排列组合题型总结与易错点提示Word文档下载推荐.doc

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2.求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。

这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。

再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解:

分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为（AB,CD,EF）,则中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有种分法。

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以（为均分的组数）避免重复计数。

1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？

（）

2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（）

十三.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。

选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.（27）

本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？

（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种

3号盒4号盒5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

十六.分解与合成策略

例16.30030能被多少个不同的偶数整除

分析：

先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×

3×

5×

7×

11×

13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：

练习:

正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

十七.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140

十八.树图策略

例19．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中号人不坐号椅（）的不同坐法有多少种？

十九.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

红

1

2

3

黄

兰

取法

解:

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.

二十：

住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.

因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.

排列组合易错题正误解析

1没有理解两个基本原理出错

排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.

例1从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.

例2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.

（A） 

（B） 

（C） 

（D）

2判断不出是排列还是组合出错

在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.

例3有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？

3重复计算出错

在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。

例45本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

（A）480 

种 

（B）240种 

（C）120种 

（D）96种

例5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种.

（A）5040 

（B）1260 

（C）210 

（D）630

4遗漏计算出错

在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。

例6用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）

（A）36个 

（B）48个 

（C）66个 

（D）72个

5忽视题设条件出错

在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.

5

4

例7如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4

种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

6未考虑特殊情况出错

在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.

例9现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）

（A）（B）1023种 （C）1536种 （D）1535种

7题意的理解偏差出错

例10现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.

（B） 

（C） 

（D）

8解题策略的选择不当出错

例10高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.

（A）16种（B）18种（C）37种（D）48种

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（　　）

A．40　　　 B．50　　　C．60　　　 D．70

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（　　）

A．36种 B．48种C．72种 D．96种

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（　　）

A．6个 B．9个C．18个 D．36个

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（　　）

A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（　　）

A．45种 B．36种C．28种 D．25种

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（　　）

A．24种 B．36种C．38种 D．108种

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（　　）

A．33 B．34C．35 D．36

9．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（　　）

A．50种 B．60种C．120种 D．210种

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．（用数字作答）

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．（用数字作答）

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种（用数字作答）．

13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法（用数字作答）．

14.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A.504种B.960种C.1008种D.1108种

16.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A）72（B）96（C）108（D）144

17.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A.10B.11C.12D.15

18.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152B.126C.90D.54

19.甲组有5名男同学，3名女同学；

乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种

20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

22.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位

A85B56C49D28

24.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）

A． B． C． D．

25.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．

26.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A． B． C． D．

27.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

28.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）

A．10种　　　　　B．20种　　　　　C．36种　　　　　D．52种

29.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有

（A）30种　　　（B）90种（C）180种　　　　（D）270种

30.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种

31.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　　个（用数字作答）．

32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？

34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？

（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？

（3）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？

（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？

35.已知是正整数，的展开式中的系数为7，

（1）试求中的的系数的最小值

（2）对于使的的系数为最小的，求出此时的系数

（3）利用上述结果，求的近似值（精确到0.01）