高中数学向量专题-中档难度题目最全汇总文档格式.doc

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3 B．1：

3 C．1：

4 D．1：

6

16．在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则•=（　　）

A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28

17．已知O是正△ABC的中心．若=，其中λ，μ∈R，则的值为（　　）

A． B． C． D．2

18．设△ABC的面积为S，若，tanA=2，则S=（　　）

A．1 B．2 C． D．

19．已知向量，，为平面向量，||=||=2=1，且使得﹣2与﹣所成夹角为，则||的最大值为（　　）

A． B． C．1 D．+1

20．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：

S2：

S3等于（　　）

A．3：

2：

1 B．3：

1：

2 C．6：

2 D．6：

1

21．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．﹣1

22．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（　　）

A．2﹣ B．2+ C．1 D．2

23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC的重心，则用向量表示为（　　）

A． B．

C． D．

24．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若=，则O为△ABC的（　　）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

25．已知平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，则（2+）（﹣）的最小值为（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．0

26．已知O是△ABC内部一点，且3=，则△OBC的面积与△ABC的面积之比为（　　）

A． B．1 C． D．2

27．已知向量满足：

，若，的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（　　）

二．填空题（共3小题）

28．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°

，∠ADC=45°

，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则|3+|的最小值为　　．

29．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|=　　．

30．已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，++=，若||=4，||=2，S△APQ=，则•的值为　　．

2018年09月30日186****1015的高中数学组卷

参考答案与试题解析

【分析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

【解答】解：

如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，

以DC所在的直线为y轴，

过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°

，AB=AD=1，

∴AN=ABcos60°

=，BN=ABsin60°

=，

∴DN=1+=，

∴BM=，

∴CM=MBtan30°

∴DC=DM+MC=，

∴A（1，0），B（，），C（0，），

设E（0，m），

∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，

∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，

当m=时，取得最小值为．

故选：

A．

【分析】把等式﹣4•+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．

由﹣4•+3=0，得，

∴（）⊥（），

如图，不妨设，

则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．

不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．

即．

【分析】用，表示出，利用基本不等式得出|AB|2+|AC|2的最小值即可．

∵点G是△ABC内一点，满足++=，∴G是△ABC的重心，

∴=（+），

∴=（2+2+2•）=（|AB|2+|AC|2）+，

∵•=|AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，

∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4，

∴2≥=．

∴||≥．

C．

【分析】根据题意，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出

∵△ABC中，，AB=AC=1，

以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则B（1，0），C（0，1）

设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，

∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），

∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，

故的最小值为﹣2，

B．

【分析】由题意对任意x∈R，有，两边平方整理．由判别式小于等于0，可得（﹣）⊥，运用数量积的定义可得即有||=1，画出=，=，建立平面直角坐标系，设出A，B的坐标，求得|t﹣|+|t﹣|的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值．

向量，夹角为，，对任意x∈R，有，

两边平方整理可得x22+2x•﹣（2﹣2•）≥0，

则△=4（•）2+42（2﹣2•）≤0，

即有（2﹣•）2≤0，即为2=•，

则（﹣）⊥，

由向量，夹角为，||=2，

由2=•=||•||•cos，

即有||=1，

则|﹣|==，

画出=，=，建立平面直角坐标系，如图所示；

则A（1，0），B（0，），

∴=（﹣1，0），=（﹣1，）；

∴=+

=+=2（+

表示P（t，0）与M（，），N（，﹣）的距离之和的2倍，

当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|．

即有2|MN|=2=．

D．

【分析】设，，由B，D，E，C共线可得x+y=2，

可得=（）（x+y）=（5++）

设，，

∵B，D，E，C共线，∴m+n=1，λ+μ=1．

∵=x，则x+y=2，

∴=（）（x+y）=（5++）

则的最小值为．

【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得•=（λ+）•（﹣）=0，整理变形可得（λ﹣1）3×

