数列期末专题复习Word格式.doc

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（2）等差中项：

对于数列，若，则数列是等差数列。

等差数列的通项公式：

说明：

该公式整理后是关于的一次函数。

等差数列的前项和：

①②

对于公式②整理后是关于的没有常数项的二次函数。

等差中项：

等差数列的性质：

3.等比数列

等比数列的概念：

等比中项：

等比数列的判定方法：

对于数列，若，则数列是等比数列。

（2）等比中项：

等比数列的通项公式：

如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。

等比数列的前n项和：

当时，

等比数列的性质：

四、数列求和的常用方法

（一）倒序相加法：

将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。

如等差数列的求和公式的推导。

（二）错位相减法：

这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列。

例1．求数列的前项和。

（三）分组求和法所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例2．已知数列满足，求其前项和。

（四）公式法（恒等式法）：

利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如

、等公式。

例3．求数列,,的和。

（五）拆项（裂项）相消法：

若数列能裂项成，

即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例4．已知数列满足，求数列的前项和

（六）通项化归法：

即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。

例5．求数列的前项和

（七）并项法求和：

在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意的奇偶性。

例6．已知数列，求数列的前项和

（八）奇偶分析项：

当数列中的项有符号限制时，应分为奇数、偶数进行讨论。

例7．若，求数列的前项和

（九）利用周期性求和：

若数列，都有（其中,为给定的自然数，），则称数列为周期数列，其中为其周期。

例8．已知正数数列的前n项和为，且对于任意的，有

（1）求证为等差数列；

（2）求的通项公式；

（3）设，求的前n项和。

数列复习

一、填空题

1.在等差数列中，若++++=120，则2-=______

2.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=_______

3.设Sn是等差数列的前n项和，若_____

4．依次排列的4个数，其和为13，第4个数是第2个数的3倍，前3个数成等比数列，后三个数成等差数列，这四个数分别为____________

5.正项等比数列｛an｝与等差数列｛bn｝满足且，则____（填>

、<

、=之一）

6.已知等比数列及等差数列，其中，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为________.

7.给定正数p,q,a,b,c，其中p¹

q，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列,则一元二次程bx2－2ax+c=0______实数根（填“有”或“无”之一）

8.已知数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么____（填>

、=之一）

9.设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，则数列{an}的通项公式为______.

10.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<

logm（ab）<

1，则m的取值范围是_______．

11.设{an}是首项是1的正项数列,且0（n＝1.2,3,…）,则＝_____.

12已知an=（n∈N*）,则数列{an}的最大项为第______项.

13.在数列{an}中，已知a1=1,an=an－1+an－2+…+a2+a1.（n∈N*,n≥2）,这个数列的通项公式是_________.

14.已知，把数列的各项排成三角形状；

……

记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=.

二解答题

15.是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件：

①a+b+c=6,②a、b、c成等差数列,③将a、b、c适当排列后，能构成一个等比数列.

16.已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：

Sn＋1＝4an＋2（n∈N*），a1＝1．

（1）设bn＝an+1－2an，求证：

数列｛bn｝为等比数列；

（2）设cn＝，求证：

｛cn｝是等差数列；

（3）求数列｛an｝的通项公式及前项和的公式．

17.已知数列｛an｝为公差大于0的等差数列，Sn为其前n项和，且a1a6=21,S6=66,

（1）求数列｛an｝的通项公式。

（2）若数列｛bn｝满足，求｛bn｝的前n项和Tn。

（3）若数列｛cn｝是等差数列，且cn=，求常数p。

18．某地现有居民住房面积为am2，其中需要拆除的旧房面积占了一半．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除xm2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．

（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？

（2）依照

（1）拆房速度，再过多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？

下列数据供学生计算时参考：

1.19=2.38

1.00499=1.04

1.110=2.6

1.004910=1.05

1.111=2.85

1.004911=1.06

19.已知{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4.

（1）求证：

数列{an}是等比数列；

（2）是否存在正整数k,使>

2成立.

20.设数列前项和为,且（3,其中m为常数,m

（1）求证:

是等比数列;

（2）若数列的公比q=f（m）,数列满足

（2）求证:

为等差数列,并求.

