直线与平面所成的角教学设计Word文件下载.doc
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【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理．
2．直线与平面的位置关系．
直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）．
师：
空间直线与平面垂直属于哪一种情况？
生：
一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直
一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？
本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍．
新
课
1．平面的斜线
如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．
如图，AB是平面a的斜线，B是斜足，AB是斜线段．
B
A
a
2．直线与平面所成的角
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或夹角），如上图所示．
如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角（90°
）；
如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0°
的角．
一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角．
如图，设线段AB在平面a内的射影为A¢
B¢
，且AB与平面a所成的角为q．易证
|A¢
|＝|AB|cosq．
q
A¢
练习
设线段AB＝l，且AB与平面a所成的角为q，求线段AB在平面内的射影A¢
长：
（1）l＝6，q＝；
（2）l＝10，q＝0；
（3）l＝8，q＝．
C
D
A1
B1
C1
D1
例1如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝1，AA1＝．求对角线A1C与平面ABCD所成的角．
解连接AC，由题意知△A1AC为直角三角形，且Ð
A1AC＝90°
．又由题意，可知
AC＝＝＝．
而AA1＝，所以Ð
ACA1＝45°
．
因此A1C与平面ABCD所成的角为45°
例2如图，已知PA是平面a的斜线，PO^a，aÌ
a，a^AO．
P
O
求证：
a^PA．
证明：
因为PO^a，aÌ
a，所以
PO^a．（线面垂直的定义）
又因为AO^a，且PO∩AO＝O，所以
a^平面PAO．（线面垂直的判定）
又因为PAÌ
平面PAO，所以
a^PA．（线面垂直的定义）
例2中，AO是斜线PA在平面a内的射影，通常例2的结论也叫做三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1与平面AC，平面BA1，平面BC1所成的角，并求这些角的余弦值．
2．如图所示，PA为平面a的斜线，PO^a，aÌ
a，a^PA．求证：
a^AO．
该结论叫做三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．
教师给出定义．
学生理解并记忆定义．
重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．
教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其射影．
学生练习．
展示图形，要求学生找出对角线A1C所在直线在平面ABCD上的射影，讨论如何作图．
教师引导学生对定理进行结构分析，明确各元素之间的制约关系，指导学生抓住“四线一面”中“垂线”这个关键条件．
可借助三角板与铅笔演示三垂线定理，给学生以直观印象．
师生合作共同完成．
引导学生在理解的基础上记忆．
此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础．
教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性．
此题看似简单，但每一步都分别应用了线面垂直的定义、判定定理等，教师必须在每一步后注明所用定理，给学生以明确的思维指导．
学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师了解学生对本节课的掌握情况．
小
结
1．平面的斜线的定义．
2．理解直线与平面所成的角的概念，并会求直线与平面所成的角．
教师引导梳理．
作
业
教材P131练习A组第3题．
教材P131练习B组第1题（选做）
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