4×

cos120°

﹣9λ+16=0，解可得λ的值，即可得答案．

根据题意，△ABC中，∠A=120°

，且AB=3，AC=4，

若，且，

则有•=（λ+）•（﹣）=λ•﹣λ2+2﹣•=（λ﹣1）•﹣λ2+2=0，

整理可得：

（λ﹣1）3×

﹣9λ+16=0，

解可得：

λ=

【分析】根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项，综合可得答案．

根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：

对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；

对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；

对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；

对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；

【分析】由已知建立平面直角坐标系，得到的坐标，结合=m+n求得的坐标，再由与的夹角为30°

求解．

∵||=1，||=，•=0，

∴建立平面直角坐标系如图：

则，，

∴=m+n=（m，），

又与的夹角为30°

，

∴，则的值为3．

【分析】由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足|﹣﹣|=2，可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．

由，是单位向量，•=0，

可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），

由向量满足|﹣﹣|=2，

∴|（x﹣1，y﹣1）|=2，

∴=2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，

其圆心C（1，1），半径r=2，

∴|OC|=

∴2﹣≤||=≤2+．

【分析】当不共线三点A，B，C构成锐角三角形或直角三角形时，显然有；

当三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则有c＞a，c＞b，并可得出=﹣accosB﹣abcosC﹣bccosA＜﹣ab（cosA+cosB+cosC）=ab[cosA+cosB﹣cos（A+B）]，说明cosA+cosB+cos（A+B）＞0即可．

如果三点A，B，C构成的三角形为锐角三角形或直角三角形，

显然；

如果三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，

角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：

c＞a，c＞b；

则

=accos（π﹣B）+abcos（π﹣C）+bccos（π﹣A）

＜﹣abcosB﹣abcosC﹣abcosA

=﹣ab（cosB+cosC+cosA）

=﹣ab[cosA+cosB﹣cos（A+B）]

=﹣ab（cosA+cosB﹣cosAcosB+sinAsinB）

=﹣ab[cosA+cosB（1﹣cosA）+sinAsinB]

A，B是锐角；

∴cosA＞0，cosB＞0，且1﹣cosA＞0，sinAsinB＞0；

∴．

12．已知抛物线C：

y2=x，过点P（a，0）的直线与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若•＜0，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．[1]

【分析】设过点P（a，0）的直线方程为my=x﹣a，由直线与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积列不等式求出a的取值范围．

设过点P（a，0）的直线方程为my=x﹣a，

且该直线与抛物线C：

y2=x相交于A，B两点，

则，

∴y2﹣my﹣a=0，

∴，

∴•=x1x2+y1y2=+y1y2=a2﹣a＜0，解得0＜a＜1；

∴a的取值范围是（0，1）．

【分析】如图所示，延长OM到点E，使得ME=OM．又点M是线段BC的中点，则四边形OBEC是平行四边形．利用向量的平行四边形法则、共线定理、数量积运算、二次函数的单调性即可得出．

如图所示，延长OM到点E，使得ME=OM．

又点M是线段BC的中点，则四边形OBEC是平行四边形．

∴=

=2

=

当且仅当，即点O为线段AM的中点时，取得最小值﹣8．

【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出λ，μ即可得出答案．

===+=，

∴λ=1，μ=﹣，

∴=﹣2．

【分析】如图所示，由于点P满足++=，可得=，化为．即可得到△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：

AB．

如图所示，∵点P满足++=，

∴=，

∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：

AC=1：

3．

【分析】利用已知条件推出BC=8，BC边上中线长为3，通过向量的模的平方，转化求解•即可．

在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，

可得：

，，

可得，，

两式作差可得：

4•=﹣28，所以•=﹣7．

【分析】O是正△ABC的中心，可得，由=，可得+=，

可得1+λ=μ=﹣λ﹣μ⇒2λ=﹣μ即可得的值．

∵O是正△ABC的中心，∴，

由=，可得+=，

∴（1+μ）++（﹣λ﹣μ）=．

∴1+λ=μ=﹣λ﹣μ⇒2λ=﹣μ

∴则的值为﹣，

【分析】利用向量的数量积，以及三角函数，化简求解即可．

tanA=2，可得cosA===，sinA=，

可得bccosA=1，可得bc=，

△ABC的面积为S=bcsinA==1．

【分析】由向量的数量积的定义可得＜，＞=，设=（x，y），=（1，0），=（cos，sin）=（，），判断四点A、B、C、D共圆，设圆心为E，C在圆E上运动，结合图象可得所求最大值．