数列答案

1.在等差数列中，若++++=120，则2-=___24___

2.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=–6

3.设Sn是等差数列的前n项和，若_1___

4．依次排列的4个数，其和为13，第4个数是第2个数的3倍，前3个数成等比数列，后三个数成等差数列，这四个数分别为1，2，4，6．

5.正项等比数列｛an｝与等差数列｛bn｝满足且，则_<

____（填>

6.已知等比数列及等差数列，其中，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_____978____________.

q，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列,则一元二次程bx2－2ax+c=0__无____实数根（填“有”或“无”之一）

8.已知数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么__<

__（填>

9.设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，则数列{an}的通项公式为.

1，则m的取值范围是__（－∞,8）_______．

11.设{an}是首项是1的正项数列,且0（n＝1.2,3,…）,则它的通项公式＝______________.

12已知an=（n∈N*）,则数列{an}的最大项为第___8或9____项.

13.在数列{an}中，已知a1=1,an=an－1+an－2+…+a2+a1.（n∈N*,n≥2）,这个数列的通项公式是.

15.是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件①a+b+c=6,②a、b、c成等差数列,③将a、b、c适当排列后，能构成一个等比数列.

解：

假设存在这样的三个数，∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，又a+b+c=6,∴b=2.，设a=2－d,b=2,c=2+d.

①若2为等比中项，则22=（2+d）（2－d），∴d=0,则a=b=c,不符合题意.

②若2+d为等比中项，则（2+d）2=2（2－d）,解得d=0（舍去）或d=－6.，∴a=8,b=2,c=－4.

③若2－d为等比中项，则（2－d）2=2（2+d）,解得d=0（舍去）或d=6，∴a=－4,b=2,c=8

综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，－4或－4，2，8.

证明

（1）Sn＋1＝4an＋2,＝4an＋1＋2，相减得an＋2＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an）．

又bn＝an＋1－2an，所以bn＋1＝2bn.又S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1，所以a2＝5，b1＝3，所以bn≠0，=2．所以｛bn｝是以3为首项，2为公比的等比数列．∴bn＝3×

2n－1．

（2）由

（1）知bn＝3×

2n-1．因为cn＝，所以cn+1－cn＝－＝＝＝＝，c1＝，

所以｛cn｝是以为首项，为公差的等差数列．

（3）解：

由

（2）可知＝．

∵cn＝，∴an=2ncn=2n（n-）=（3n-1）×

2n-2（n∈N*）．当≥2时，Sn=4an-1+2=（3n-4）×

2n-1+2．而S1=a1=1也适合此公式．故所求的数列｛an｝的前项和公式为Sn=（3n-4）×

2n-1+2．

（2）

（3）；

18某地今年年初有居民住房面积为am2，其中需要拆除的旧房面积占了一半．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除xm2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．

（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？

（1）设今年人口为b人，则10年后人口为b（1＋4.9‰）10＝1.05b．

由题设可知，1年后的住房面积为a（1＋10%）－x＝1.1a－x；

2年后的住房面积为（1.1a－x）（1＋10%）－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－（1.1＋1）x；

3年后的住房面积为（1.12a－（1.1＋1）x）（1＋10%）－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x

＝1.13a－（1.12＋1.1＋1）x；

……

10年后的住房面积为：

1.110a－（1.19＋…＋1.1＋1）x

＝2.6a－x＝2.6a－16x．

由＝2·

．解得x＝a．

（2）由

（1）可得：

10年后所剩余的旧房面积为a－10x＝a．全部拆除旧住房还需a÷

a＝6．

答：

（1）每年拆除的旧住房面积为am2；

（2）按此速度全部拆除旧住房还需6年．

19.已知{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4.

（1）求证：

解

（1）由题意，Sn+an=4,Sn+1+an+1=4,∴（Sn+1+an+1）－（Sn+an）=0，即2an+1－an=0,an+1=an,

又2a1=S1+a1=4,∴a1=2.∴数列{an}是以首项a1=2,公比为q=的等比数列.

（2）Sn==4－22－n.

∵k∈N*,∴2k－1∈N*.这与2k－1∈（1,）相矛盾，故不存在这样的k,使不等式成立.

（1）求证:

（2）若数列的公比q=f（m）,数列满足求证:

解

（1）由

∴是等比数列。