习题集含详解高中数学题库高考专点专练之79平面向量数量积与垂直.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之79平面向量数量积与垂直

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之79平面向量数量积与垂直

一、选择题（共40小题；共200分）

1.已知菱形的边长为，，则

A.B.C.D.

2.在中，，，则等于

A.B.C.D.

3.非零向量，，若，，且，则向量与的夹角是

A.B.C.D.

4.设，，向量，，，且，，则

A.B.C.D.

5.已知向量，的夹角为，且，，则

A.B.C.D.

6.设，为向量，则“”是“”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为

A.B.C.D.

8.已知向量，，满足，且，，则与的夹角为

A.B.C.D.

9.已知在中，，，分别为角，，所对的边，且，，且，则边长为

A.B.C.D.

10.已知，满足：

，，且，则

A.B.C.D.

11.在中，，，．设点，满足，，．若，则

A.B.C.D.

12.如图，在中，，，，则

A.B.C.D.

13.设单位向量，的夹角为，，，则在方向上的投影为

A.B.C.D.

14.已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为

A.B.C.D.

15.在中，设，，且，，，则

A.B.C.D.

16.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是

A.B.C.D.

17.已知非零单位向量，满足，则与的夹角是

A.B.C.D.

18.设，，均为非零向量，若，则

A.B.

C.或D.或

19.已知向量，满足，，，则与的夹角为

A.B.C.D.

20.已知，，且，则向量在向量上的投影为

A.B.C.D.

21.设，是平面上的两个单位向量，，若，则的最小值是

A.B.C.D.

22.在中，，，则

A.B.C.D.

23.在平行四边形中，，，为的中点．若，则的长为

A.B.C.D.

24.在中，，，则

A.B.C.D.

25.在中，，，，则的值为

A.B.C.D.

26.已知单位向量与的夹角为，则

A.B.C.D.

27.若等边的边长为，平面内一点满足，则的值为

A.B.C.D.

28.在中，，，，且，则等于

A.B.C.D.

29.已知，为单位向量，其夹角为，则

A.B.C.D.

30.若单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角为

A.B.C.D.

31.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则等于

A.B.C.D.

32.已知是的外心，，若（），则的取值范围是

A.B.C.D.

33.已知向量，，且，则向量和的夹角为

A.B.C.D.

34.已知向量，满足：

，，，则

A.B.C.D.

35.设是内一点，且，，定义，其中，，分别是，，的面积，若，则的最小值是

A.B.C.D.

36.如图，，是以为直径圆上的两点，其中，，则

A.B.C.D.

37.如图，、以为直径的圆上的两点，其中，，则

A.B.C.D.

38.已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为

A.B.C.D.

39.已知，，．若点是所在平面内的一点．且，则的最大值等于

A.B.C.D.

40.非零向量、，若点关于所在直线的对称点为，则向量为

A.B.

C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.若向量，满足，则的值为 ．

42.已知向量，，若与垂直，则实数等于 ．

43.设向量与的夹角为，且，，则 ．

44.设向量与的夹角为，，，则 ．

45.已知平面向量，．若，则 ．

46.边长为的菱形中，，，，则 .