设=，=，=，

∵平面向量，，满足||=||=2•=1，

∴cos＜，＞==，

∴＜，＞=，

设=（x，y），=（1，0），

=（cos，sin）=（，），

∵﹣2与﹣的夹角为，即为2﹣与﹣的夹角为，

可得∠BCD+∠BAD=180°

则四点A、B、C、D共圆，

设圆心为E，C在圆E上运动，

可得E的横坐标为，

由BD=，可得2r==2，

解得r=1，由A（1，0），可得E（，），

即有|OE|==，

则||的最大值为1+．

【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：

S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．

如图所示，

延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．

则+2=+=，

∵+2+3=，∴﹣=3．

又=2，可得=2．

于是=，

∴S△ABC=2S△AOB．

同理可得：

S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．

∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：

2．

【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算•（+）的最小值即可．

以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A（0，），B（﹣，0），C（，0），

设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），

所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣y+2y2

=2x2+2（y﹣）2﹣；

所以当x=0，y=时，取得最小值是﹣．

【分析】由题意设，再设，这样根据即可得出终点的轨迹，而数形结合即可求出的最小值．

根据条件，设，设，则：

==0；

∴；

∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：

∴||的最小值为：

．

【分析】根据向量加法的平行四边形法则及数乘的几何意义，，再根据三角形重心的性质便可得出，这样根据向量加法的几何意义及向量的数乘运算即可表示出向量．

根据题意，；

∴

=．

【分析】运用向量的加减运算，以及向量数量积的性质，结合三角形的外心，可得所求．

若=，

可得•（+）=•（+）=•（+）=0，

即为（﹣）•（+）=（﹣）•（+）=（﹣）•（+）=0，

即有||2=||2=||2，

则||=||=||，

故O为△ABC的外心，

【分析】推导出＜＞=60°

，设==（1，0），==（），=（x，y），则x2+y2=1，则（2+）（﹣）=（2+x，y）（，﹣y）=y﹣=﹣=sin（θ+150°

），由此能求出（2+）（﹣）的最小值．

∵平面向量，，满足||=||=||=1，•=，

∴cos＜＞===，

∴＜＞=60°

∴设==（1，0），==（），

=（x，y），则x2+y2=1，

∴（2+）（﹣）=（2+x，y）（，﹣y）

=（2+x）（）+（﹣y）y

=y﹣

=﹣

=sin（θ+150°

），

∴（2+）（﹣）的最小值为﹣．

【分析】由向量式可得O为三角形ABC中位线FE的三等分点（靠近E），从而可得两三角形面积和△ABC的关系，可从而得答案．

∵3=，∴2（═﹣（

如图E，F分别是对应边的中点，

由平行四边形法则知：

2=﹣，

∴O为三角形ABC中位线FE的三等分点（靠近E），

∴O到CB的距离是三角形ABC高的一半，∴则△OBC的面积与△ABC的面积之比为1：

【分析】由已知可得，设，则=x1=，结合，可得y1=±

3，不妨取=（，3），设=（x，y），结合（）•（）=0，可得x，y所满足的关系式，数形结合得答案．

由，

∴，即1﹣2，

设，则=x1=，

且||==，

∴y1=±

3，不妨取=（，3）．

设=（x，y），则=（1﹣x，﹣y），=（﹣x，3﹣y），

由题意（）•（）=0，

∴（1﹣x）（﹣x）﹣y（3﹣y）=0，

化简得，x2+y2﹣﹣3y+=0，即=．

则点（x，y）表示圆心在（，），半径为的圆上的点，

则||=的最大值为m=|OC|+r=，

最小值为n=|OC|﹣r=．

∴m+n=．

，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则|3+|的最小值为　　．

【分析】建立坐标系，设出P的坐标，表示出，的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可．

分别以AD，AB为x，y轴，建立直角坐标