数列知识点及常用解题方法归纳总结Word文件下载.doc

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4、倒序相加法：

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

例1设{an}是等差数列，若a2=3，a=13，则数列{an}前8项的和为（）

A．128B．80C．64D．56（福建卷第3题）

略解：

∵a2+a=a+a=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．

例2已知等比数列满足，则（）

A．64 B．81 C．128 D．243（全国Ⅰ卷第7题）

答案：

A．

例3已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）

A．30 B．45 C．90 D．186（北京卷第7题）

略解：

∵a-a=3d=9，∴d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C．

例4记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）

A．2B．3C．6D．7（广东卷第4题）

∵,故选B.

例5在数列中，，，,其中为常数，则．（安徽卷第15题）

－1．

例6在数列中，，，则（）

A．B．

C．D．（江西卷第5题）

例7设数列中，，则通项___________．（四川卷第16题）

此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口．

∵∴，，，，，，．将以上各式相加，得，故应填+1．

例8若（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为（）

A．6 B．7 C．8 D．9（重庆卷第10题）

B．

使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；

例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；

例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．

例9已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+，求证：

bn·

bn+2＜b2n+1.（福建卷第20题）

（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+（n-1）×

1=n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵.bn•bn+2-b=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2=-2n＜0,∴bn·

bn+2＜b．

对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：

∵b2=1,bn·

bn+2-b=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-b=2n+1·

bn+1-2n·

2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<

0，∴bn-bn+2<

b2n+1.

例10在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：

数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和．（全国Ⅰ卷第19题）

（Ⅰ）====1，则为等差数列，，，．

（Ⅱ），．两式相减，得=．

对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．

例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；

文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．

例11等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．（Ⅰ）求与；

（Ⅱ）求和：

．（江西卷第19题）

（Ⅰ）设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或（舍去，为什么？

）故．

（Ⅱ），∴．

“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．

使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．

例12设数列的前项和为，（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：

是等比数列；

（Ⅲ）求的通项公式．（四川卷第21题）

（Ⅰ）∵，所以．由知，得，①，，．

（Ⅱ）由题设和①式知，，是首项为2，公比为2的等比数列．

（Ⅲ）

此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．

例13数列满足（I）求，并求数列的通项公式；

（II）设，，，求使的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题）

（I）

一般地,当时，

即

所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为

（II）由（I）知，

=

于是，.

下面证明:

当时，事实上,当时，即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.

数列知识点回顾

第一部分：

数列的基本概念

1．理解数列定义的四个要点

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现．

⑶项a与项数n是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．

2．数列的通项公式

一个数列{a}的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列{a}的通项公式。

若给出数列{a}的通项公式，则这个数列是已知的。

若数列{a}的前n项和记为S，则S与a的关系是：

a=。

第二部分：

等差数列

1．等差数列定义的几个特点：

⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差（同一常数），即d=a－a（n≥2）或d=a－a（nN）．

⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，a－a=d（n≥2）或d=a－a都成立．一般采用的形式为：

①当n≥2时，有a－a=d（d为常数）．

②当n时，有a－a=d（d为常数）．

③当n≥2时，有a－a=a－a成立．

若判断数列{a}不是等差数列，只需有a－a≠a－a即可．

2．等差中项

若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；

若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。

由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。

3．等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．

⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±

b}与{ka＋b}（k、b为非零常数）也是等差数列．

⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：

a=a+（n－m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：

a+a+a+…=a+a+a+…．

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）．

⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为－d；

在等差数列{a}中，a－a=a－a=md．（其中m、k、）

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；

当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；

d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠－1），则a=．

4．等差数列前n项和公式S=与S=na＋的比较

前n项和公式

公式适用范围

相同点

S=

用于已知等差数列的首项和末项

都是等差数列的前n项和公式

S=na＋

用于已知等差数列的首项和公差

5．等差数列前n项和公式S的基本性质

⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：

数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）．

⑵在等差数列{a}中，当项数为2n（nN）时，S－S=nd，=；

当项数为（2n－1）（n）时，S－S=a，=．

⑶若数列{a}为等差数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等差数列，公差为．

⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T（n为奇数），则=．

⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b（n＞m），则S=（a－b）．

⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+（a－）上．

⑺记等差数列{a}的前n项和为S．①若a＞0，公差d＜0，则当a≥0且a≤0时，S最大；

②若a＜0，公差d＞0，则当a≤0且a≥0时，S最小．

第三部分：

等比数列

1．正确理解等比数列的含义

⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q=（n）或q=（n≥2）．

⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0．

⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n，=q；

或=q（n≥2）都成立．

2．等比中项与等差中项的主要区别

如果G是a与b的等比中项，那么=，即G=ab，G=±

．所以，只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；

如果A是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b没有同号的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．

