝－a＋b. [3分]

又∵A、M、D三点共线，∴与共线.

∴存在实数t，使得＝t，

即（m－1）a＋nb＝t. [5分]

∴（m－1）a＋nb＝－ta＋tb.

∴，消去t得，m－1＝－2n，

即m＋2n＝1.①　 [7分]

又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，

＝－＝b－a＝－a＋b.

又∵C、M、B三点共线，∴与共线. [10分]

∴存在实数t1，使得＝t1，

∴a＋nb＝t1，

∴，消去t1得，4m＋n＝1.② [12分]

由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b. [14分]

批阅笔记　

（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.

（2）学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.（3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征.（4）方程思想是解决本题的关键，要注意体会.

方法与技巧

1.将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.

2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如∥且AB与CD不共线，则AB∥CD；

若∥，则A、B、C三点共线.

失误与防范

1.解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；

二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

（时间：

60分钟）

A组　专项基础训练题组

一、选择题

1.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λa＝0（λ为实数），则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.

其中错误命题的个数为 （　　）

A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4

2.设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则 （　　）

A.＋＝0

B.＋＝0

C.＋＝0

D.＋＋＝0

3.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b.如果c∥d，那么 （　　）

A.k＝1且c与d同向

B.k＝1且c与d反向

C.k＝－1且c与d同向

D.k＝－1且c与d反向

二、填空题

4.设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________.

5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

6.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，

若＝m＋，则实数m的值为________.

三、解答题

7.如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，

＝，＝，用a、b表示、、

.

8.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一条直线上？

B组　专项能力提升题组

1.已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在（　　）

A.△ABC的内部

B.AC边所在直线上

C.AB边所在直线上

D.BC边所在直线上

2.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于 （　　）

A.2 B.3

C.4 D.5

3.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 （　　）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

4.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是__________（将正确的序号填在横线上）.

①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；

②存在相异实数λ、μ，使λ·

a＋μ·

b＝0；

③x·

a＋y·

b＝0（实数x，y满足x＋y＝0）；

④若四边形ABCD是梯形，则与共线.

5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.

过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的

两点M、N，若＝m，＝n，则

m＋n的值为______.

6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.

7.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________.

8.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.

（1）求＋＋；

（2）若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：

＋＝3.

答案

要点梳理

1.大小　方向　长度　模　零　0　1个单位

相同　相反　方向相同或相反　平行　相等

相同　相等　相反

2.三角形　平行四边形　

（1）b＋a

（2）a＋（b＋c）　三角形

（1）|λ||a|　

（2）相同　相反　0　λμa

λa＋μa　λa＋λb

3.b＝λa

基础自测

1.　2.b－a　3.①②③　4.－2　5.A

题型分类·

深度剖析

例1　②③

变式训练1　解　

（1）不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.

（2）不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.（3）正确.（4）不正确，因为规定零向量与任意向量平行.（5）不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.（6）不正确，因为与共线，而AB与CD可以不共线即AB∥CD.（7）正确.（8）不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.

例2　解　＝（＋）＝a＋b；

＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－）

＝＋＝a＋b.

变式训练2　解　＝＋

＝＋λ＝＋（＋）

＝＋（－）

＝（1－λ）＋＝（1－λ）a＋b.

又＝＋＝＋m

＝＋（＋）

＝（1－m）＋＝a＋（1－m）b，

∴，解得λ＝m＝，

∴＝a＋b.

例3　

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.

∴、共线，又∵它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线.

（2）解　∵ka＋b与a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a、b是不共线的两个非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±

1.

变式训练3　

课时规范训练

A组

1.C　2.B　3.D　4.－1

5.　6.

7.解　∵＝－＝a－b，

＝＝a－b，

∴＝＋＝a＋b.又＝a＋b，

∴＝＋＝＋

＝＝（a＋b）.

∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.

即＝a＋b，＝a＋b，

＝a－b.

8.解　设＝a，＝tb，＝（a＋b），

∴＝－＝－a＋b，

＝－＝tb－a.

要使A、B、C三点共线，只需＝λ.

即－a＋b＝λtb－λa.

∴有⇒

∴当t＝时，三向量终点在同一直线上.

B组

1.B　2.B　3.B　

4.①②

5.2

6.

7.±

2

8.

（1）解　∵＋＝2，

又2＝－，

∴＋＋＝－＋＝0.

（2）证明　显然＝（a＋b）.

因为G是△ABO的重心，

所以＝＝（a＋b）.

由P、G、Q三点共线，得∥，

所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.

而＝－＝（a＋b）－ma

＝a＋b，

＝－＝nb－（a＋b）

＝－a＋b，

所以a＋b

＝λ.

又因为a、b不共线，

所以，

消去λ，整理得3mn＝m＋n，

故＋＝3.