47.在中，，，是边的中点，则 ．

48.若，均为非零向量，且，，则，的夹角为 ．

49.已知向量，，，则 ．

50.，为单位向量，若，则 ．

51.若向量，，，则向量与的夹角等于 ．

52.已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，，若，则实数的值为 ．

53.已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 ．

54.如图，在平行四边形中，，垂足为，且，则 ．

55.如图，在边长为的菱形中，，为的中点，则的值为 ．

56.已知直线被圆所截得的弦的长为，那么的值等于 ．

57.已知，，．

（1）求与的夹角 ；

（2）求 ； ．

58.在直角梯形中，已知，，，，若为线段上一点，且满足，，则 ．

59.在直角中，，，，为斜边的中点，则 ．

60.定义是向量和的"向量积"，它的长度，其中为向量和的夹角，若，，则 ．

61.已知三角形是单位圆的内接三角形，，过点作的垂线交单位圆于点，则 ．

62.在平行四边形中，，，为的中点．若，则的长为 ．

63.若向量、夹角为，，，则 ．

64.如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，则 ．

65.如图，已知正六边形的边长为，点为的中点，则 ．

66.若向量，满足，，则的取值范围是 ．

67.如图，在中，若，，，，为边的三等分点，则 ．

68.已知向量与的夹角为，且，，那么 ．

69.已知，为单位向量，若，则 ．

70.已知向量与而的夹角为，且，，若，且，则实数的值为 ．

71.在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为 ．

72.已知为的外心，，，，若，则的最小值为 

73.已知平面向量，，满足，，则的最大值是 ．

74.已知非零向量，满足，与的夹角为，则的取值范围是 ．

75.如图，在直角梯形中，，，，，若，分别是线段和上的动点，则的取值范围是 ．

76.如图，在中，是的中点，，是上两个三等分点，，，则的值是 ．

77.已知向量，，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 ．

78.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是 ．

79.若，，，均为单位向量，且，则的最大值为 ．

80.若平面向量满足，则的最小值是 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.设平面内的向量，，，点在直线上，且.

（1）求的坐标；

（2）求的余弦值；

（3）设，求的最小值.

82.已知在同一平面内，且．

（1）若，且，求；

（2）若，且，求与的夹角．

83.在平面直角坐标系中，已知向量，.

（1）若，求的值；

（2）若，的夹角为，求的值.

84.

（1）若非零向量，满足，证明：

；

（2）设，，，是圆内接正边形的顶点，是圆上任意一点，证明：

为定值．

85.在中，角，，的对边分别为，，，设为的面积，满足．

（1）求角的大小；

（2）若，且，求的值．

86.

（1）设非零向量，，且，的夹角为钝角，求的取值范围．

（2）已知，，为的三个内角，，的对边，向量，．若，且，求角，．

87.已知向量，，且，则向量和的夹角为 ．

88.已知，，，的夹角为，如右图，若，，为的中点，求．

89.已知，，与的夹角为．

（1）若，求；

（2）若与垂直，求．

90.已知平面向量，满足，．

（1）若与的夹角，求的值；

（2）若，求实数的值．

91.已知，．

（1）若与的夹角为，求的值；

（2）若，求与的夹角．

92.已知，．

（1）若，求与的夹角．

（2）若与的夹角为，求的值．

93.如图，在中，已知为线段上的一点，．

（1）若，求实数，的值；

（2）若，，，且与的夹角为时，求的值．

94.设两个不共线向量，的夹角为，且，．

（1）若，求的值；

（2）若为定值，点在直线上移动，的最小值为，求的值．

95.若两个向量，满足，，，所成的角为，向量与向量所夹的角为钝角，求实数的取值范围．

96.

（1）已知平面向量，，，，若，求的值；

（2）已知三个向量，，两两所夹的角都为，，，，求向量与向量的夹角．

97.设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．

98.叙述并证明余弦定理．

99.如图，在中，，．

（1）求的值；

（2）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中，．求的最大值．

100.已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为．

（i）若，求直线的倾斜角；

（ii）若点在线段的垂直平分线上，且．求的值．

答案

第一部分

1.D【解析】

2.D【解析】方法：

因为，故，故选，

方法：

上的投影为，故.