3．等比数列的基本性质

⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q（m为等距离的项数之差）．

⑵对任何m、n，在等比数列{a}中有：

a=a·

q，特别地，当m=1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．

⑶一般地，如果t，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t+k，p，…，m+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等比数列时，有：

a．a．a．…=a．a．a．…．．

⑷若{a}是公比为q的等比数列，则{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列，其公比分别为|q|}、{q}、{q}、{}．

⑸如果{a}是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，…，a，…是以q为公比的等比数列．

⑹如果{a}是等比数列，那么对任意在n，都有a·

q＞0．

⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．

⑻当q＞1且a＞0或0＜q＜1且a＜0时，等比数列为递增数列；

当a＞0且0＜q＜1或a＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；

当q=1时，等比数列为常数列；

当q＜0时，等比数列为摆动数列．

4．等比数列前n项和公式S的基本性质

⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论．

⑵当已知a，q，n时，用公式S=；

当已知a，q，a时，用公式S=．

⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S＋qS．⑵

⑷若数列{a}为等比数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等比数列．

⑸若项数为3n的等比数列（q≠－1）前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列．

二、难点突破

1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．

2．等差（比）数列的定义中有两个要点：

一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差（比）数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．

3．数列的表示方法应注意的两个问题：

⑴{a}与a是不同的，前者表示数列a，a，…，a，…，而后者仅表示这个数列的第n项；

⑵数列a，a，…，a，…，与集合{a，a，…，a，…，}不同，差别有两点：

数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；

数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．

4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：

⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq，aq，a，aq，aq，…；

⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq，aq，aq，aq，…．

5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a≠0，因为当a=0时，虽有a=a·

a成立，但{a}不是等比数列，即“b=a·

c”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；

对比等差数列{a}，“2b=a+c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．

6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q=1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．

数列基础知识定时练习题

（满分为100分+附加题20分，共120分；

定时练习时间120分钟）

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）

（A）380（B）39（C）35（D）23

2．在等差数列中，公差，，则的值为（）

（A）40（B）45（C）50（D）55

3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（）

（A）1997（B）1999（C）2001（D）2003

4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）

（A）12（B）10（C）8（D）6

5．已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（）

（A）1或（B）1或（C）1或（D）1或

6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是（）

（A）（B）（C）≤（D）≤3

7．如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（）

（A）b=3,ac=9 （B）b=-3,ac=9（C）b=3,ac=-9 （D）b=-3,ac=-9

8．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（）

A.40B.42C.43D.45

9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.5B.4C.3D.2

10．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（）

A．4B．2C．－2D．－4

11．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（）

A.81B.27C.D.243

12．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）

（A）（B）（C）（D）

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设是公差为正数的等差数列，若，，则（）

A．B．C．D．

14．设是等差数列的前项和，若，则（）

A．B．C．D．

15．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝（）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上）

1．在数列中，，且，则．

2．等比数列的前三项为，，，则

3．若数列满足：

，2，3….则　　　　　　.

4．设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.

5．在数列中，若，，则该数列的通项。

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

1．已知为等比数列，，求的通项式。

2．设等比数列的前n项和为，

3．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.

4．数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。

满分12分。

1.A2.B3.D4.C5.D6.D7.B

由等比数列的性质可得ac＝（－1）×

（－9）＝9，b×

b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B8.B

在等差数列中，已知∴d=3，a5=14，=3a5=42，选B.

9.C

，故选C.10.D

由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D11.A

因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝

（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选A12.C

【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，

则

即，所以，故选择答案C。

13.B

【解析】是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴d=3，，，选B.14.D

【解析】是等差数列的前项和，若∴，选D.15.A

解析:

由等差数列的求和公式可得且

所以,故选A

二、填空题

1.992.

3.解：

数列满足：

，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴.

4.解：

设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得

，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝

5.解：

由可得数列为公差为2的等差数列，又