全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版Word文档下载推荐.doc
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【答案】C
【解析】易知，故，，选C
【考点】共轭复数、复数运算
（3）已知向量，=（，），则
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【答案】A
【解析】法一：
，
法二：
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知
【考点】向量夹角的坐标运算
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于的月份有5个
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的月份有七月、八月，六月为左右，故最多3个
【考点】统计图的识别
（5）若，则
A.B.C.1D.
【解析】
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
（6）已知，则
【解析】，故
【考点】指数运算、幂函数性质
（7）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】列表如下
4
2
6
-2
10
16
20
1
3
【考点】程序框图
（8）在中，，边上的高等于,则
A.B.C.D.
【解析】如图所示，可设，则，，，由余弦定理知，
【考点】解三角形
（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
A.B.C.90D.81
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为
【考点】三视图、多面体的表面积
（10）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，
又，所以内接球的半径为，即的最大值为
【考点】内接球半径的求法
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.
P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
【解析】易得
【考点】椭圆的性质、相似
（12）定义“规范01数列”{an}如下：
{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共3小题，每小题5分
（13）设x，y满足约束条件，则的最大值为________.
【答案】
【解析】三条直线的交点分别为，代入目标函数可得，故最小值为
【考点】线性规划
（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【解析】，故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
（15）已知f（x）为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______
，，，故切线方程为
当时，，，故切线方程为
【考点】奇偶性、导数、切线方程
（16）已知直线：
与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________.
【答案】3
【解析】如图所示，作于，作于，，即
∴直线l的倾斜角为30°
【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求λ．
（1）；
（2）
解：
（1）
当时，
即，
即
∴是等比数列，公比，
当n=1时，，
（2）若
则
【考点】等比数列的证明、由求通项、等比数列的性质
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：
，，，≈2.646.
参考公式：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
（1）见解析；
（2），1.82亿吨
（1）由题意得，
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系
（2）
所以关于的线性回归方程为
将代入回归方程可得，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）见解析；
（1）由已知得，取的中点，连接，
由为中点知，.......3分
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，
于是.
因为平面，平面，所以平面.........6分
（2）取中点，连接，则易知，又面，故可以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，
则
故平面的法向量
直线与平面所成角的正弦值为
【考点】线面平行证明、线面角的计算
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：
y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（1）法一：
由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为......3分
由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
所以.......5分
证明：
连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°
∴∠PFQ=90°
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°
﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（2）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.....12分
【考点】抛物线、轨迹方程
（21）（本小题满分12分）
设函数，其中，记的最大值为.
（1）求；
（2）求；
（3）证明：
【答案】见解析
（2）当时，
因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，
，，且当时，取得极小值，
极小值为．
令，解得（舍去），．
①当时，在内无极值点，，，，所以．
②当时，由，知．
又，所以．
综上，．
（3）由
（1）得.
当时，.
当时，，所以.
【考点】导函数讨论单调性、不等式证明
请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修：
几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。
（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。
（1）连结，则.
因为，所以，又，所以.
又，所以，因此.
（2）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.
【考点】几何证明选讲
（23）（本小题满分10分）选修：
坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.
（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.……5分
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
………………8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
………………10分
【考点】坐标系与参数方程
（24）（本小题满分10分），选修：
不等式选讲
已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求a的取值范围。
（1）；
（1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.………………5分
（2）当时，
当时等号成立，
所以当时，等价于.①……7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.………………10分
【考点】不等式选讲
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