3.C4.B【解析】依题意有，，解得，，故．

故有．

5.D

6.B【解析】，为向量，则“”“”，反之不成立，例如取．

所以则“”是“”的必要不充分条件．

7.D【解析】设向量，的夹角为，

由，且，，

得，

即，

解得．

8.B【解析】设与的夹角为，

因为，且，，

所以，所以，所以，．

9.B【解析】因为，所以，所以．

又因为，所以，

由余弦定理得，所以．

10.D

【解析】因为，，且，

所以，

所以，

所以．

11.B【解析】提示：

，．

12.D【解析】过作直线的垂线交的延长线于，因为，所以

由于，则，从而

即

结合得

故．

13.A【解析】由题意得，

，

，

因此在方向上的投影为．

14.D【解析】设单位向量，的夹角为，

因为，

所以，

即，

解得：

，

所以与夹角的余弦值为．

15.C

16.C【解析】依题意，因为，

所以，

所以，，

所以，

所以向量与的夹角是．

17.D【解析】由可得，即，

而，

即与的夹角为钝角．

18.D【解析】由，

即，

所以或，

所以或，

可得或．

19.C【解析】向量，满足，，，

可得，

可得，，

由，

可得．

20.A

【解析】由已知，，，所以向量在向量上的投影为．

21.C22.A23.C【解析】因为是平行四边形，为的中点，

所以，，

所以

又，，，

所以，

解得或（舍）．

24.C25.C

26.C【解析】，

所以，

所以．

27.A28.D29.A【解析】因为，为单位向量，其夹角为，所以，．

所以．

30.A

【解析】因为；

所以；所以向量与向量的夹角为．

31.D【解析】

解得．

32.B【解析】设外接圆的半径为，，因为，所以，不能同时为正，即，且，即，所以，因为，所以，，所以，所以．

33.C【解析】据条件：

所以，

所以；

所以向量，的夹角为．

34.B【解析】向量，满足：

，，，

所以，

所以

所以．

35.D

【解析】在中，，，

所以，，

所以，因为是，，的面积之和，所以，

所以，当且仅当，

即时，即，时取等号．

36.A【解析】连接，，则，．

37.A【解析】提示：

，，，故．

38.B【解析】因为，所以在的角平分线上，又在的角平分线上，所以为的内心．因为，所以．表示在方向上的投影，过作垂直于，则由圆的切线性质和已知可得，，所以，故的值为.

39.A【解析】因为，所以可以为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设，，

则，

故点的坐标为．

，

下面展开用均值不等式求解即可．

40.A

【解析】如图，，以为邻边作平行四边形，

则．

设与交于点，则在方向上的投影为．而与同向的单位向量是，所以

故

第二部分

41.

【解析】将平方，得

将代入，解得

42.

43.

44.

45.

46.

47.

【解析】

48.

49.

【解析】因为向量，所以；

又，，

所以，

解得．

50.

【解析】，为单位向量，且，

所以，

所以，

所以，

所以．

51.

【解析】由已知得，所以，，故与的夹角为．

52.

【解析】因为，，

所以

解得：

．

53.

【解析】建立如图所示的坐标系，设，则，．

设，则，，所以．

54.

【解析】

55.

【解析】由已知，得

则

56.

【解析】圆的方程可化为：

，圆心，．

又因为，利用余弦定理可知，所以．

57.

（1），

（2），

【解析】

（1）因为，

所以，

又，，

所以，解得，

所以．

（2），

所以，

同理可得．

58.

【解析】由题意可得，，，，

则，

所以，

因为，

所以，，

则

又，

且，，

所以，

所以，．

59.

【解析】因为，，，所以．

因为为斜边的中点，所以，．

所以．

60.

【解析】提示：

向量和的夹角为．

61.

62.

【解析】设的长为，

因为，，

所以

由已知，得．

又因为，

所以，即的长为．

63.

【解析】．

64.

【解析】在直角梯形中，，，，，可得为等腰直角三角形，

则，且是的中点，可得，

65.

【解析】

66.

【解析】设向量，的夹角为，对于向量，有：

可得：

，即，

因为向量，的夹角满足，

则有，

，

所以，

因为，

所以，

所以．

可得：

，

，

．

67.

【解析】因为，

所以，

所以．

因为，为边的三等分点，所以

68.

