福建省高考数学试卷理科答案与解析Word格式.doc
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∀x∈R，2x＞x2
a+b=0的充要条件是=﹣1
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
必要条件、充分条件与充要条件的判断；
全称命题；
特称命题；
命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选D．
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用．
4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
球
三棱锥
正方体
圆柱
由三视图还原实物图．菁优网版权所有
作图题．
利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等
A、球的三视图均为圆，且大小均等；
B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；
C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；
D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．
本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题
5．（5分）（2012•福建）下列不等式一定成立的是（ ）
lg（x2+）＞lgx（x＞0）
sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）
x2+1≥2|x|（x∈R）
（x∈R）
不等式比较大小．菁优网版权所有
探究型．
由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可
A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；
B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；
C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0；
D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．
综上，C选项是正确的．
故选：
本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键
6．（5分）（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
定积分在求面积中的应用；
几何概型．菁优网版权所有
根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
根据题意，正方形OABC的面积为1×
1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．
本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．
7．（5分）（2012•福建）设函数，则下列结论错误的是（ ）
D（x）的值域为{0，1}
D（x）是偶函数
D（x）不是周期函数
D（x）不是单调函数
分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有
证明题．
由函数值域的定义易知A结论正确；
由函数单调性定义，易知D结论正确；
由偶函数定义可证明B结论正确；
由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D
A显然正确；
∵=D（x），
∴D（x）是偶函数，
B正确；
∵D（x+1）==D（x），
∴T=1为其一个周期，
故C错误；
∵D（）=0，D
（2）=1，D（）=0，
显然函数D（x）不是单调函数，
故D正确；
本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题
8．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
5
双曲线的简单性质；
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．
抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
9．（5分）（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（ ）
简单线性规划．菁优网版权所有
计算题；
压轴题；
数形结合．
根据题意，由线性规划知识分析可得束条件确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），结合图形分析可得m的最大值，即可得答案．
约束条件确定的区域为如图阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，
分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），
若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，
即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，
则必有m≤1，即实数m的最大值为1，
本题考查线性规划的应用与指数函数的性质，关键是得到函数y=2x与阴影部分边界直线的交点．
10．（5分）（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1，]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（ ）
①②
①③
②④
③④
利用导数求闭区间上函数的最值；
抽象函数及其应用；
函数的连续性．菁优网版权所有
新定义．
根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；
同时证明③和④是正确的．
在①中，反例：
f（x）=在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：
f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：
在[1，3]上，f
（2）=f（）≤，
∴，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，
有=
≤
=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
11．（4分）（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a= 2 ．
二项式定理的应用．菁优网版权所有
根据（a+x）4的展开式的通项公式为Tr+1=a4﹣rxr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于×
a=8，由此解得a的值．
（a+x）4的展开式的通项公式为Tr+1=a4﹣rxr，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于×
a=8，解得a=2，
故答案为2．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
12．（4分）（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于 ﹣3 ．
循环结构．菁优网版权所有
直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果．
由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，
第2次判断循环，s=0，k=3，
第3次判断循环，s=﹣3，k=4，
不满足判断框的条件，退出循环，输出S．
故答案为：
﹣3．
本题考查循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力．
13．（4分）（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 ．
余弦定理；
等比数列的性质．菁优网版权所有
根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．
根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，
∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，
则根据余弦定理得：
cosθ==﹣．
﹣
此题考查了余弦定理，等比数列的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
14．（4分）（2012•福建）数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012= 3018 ．
数列的求和．菁优网版权所有
压轴题．
先求出cos的规律，进而得到ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．
因为cos=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；
∴ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；
