等比数列知识点并附例题及解析.doc

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等比数列知识点并附例题及解析

1、等比数列的定义：

，称为公比

2、通项公式：

，首项：

；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：

或

注意：

同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：

对任意的，都有为等比数列

（2）等比中项：

为等比数列

（3）通项公式：

为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：

若或为等比数列

7、等比数列的性质：

（2）对任何，在等比数列中，有。

（3）若，则。

特别的，当时，得注：

（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。

（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列

（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列

（9）①当时，

②当时，

③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中，当项数为时，

二例题解析

【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn（p∈R，n∈N*），那么数列{an}．（）

A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列

B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列

【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

式；

（2）已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

【例4】求数列的通项公式：

（1）{an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

（2）{an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

三、考点分析

考点一：

等比数列定义的应用

1、数列满足，，则_________．

2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．

考点二：

等比中项的应用

1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（）

A．B．C．D．

2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（）

A． B．C． D．不确定

3、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．

考点三：

等比数列及其前n项和的基本运算

1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（）

A．B．C．D．

2、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．

3、若为等比数列，且，则公比________．

4、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（）

A． B．C．D．

5、等比数列{an}中，公比q=且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.

考点四：

等比数列及其前n项和性质的应用

1、在等比数列中，如果，，那么为（）

A．B．C．D．

2、如果，，，，成等比数列，那么（）

A．， B．，

C．，D．，

3、在等比数列中，，，则等于（）

A． B． C． D．

4、在等比数列中，，，则等于（）

A．B．C．D．

5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（）

A． B． C． D．

6、若是等比数列，且，若，那么的值等于

考点五：

公式的应用

1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是（）

A.公比为2的等比数列B.公比为的等比数列

C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列

2、等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为（）

A.（2n-1）2B.（2n-1）2C.4n-1D.（4n-1）

3、设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.

一、等差和等比数列比较：

等差数列

等比数列

定义

递推公式

；

；

通项公式

（）

中项

（）

（）

前项和

重要

性质

二、等差数列的定义与性质

定义：

（为常数），通项：

等差中项：

成等差数列

前项和：

性质：

是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若是等差数列，且前项和分别为，则

（4）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值）

（5）项数为偶数的等差数列，有

，.

（6）项数为奇数的等差数列，有

，，.

三、等比数列的定义与性质

定义：

（为常数，），通项：

.

等比中项：

成等比数列，或.

前项和：

（要注意q！

）

性质：

是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

四、数列求和的常用方法：

1、裂项分组法：

、

2、错位相减法：

凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，

例：

求：

解：

①

②

①减②得：

从而求出。

错位相减法的步骤：

（1）将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；

（2）将①式左右两边都乘以公比q，得到②式；（3）用①②，错位相减；（4）化简计算。

3、倒序相加法：

前两种方法不行时考虑倒序相加法

例：

等差数列求和：

两式相加可得：

即：

所以

等比数列·例题解析

【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn（p∈R，n∈N*），那么数列{an}．

[]

A．是等比数列

B．当p≠0时是等比数列

C．当p≠0，p≠1时是等比数列

D．不是等比数列

【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

式；

（2）已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：

（b－c）2＋（c－a）2＋（d－b）2＝（a－d）2．

【例6】求数列的通项公式：

（1）{an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

（2）{an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：

（1）求a1与d的值；

（2）b16是不是{an}中的项？

【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．

【例14】已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：

a1、a3、a5成等比数列．

【例15】已知（b－c）logmx＋（c－a）logmy＋（a－b）logmz=0．

（1）设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：

x，y，z成等比数列．

（2）设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：

a，b，c成等差数列．

等比数列·例题解析

【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn（p∈R，n∈N*），那么数列{an}．

[]

