高中数学运算能力的培养文档格式.doc
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⑴数的四则运算（含复数运算）
⑵代数式的运算（法则、运算律）
⑶幂、指、对数运算
⑷三角运算
⑸向量运算
⑹导数运算
⑺极限运算（非高考内容）
⑻方程与不等式运算（强调算法）
⑼概率运算
（10）矩阵运算
（11）抽象运算
2.运算的方法与技能要求：
⑴是否记住数学计算公式、法则，并能准确地运用公式和法则进行运算
⑵能否应用概念、性质、定理进行有关的运算
⑶能否在进行各种运算时，结果准确、速度迅速、过程合理
⑷能否进行各种查表和使用计算器计算（高考不要求）
3.运算的逻辑思维要求：
⑴是否合理使用公式、法则
⑵运算方法和过程是否简捷
⑶能否对自己的运算结果进行检查验算和判断
⑷能否自我改正运算中的各类错误
⑸能否简化运算过程，运用简缩思维进行“跳步”运算（填空题）
⑹能否较熟练地进行心算、速算、估算
⑺是否会进行推理计算
4.运算求解能力的五个要素：
⑴.运算的准确
运算的准确是对运算能力的基本要求，在运算求解过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，运算的结果准确无误。
例1. 2009年江苏高考试题第13题。
如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
解：
由已知条件可得：
直线的方程为……………①
直线的方程为……………②
联立①②可得两直线交点中的坐标为:
则线段的中点的坐标为:
代入椭圆可得:
，即得：
，
解之得：
，∵，∴.
在本题中，运算的目标是求离心率，运算程序是先求直线和的交点，再由中点公式得到点的坐标，代入椭圆方程得到关于的方程化归为关于离心率的方程从而求解出的值.要求学生对运算过程中的每一步都必须准确无误才能得到正确的结果，难度大，属于难题。
⑵.运算的熟练
运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查，运算速度的快慢与定理、公式、结论掌握的熟练程度直接相关，熟练掌握各种公式、定理以及常用的恒等变形，熟练掌握一些常用的运算方法，记忆一些必要的补充公式和结论，对提高运算熟练程度是有益的。
例2. 1996年全国考试题：
等差数列的前项和为，前项的和为，则它的前项的和为 .
法一：
由已知条件列出关于和的方程组：
，解之得：
进而求得：
.
如果学生对数式的恒等变形比较熟练，则可用此法求出结果，但最一般的方法不一定是最优的方法。
法二：
易知等差数列连续相等项的和所组成的数列仍然是等差数列，则运算
量较小.设前项的和为，中间项的和为，后项和为.
则，，，
∴.
本法熟练运用等差数列的定义和性质，计算量变得很小。
法三：
从已知条件可知：
结果与的取值无关，
令，得：
，，∴，
∴，
∴.
法三则是熟练运用简缩思维进行运算的结果。
熟练掌握常用的恒等变形，不仅可以提高运算的速度，还可以得到不同的结论，如两角和与差的正切公式的各种变形，半角的余弦公式，余弦定理的各种变形。
如椭圆方程的一种变形：
变形得，再变形为.这是一个有趣的结论：
椭圆上异于长轴端点的任一点与长轴端点的连线斜率之积为定值；
在推导椭圆标准方程的过程中,也可由变形得：
.这一过程揭示了第一定义与第二定义的等价性.还可以把
分子有理化从而计算出
构造出二元方程组
然后两式相加得
最后两边平方，化简得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）
⑶.运算的合理
运算的合理性是运算能力的核心，一般一个较复杂的运算，往往是由多个较简单的运算组合而成的，如何合理确定运算目标？
设计运算程序，选择运算途径，并将各部分有机地联系在一起？
这是运算合理性的主要标志。
①运算的合理性表现在运算要符合算理，算理即理由、道理、依据，运算过程中的每一步变形都要有依据、或依据概念，或依据运算法则和运算律，或依据公式，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现，都必须步步有理，高考对算理的考查是通过变形过程中的正误来体现的。
②运算的合理性表现在运算目标的确定，难度较大的试题，其运算目标通常比较复杂，需要经过多步运算才能达到最后结果，有时运算的目标模糊不能确定。
③运算的合理性还表现在运算途径的选择，合理选择运算途径不仅是运算迅速的需要，也是运算准确性的保证，是提高运算能力的关健，运算步骤越多、越繁琐、越容易出错。
必须灵活运用公式、法则和有关的运算律，掌握同一个问题的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。
运算求解的程序即算法、步骤，复杂的运算必须按照一定的算法实施，如解方程、解不等式就有比较明确规范的步骤，利用解析法解决几何问题也有清晰的步骤如建系、设点，把几何问题转化为代数问题、求解代数问题、回到几何问题验证等步骤
例３.已在等比数列中，已知是其前n项的和，，则的值为：
分析：
本题出现了三个条件：
等比数列，，结论是求前5项的倒数和
我们知道等比数列的各项倒数也成等比数列，因而问题化为求等比数列前5项的和，通法是运用求和公式，难点是不知首项和公比，关键是如何将表示，指导思想是运用整体思想，把和看做一个整体。
即：
此法常规简明，对于一般等比数列求和题具有普适性，比较以下方法：
此法表面上看构思新颖，构造了一个对称式，其实和法一都采用了共同的思想方法――整体思想，这一特法并未简化运算，在技巧上没有明显优势，相反下面方法更具技巧性，且思维方式有了新变化
法三，由是等比数列，可知也是等比数列，且公比是原数列的倒数，再利用等比数列性质：
此法逆向改变数列顺序，其公比与原数列各项的例数组成等比数列的公比一样，且求和形式仅是首项不同，但由等比中项的结论立刻转化，可为妙解，但同样运用转化与整体化思想，困此，特技仅是数学思想在解题过程中“灵光闪现”的定格，以上三法种掌握法和另两种方法中的一种即可。
例４.盐城市2013届高三第二次模拟试卷第20题：
⒛设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上：
命题：
是等差数列；
等式对任意（）恒成立，其中是常数。
⑴若是的充分条件，求的值；
⑵对于⑴中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；
⑶若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值。
（1）设的公差为，则原等式可化为
所以，
即对于恒成立，所以………………………………4分
（2）当时，假设是否为的必要条件，即“若①对于任意的恒成立，则为等差数列”.