∴ncos的每四项和为2；
∴数列{an}的每四项和为：
2+4=6．
而2012÷
4=503；
∴S2012=503×
6=3018．
3018．
本题主要考察数列的求和，解决本题的关键在于求出数列各项的规律．
15．（4分）（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：
a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 ．
根的存在性及根的个数判断；
根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．
∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=
即f（x）=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），
当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，
当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，
∴x1x2x3=m（）=，m∈（0，）
令y=，
则，又在m∈（0，）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴＜0在m∈（0，）上成立，
∴函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（），f（0）），即
本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目．
三、解答题：
本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（13分）（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x（年）
0＜x＜1
1＜x≤2
x＞2
0＜x≤2
轿车数量（辆）
45
每辆利润（万元）
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？
说明理由．
离散型随机变量的期望与方差；
等可能事件的概率；
离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其概率；
（II）求出概率，可得X1、X2的分布列；
（III）由（II），计算期为E（X1）=1×
+2×
+3×
=2.86（万元），E（X2）=1.8×
+2.9×
=2.79（万元），比较期望可得结论．
（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=
（II）依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
（III）由（II）得E（X1）=1×
=2.86（万元）
E（X2）=1.8×
=2.79（万元）
∵E（X1）＞E（X2），
∴应生产甲品牌轿车．
本题考查概率的求解，考查分布列与期望，解题的关键是求出概率，属于基础题．
17．（13分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin213°
+cos217°
﹣sin13°
cos17°
（2）sin215°
+cos215°
﹣sin15°
cos15°
（3）sin218°
+cos212°
﹣sin18°
cos12°
（4）sin2（﹣18°
）+cos248°
﹣sin2（﹣18°
）cos48°
（5）sin2（﹣25°
）+cos255°
﹣sin2（﹣25°
）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
分析法和综合法；
归纳推理．菁优网版权所有
（Ⅰ）选择
（2），由sin215°
=1﹣sin30°
=，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°
﹣α）﹣sinαcos（30°
﹣α）=．证明方法一：
直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：
利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°
cosα+sin30°
sinα），即1﹣+cos2α+sin2α
﹣sin2α﹣，化简可得结果．
选择
（2），计算如下：
sin215°
=，故这个常数为．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°
﹣α）=．
证明：
（方法一）sin2α+cos2（30°
﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°
sinα）
=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．
（方法二）sin2α+cos2（30°
﹣α）=+﹣sinα（cos30°
=1﹣+（cos60°
cos2α+sin60°
sin2α）﹣sin2α﹣sin2α
=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．
本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．
18．（13分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：
B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？
若存在，求AP的长；
若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°
，求AB的长．
用空间向量求平面间的夹角；
空间中直线与直线之间的位置关系；
直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
证明题；
综合题；
数形结合；
转化思想．
（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量与的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．
（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．
（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°
建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长
（I）以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（，1，0），B1（a，0，1）
故=（0，1，1），=（﹣，1，﹣1），=（a，0，1），=（，1，0），
∵•=1﹣1=0
∴B1E⊥AD1；
（II）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此时=（0，﹣1，t）．
又设平面B1AE的法向量=（x，y，z）．
∵⊥平面B1AE，∴⊥B1A，⊥AE，得，取x=1，得平面B1AE的一个法向量=（1，﹣，﹣a）．
要使DP∥平面B1AE，只要⊥，即有•=0，有此得﹣at=0，解得t=，即P（0，0，），
又DP⊈平面B1AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP=
（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．
由（I）知，B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1．
∴AD1⊥平面DCB1A1，
∴AD1是平面B1A1E的一个法向量，此时=（0，1，1）．
设与所成的角为θ，则cosθ==
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°
，
∴|cosθ|=cos30°
=，即||=，解得a=2，即AB的长为2
本题考查利用空间向量这一工具求二面角，证明线面平行及线线垂直，解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应，此类解题，方法简单思维量小，但计算量大，易因为计算错误导致解题失败，解题时要严谨，认真，利用空间向量求解立体几何题是近几年高考的热点，必考内容，学习时要好好把握
19．（13分）（2012•福建）如图，椭圆E：
的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：
y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：
在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？
若存在，求出点M的坐标；
直线与圆锥曲线的综合问题；
椭圆的标准方程．菁优网版权所有
（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：
y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；
k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．
（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴
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