不等关系与不等式经典教案Word下载.doc
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（7）a>
0，n∈N，n≥2⇒anbn；
（8）a>
0，n∈N，n≥2⇒.
二、经典范例
问题探究一 实数比较大小
问题1 （实数比较大小的依据）
在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：
如果a－b是正数，那么；
如果a－b是负数，那么；
如果a－b等于零，那么.
以上结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；
a－b＜0⇔a＜b；
a－b＝0⇔a＝b.
问题2 （作差法比较实数的大小）
向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？
并证明你的结论．
问题探究二 不等式的基本性质
问题3 在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．
请同学们借助前面的性质证明性质6：
如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形（证明不等式和求解不等式）的重要依据．请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用．
解不等式：
－x＋<
x－.
小结
（1）当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．
（2）解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来．
（3）若有表格、图象等，读懂表格，图象对解决这类问题很关键．
变式练习1：
某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：
软件数与磁盘数应满足什么条件？
变式练习2：
已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
小结 作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
变式练习3：
（1）比较（a＋3）（a－5）与（a＋2）（a－4）的大小；
（2）设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
变式练习4：
已知a、b、c为实数，判断以下各命题的真假．
（1）若a>
b，则ac<
bc；
（2）若ac2>
bc2，则a>
b；
（3）若a<
b<
0，则a2>
ab>
b2；
（4）若c>
0，则>
；
（5）若a>
b，>
，则a>
0，b<
0.
小结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．
变式练习5:
判断下列各命题是否正确，并说明理由．
（1）若<
且c>
0，则a>
（2）若a>
0且c>
0，则>
；
（3）若a>
b，ab≠0，则<
（4）若a>
d，则ac>
bd.
三、过关测试
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>
b，则下列不等式成立的是（ ）
A.<
B．a2>
b2
C.>
D．a|c|>
b|c|
2．已知a<
－1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a>
>
B.>
a
D.>
3．已知a、b为非零实数，且a<
b，则下列命题成立的是（ ）
A．a2<
b2B．a2b<
ab2
C.<
D.<
4．若x∈（e－1,1），a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则（ ）
A．a<
cB．c<
a<
b
C．b<
cD．b<
c<
5．设a，b∈R，若a－|b|>
0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．b－a>
0B．a3＋b3<
C．a2－b2<
0D．b＋a>
6．若a>
c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．ab>
acB．ac>
bc
C．a|b|>
c|b|D．a2>
b2>
c2
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
8．若f（x）＝3x2－x＋1，g（x）＝2x2＋x－1，则f（x）与g（x）的大小关系是________．
9．若x∈R，则与的大小关系为________．
10．设n>
1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
三、解答题
11．设a>
0，试比较与的大小．
12．设f（x）＝1＋logx3，g（x）＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f（x）与g（x）的大小．
能力提升
13．若0<
a1<
a2,0<
b1<
b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是（ ）
A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1D.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
四、课后练习
一、选择题
b，则下列不等式成立的是 （ ）
B．a2>
D．a|c|>
2．已知a、b为非零实数，且a<
b，则下列命题成立的是 （ ）
b2 B．a2b<
D.<
3．若x∈（e－1,1），a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则 （ ）
c B．c<
c D．b<
4．若a>
0且a≠1，M＝loga（a3＋1），N＝loga（a2＋1），则M，N的大小关系为 （ ）
A．M<
N B．M≤N
C．M>
N D．M≥N
5．若a>
c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是 （ ）
ac B．ac>
c|b| D．a2>
6．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．
7．若x∈R，则与的大小关系为________．
8．设n>
9．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
10．设a>
11.已知12<
60,15<
36，求a－b及的取值范围．
四、探究与拓展
部分参考答案：
问题2：
设原来a克糖水中含糖b克，加入m克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为<
（其中a，b，m均为正数，且a>
b）．证明如下：
－＝＝，
又a，b，m均为正数且a>
b，∴a－b>
0，m（a－b）>
0，a（a＋m）>
0，∴>
因此，>
，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．
问题3：
证明 ⇒ac＞bd.
问题4：
解 －x＋<
x－⇔－2x＋9<
8x－1（不等式两边都乘以12，不等式方向不改变）
⇔－2x<
8x－10（不等式两边都加上－9）
⇔－10x<
－10（不等式两边都加上－8x）⇔x>
1（不等式两边都乘以－，不等式方向改变）
设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得
∵（x3－1）－（2x2－2x）:
＝x3－2x2＋2x－1
＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）
＝x2（x－1）－（x－1）2
＝（x－1）（x2－x＋1）
＝（x－1）[（x－）2＋]，∵（x－）2＋＞0，x－1＜0，∴（x－1）[（x－）2＋]＜0，∴x3－1＜2x2－2x.