当时，显然成立.………………………………………………6分
当时，②，由①-②得，
，即③.
当时，，即、、成等差数列，
当时，④，即.所以为等差数列，即是否为的必要条件.………………………………………………………………………………10分
（3）由，可设，所以.
设的公差为，则，所以，
所以的最大值为……………16分
（3）另解：
设的公差为，则
（*）
设
由
得
所以的最大值为
注：
（*）式也可由柯西不等式得到最大值。
⑷.运算的简捷
运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短，运算步骤少，运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求、运算的简捷主要体现在概念的灵活运用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用。
例４.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为______
设，由知E为PF中点，
E在圆上，且
又点P在双曲线上，则
得或（舍）
另解：
由知E为PF中点，连接PF’（F’为右焦点）
则，又由可得
由OG=可得，
即，得
例6.2012年江苏高考试题第15题。
在中，已知.
（1）求证：
；
（2）若，求的值.
（1）∵，
∴，即：
由正弦定理，得：
，∴.
又∵，∴，，
（2）∵，，
∴，∴.
∴
由
（1）得：
或.
∵，∴
注意：
平时教学往往强调切化弦较多，但在什么条件下化弦为切强调不够，学生只会顺向思维，不会逆向为之，而善于逆向思维往往是高考命题的基本做法。
⑸.运算的规范
在运算求解过程中，通过认真审题，确定解题目标，寻找解题方向，选择运算途径，最后解决问题，但如何正确呈现运算求解过程，就需要规范的表述。
目前指导学生读评分标准是一条捷径。
例7.2012江苏高考试题第18题。
求函数极值是：
，，
令，解得：
，（）.判断-2是极值点得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递增，所以是的极小值点，不是极值点（）.
许多学生被扣掉.另外在三角运算中
，要写步.
四、培养运算求解能力
㈠遵循运算求解能力发展的基本规律
发展运算能力的大致过程是：
知识→技能→能力：
相应要求分别是：
懂知识、会技能、能变通。
1.建构完善系统的知识体系
准确理解数学定义、概念、公式、定理，对于考试说明中的A级知识点要能直接使用，对于B级、C级知识点要弄清概念的发生、概括、形成过程，主要公式、定理要掌握其发现、推导过程，还要掌握它们的各种等价变形，如余弦定理的推导过程与常见的恒等变形。
2.熟练掌握有关运算的方法、步骤。
模仿、操作阶段，运算步骤不宜跳跃，每一步运算的算理必须明确、清晰，算法和运算过程的表述必须规范、条理，经过一定量的、有层次的、按部就班的训练后，逐渐简化运算步骤，灵活运用运算法则、公式，在运算求解过程中，学生能够自觉地认识运算的目的性，准确判断运算方向，合理选择运算途径，规范表述运算过程和结果，从而由懂到会，由会到对，由对到熟，由熟到变，由变到通，避免“会而不对，对而不全”的运算错误。
3.在熟练掌握运算求解的算理、算法及运算技能基础上弄清其隐含的数学思想方法，并以数学思想方法促进运算技能向能力过渡，一方面，合理使用数学思想方法可以简化运算，提高速度，其中数形结合可以借助图形直观简化运算量，等价转化可以将复杂的运算转化为简单的运算，分类、整合可以化整为零，分解难点或整体思维、优化策略。
另一方面，数学思想方法是使基本运算技能内化为思维能力的纽带，在具体运算求解过程中还要注重充分运用通性通法，通性通法是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法，是数学思想和数学方法在解决数学问题中的集中体现，做数学就是要通过解决数学问题找到同类问题的一般方法。
㈡抓实运算求解能力培养的各个环节
1.在定理、公式、法则及重要结论的发现形成推导和应用过程中，教师要重点示范、讲法算理算法，开始接触各种运算与定理公式推导应用和典型例题时要尽量详细规范板演，直接应用公式、定理解题时，要多让不同层次学生在黑板上板演或展示各种解法、暴露运算中存在的各种错误和问题，通过比较算理的合理性，算法的简捷性，过程的规范性，促进学生迅速形成各种运算技能。
2.加强审题训练，发现运算目标，启发、帮助学生细致分析问题的条件、结论以及条件与结论间的联系，尤其是如何发现问题中的隐含条件，及早确定运算目标，并在运算求解过程及时调整运算方向。
弄清条件是解题的前提，可分为一级条件（原始条件）、二级条件（变形条件）、三级条件（隐含条件）
例8.2012江苏试题第10题
设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中，若，则的值为.