【解析】由题意知，，又，所以，则（舍去）或．

69.

【解析】根据条件，由得：

；

所以；

所以；

所以．

70.

【解析】因为，所以，即．

所以，解得．

71.

【解析】

当且仅当，即时等号成立（舍去）．

72.

【解析】利用向量投影的定义可得：

由，代入整理后得：

得

整理得

所以．

73.

【解析】假设，的夹角为，

依题意得，所以，．

作，，，则由条件可得．

所以点位于以线段为直径的圆上，且为等边三角形．

如图所示：

因为，

所以要使取得最大值，即需要使向量在向量方向上的投影取最大值．

设圆心为，过点作，垂足为，则当圆在点处的切线平行于时，向量在向量方向上的投影最大．

设此时点处的切线与的延长线交于点，由为等边三角形可知，，

所以，，

所以投影的最大值为，

所以的最大值是．

74.

【解析】方法一：

设，则，且的夹角为．，即，

若要使这个关于的一元二次方程有正数解，则需，，解得的取值范围为．

方法二：

做平行四边形，设，，则，因为与的夹角为，所以，在中，由正弦定理得，所以，因为，所以．

75.

76.

【解析】令，，则，，，

从而，，，，，．

由已知，得

解得，，

所以．

77.

【解析】

即最大值为．

78.

【解析】设，由，得，则点的轨迹是以为圆心的单位圆．

因为，所以．

问题可以转化为：

定点与圆上动点的距离的最大值．

79.

【解析】方法一：

由题意知，又，

因为，

所以

所以

所以．

方法二：

设，，，

则，，，

则

即．

又，

所以

．

80.

【解析】由可知，，所以，而，所以，当且仅当时取等号．

第三部分

81.

（1）因为点在直线上，

所以设，

所以，，

所以，

所以，

所以.

（2），，

所以.

      （3），

所以，

当时，上式最小值为，

所以的最小值为.

82.

（1）因为，所以设，则．

又，所以，所以或．

（2）因为，

所以，

所以，

因为，所以.

所以，所以．

83.

（1）由可得，

化简可得，

则.

（2）由题意可得，，，

而由，的夹角为可得，

因此可得，解得，

又由于，故.

84.

（1）由，得，

，展开得，故．

（2）

（其中为圆的半径），故为定值．

85.

（1）因为根据余弦定理得，的面积，

所以由得，

化简得，可得，

因为，

所以．

（2）因为，

所以，

可得，即．

所以由正弦定理得，解得，结合，得．

因为中，，

所以，

因此，，

因为，

所以，解之得（舍负）．

86.

（1）．

（2）由可得，即，所以．

由及，可得．

87.

【解析】据条件：

所以，

所以，

所以向量，的夹角为．

88.因为

所以

89.

（1）因为，

所以或，

所以．

即．

（2）因为与垂直，

所以，

即，

所以．

又，

所以．

90.

（1），，若与的夹角，

则，

所以

（2）因为，

所以，

所以．

91.

（1），

所以，

所以．

（2）若，则，

所以，

所以，

因为，所以与的夹角为．

92.

（1）因为，，且，

所以，

因为向量的夹角范围是，

所以与的夹角为；

（2）与的夹角为，

所以

所以．

93.

（1）因为，

所以，

即，

所以，

所以，．

（2）因为，

所以，

即，

所以．

所以

94.

（1）

（2）设，则

当时，的最小值为，于是，

所以．

又，

所以或．

95.设向量与向量的夹角为，由为钝角，知，

所以

解得．

再设向量与向量反向，

则，

从而且，

解得

即当时，两向量所夹的角为．

所以实数的取值范围是．

96.

（1）因为，

所以，即，，

所以．

所以

所以．

（2）因为，，，

所以

所以．

因为

所以．

97.

（1）设，由，知

过点且与轴垂直的直线为，代人椭圆方程有

解得

于