解
（1）∵（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7<
0.∴（a＋3）（a－5）<
（a＋2）（a－4）．
（2）∵5x2＋y2＋z2－（2xy＋4x＋2z－2）
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝（2x－1）2＋（x－y）2＋（z－1）2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
解
（1）c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题．
（2）由ac2>
bc2知c≠0，∴c2>
0，∴a>
b，故该命题为真命题．
（3）⇒a2>
ab；
又⇒ab>
b2，∴a2>
b2，故该命题为真命题．
（4）∵a>
0，∴－a<
－b，∴c－a<
c－b，又∵c>
0，
在c－a<
c－b两边同乘，得>
0，又a>
.故该命题为真命题．
（5）由已知条件知a>
b⇒a－b>
0，又>
⇒－>
0⇒>
0，∵a－b>
0，∴b－a<
0，∴ab<
又a>
b，∴a>
0，故该命题为真命题．
变式练习5：
解
（1）⇒<
，但推不出a>
b，故
（1）错．
（2）⇒>
0⇒>
成立，故
（2）对．
（3）错．例如，当a＝1，b＝－1时，不成立．
（4）错．例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立．
过关测试：
1、答案 C
解析 对A，若a>
0>
b，则>
0，<
0，此时>
，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2<
b2，∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且a>
b，∴>
恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
2、答案 D
解析 取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，∴>
a.
3、答案 C
解析 对于A，当a<
0时，a2<
b2不成立；
对于B，当a<
0，b>
0时，a2b>
0，ab2<
0，a2b<
ab2不成立；
对于C，∵a<
0，∴<
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.
4、答案 C
解析 ∵<
x<
1，∴－1<
lnx<
0.令t＝lnx，则－1<
t<
∴a－b＝t－2t＝－t>
b.c－a＝t3－t＝t（t2－1）＝t（t＋1）（t－1），
又∵－1<
0，∴0<
t＋1<
1，－2<
t－1<
－1，∴c－a>
0，∴c>
a.∴c>
b.
5、答案 D
解析 由a>
|b|得－a<
a，∴a＋b>
0，且a－b>
0.∴b－a<
0，A错，D对．
可取特值，如a＝2，b＝－1，a3＋b3＝7>
0，故B错．而a2－b2＝（a－b）（a＋b）>
0，∴C错．
6、答案 A解析 由a>
c及a＋b＋c＝0知a>
0，c<
0，又∵a>
c，∴ab>
ac.故选A.
7、答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.
8、答案 f（x）>
g（x）解析 ∵f（x）－g（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1>
0，∴f（x）>
g（x）．
9、答案 ≤解析 ∵－＝＝≤0，∴≤.
10、答案 A>
B解析 A＝，B＝.
∵＋<
＋，并且都为正数，∴A>
B.
11、解 方法一 作差法
－＝＝＝
∵a>
0，∴a＋b>
0，a－b>
0,2ab>
∴>
.
方法二 作商法
0，>
0.∴＝＝＝1＋>
1.∴>
12、解 f（x）－g（x）＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或即1＜x＜时，logx＜0，∴f（x）＜g（x）；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f（x）＝g（x）；
③当或即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f（x）＞g（x）．
综上所述，当1＜x＜时，f（x）＜g（x）；
当x＝时，f（x）＝g（x）；
当0＜x＜1，或x＞时，f（x）＞g（x）．
13、答案 A
解析 方法一 特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，
a1b2＋a2b1＝＝，∵>
，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二 作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<
b2，∴a2＝1－a1>
a1，b2＝1－b1>
b1，
∴0<
，0<
.又a1b1＋a2b2＝a1b1＋（1－a1）（1－b1）＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1（1－a1）＋b1（1－b1）＝a1＋b1－a－b，
a1b2＋a2b1＝a1（1－b1）＋b1（1－a1）＝a1＋b1－2a1b1，∴（a1b2＋a2b1）－（a1a2＋b1b2）＝a＋b－2a1b1
＝（a1－b1）2≥0，∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵（a1b1＋a2b2）－（a1b2＋a2b1）＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1（2a1－1）＝（2a1－1）（2b1－1）
＝4>
0，∴a1b1＋a2b2>
a1b2＋a2b1.
∵（a1b1＋a2b2）－＝2a1b1＋－a1－b1
＝b1（2a1－1）－（2a1－1）＝（2a1－1）
＝2>
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
14、解 ∵5x2＋y2＋z2－（2xy＋4x＋2z－2）＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝（2x－1）2＋（x－y）2＋（z－1）2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
课后练习答案：
1．C 2.C 3.C 4.C 5.A
6．[－1,6] 7.≤ 8.A>
B
9．解 x6＋1－（x4＋x2）＝x6－x4－x2＋1
＝x4（x2－1）－（x2－1）＝（x2－1）（x4－1）
＝（x2－1）2（x2＋1）≥0.
∴当x＝±
1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±
1时，x6＋1>
x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，
当且仅当x＝±
1时取等号．
10．解 方法一 作差法
∵－
＝
＝.
0.
∴＝＝
＝1＋>
11．解 ∵15<
36，∴－36<
－b<
－15.
∴12－36<
a－b<
60－15，
∴－24<
45.
又<
<
，∴<
，
∴<
4.
45，<
12．解 f（x）－g（x）＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，
∴f（x）＜g（x）；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，
即f（x）＝g（x）；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，
即f（x）＞g（x）．
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