分析：
本题的运算目标是求出的值，只须求出，的值即可，题中有一显性条件可得关于，的一个方程，除非此方程中出现这一整体，否则还需再找条件，周期为，区间如何结合，由周期性定义可得，这样本题的求解过程化为解方程组.
因为函数是周期为的函数，所以；
又，得，
联立方程组解得：
，.所以.
3.强化限时训练，提高运算速度。
限时训练首先在选题，要根据不同层次的学生特点，选择运算量适度的习题，且兼顾几种解法，这样便于不同层次的学生在现有水平上有所提高，在评讲时也可提供多种运算途径供学生选择，要尽量减少利用填空题训练运算能力，因为求解填空题无规范的运算过程，一些难题可以凭猜测得到结论，不利于训练运算求解能力，影响思维能力的提升。
4.重视解题反思，提升运算能力。
在解题教学中，要指导学生学会验算、减少失误，可采用以下方法：
复查验算――草稿纸每算一题画上边框，便于检验。
代值检验――选取边界值和特殊值验算。
多解对照――通法求解巧法对照。
逆向运算――顺向解答逆向回代。
观测估算――离心率的范围、三角函数有界性。
量纲检查――长度是一次函数、面积是二次函数、体积是三次函数。
特值检验――例如直线斜率不存在时，等比数列公比为1时。
条件检验――条件是否用足，尤其是隐含条件是否发现运用。
逻辑检验――运算复杂的问题通过逻辑推理可能轻松解决。
图形检验――代数方法几何检验。
解题后检验发现问题必须不断纠错、订正到位，订正可分为老师评讲前自我纠正、老师评讲中对比订正、老师评讲后二次订正，解题后更要总结反思⑴此题运用了哪些知识和方法，题中有哪些条件，尤其是否存在隐含条件，本题的算理是否清晰，算法是否简捷，运算过程是否跳步，还有更好的解法吗？
5.重视简化运算，提高求解能力。
运算求解能力是其它数学能力的基础，简化运算是提高求解能力的重要环节。
⑴熟记一些常见的运算结论和推理结果有利于寻找解题思路，简化运算过程，提高运算结果的准确性，如四面体的体积公式、勾股数、20以上的自然数的平方，圆的第二定义，圆锥曲线的半径公式，圆锥曲线的第二、第三定义，和差化积与积化和差公式等。
例如四市一模试题第１３题利用结论
⑵在解析几何解题运算中，教给学生简化运算的基本方法，如：
恰当建系、巧妙设元、回归定义、设而不求、数形结合、整体代换、数式化简、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直觉判断、合情推理……
例9.如图在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，右顶点为，动点为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，点的横坐标为.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围。
本题中求解斜率的表达式是关键，用参数表示斜率通常有以下几种方法：
①设；
②或设PF的斜率为Ｋ。
③设的斜率为；
设的斜率为；
④设.
其中方法①－③均需解出点坐标，因而运算量较大，在方法④中，可通过设而不求、边化简边运算、数形结合等方法简化运算。
（1）（过程略）.
（2）设点，点.
由于点,,三点共线，，所以，
则点.
因为，，
所以.
因为点在椭圆上，则，即，
所以，
因为，所以，
即的取值范围是.
例１０ ２０１３年四市一模第19题
已知椭圆：
的左、右顶点分别为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交椭圆于点，连结.
（1）若，求△的面积；
（2）设直线的斜率存在且分别为，若，求的取值范围．
P
D
C
O
A
B
x
y
原解答提供
19．解：
（1）设，∵，∴．
P
C
O
A
B
x
y
则．
即．①……2分
∵点在椭圆上，∴．②
联立①，②，消去，
得，……4分
∵，∴.
代入椭圆方程，得．
∴△的面积．……6分
（2）设，直线程为，代入椭圆方程，
即，得．
∵，∴．
整理得．……8分
（注：
消去，可得方程，也得8分）
此方程有一根为，设，则．
代入直线PA方程，得．……10分
则，．……12分
∵，∴.…14分
∵，，∴的取值范围为.……16分
设直线AD的方程为
由消去得：
此方程有一个根为-2，可得，
，又
设，
又且且
且
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