A．是等比数列

B．当p≠0时是等比数列

C．当p≠0，p≠1时是等比数列

D．不是等比数列

分析由Sn＝pn（n∈N*），有a1=S1＝p，并且当n≥2时，

an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝（p－1）pn-1

但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．

说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0（n∈N*），还要注

【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q

∴2＝1·q2n+1

x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式；

（2）已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

∴a4＝2

【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1

【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：

（b－c）2＋（c－a）2＋（d－b）2＝（a－d）2．

证法一∵a、b、c、d成等比数列

∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2

=2（b2－ac）＋2（c2－bd）＋（a2－2bc＋d2）

＝a2－2ad＋d2

＝（a－d）2＝右边

证毕．

证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：

b＝aq，c＝aq2，d=aq3

∴左边＝（aq－aq2）2＋（aq2－a）2＋（aq3－aq）2

＝a2－2a2q3＋a2q6

=（a－aq3）2

＝（a－d）2=右边

证毕．

说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．

【例6】求数列的通项公式：

（1）{an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

（2）{an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

思路：

转化为等比数列．

∴{an＋1}是等比数列

∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1

∴{an+1－an}是等比数列，即

an+1－an=（a2－a1）·2n-1=3·2n-1

再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到

说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．

（1）中发现{an＋1}是等比数列，

（2）中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．

证∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数

∴上述方程的判别式Δ≥0，即

又∵a1、a2、a3为实数

因而a1、a2、a3成等比数列

∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．

【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

解设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有

整理，得

∴b＋d=2b－2d即b=3d

代入①，得

9d2=（3d－d＋1）（3d＋d）

9d2=（2d＋1）·4d

解之，得d=4或d=0（舍）

∴b=12

【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：

（1）求a1与d的值；

（2）b16是不是{an}中的项？

思路：

运用通项公式列方程

（2）∵b16=b1·d15=－32b1

∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则

－32a1=a1＋（k－1）d

∴（k－1）d=－33a1=33d

∴k=34即b16是{an}中的第34项．

解设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋（n－1）d

解这个方程组，得

∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2

∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋（n－1）d=2n－3

当a1=3，d=2时，an=a1＋（n－1）d=5－2n

【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

解法一按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2

由已知：

a，aq＋4，aq2成等差数列

即：

2（aq＋4）=a＋aq2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

a，aq＋4，aq2＋32成等比数列

即：

（aq＋4）2=a（aq2＋32）

解法二按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d

由已知：

三个数成等比数列

即：

（b－4）2=（b－d）（b＋d）

b－d，b，b＋d＋32成等比数列

即b2=（b－d）（b＋d＋32）

解法三任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3

由已知：

a1，a2，a3成等比数列

a1，a2＋4，a3成等差数列

得：

2（a2＋4）=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

a1，a2＋4，a3＋32成等比数列

得：

（a2＋4）2=a1（a3＋32） 　　　　　　　　　　　　　　　　③

说明将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成

简化计算过程的作用．

【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

分析本题有三种设未知数的方法

方法一设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条

方法二设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．

方法三设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．

由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，

所求四个数为：

0，4，8，16或15，9，3，1．

解法二设后三个数为：

b，bq，bq2，则第一个数为：

2b－bq

所求四个数为：

0，4，8，16或15，9，3，1．

解法三设四个数依次为x，y，12－y，16－x．

这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．

解设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126

∴b=42

这三个数可写成42－d，42，42＋d．

再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得

解这个方程组，得

a1=17或a2=68

当a=17时，q=2，d=－26

从而得到：

成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．

【例14】已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：

a1、a3、a5成等比数列．

证明由已知，有

2a2=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

即a3（a3＋a5）=a5（a1＋a3）

所以a1、a3、a5成等比数列．

【例15】已知（b－c）logmx＋（c－a）logmy＋（a－b）logmz=0．

（1）设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：

x，y，z成等比数列．

（2）设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：

a，b，c成等差数列．

证明

（1）∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0

∴b－c=a－b=－d，c－a=2d

代入已知条件，得：

－d（logmx－2logmy＋logmz）=0

∴logmx＋logmz=2logmy

∴y2=xz

∵x，y，z均为正数

∴x，y，z成等比数列

（2）∵x，y，z成等比数列且公比q≠1

∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：

（b－c）logmx＋（c－a）logmxq＋（a－b）logmxq2=0

变形、整理得：

（c＋a－2b）logmq=0

∵q≠1∴logmq≠0

∴c＋a－2b=0即2b=a＋c

即a，b，c成等差数列