上海市虹口区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试(含解答)Word下载.doc

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6.从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程

表示双曲线的概率为

7.已知数列是公比为的等比数列，且、、成等差数列，则

8.若将函数表示成，则的值等于

9.如图，长方体的边长，

，它的外接球是球，则、这两点的球面

距离等于

10.椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的

内接矩形的面积的最大值为

11.是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是

12.函数，对于且（），记，则

的最大值等于

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.下列函数是奇函数的是（）

A.B.

C.D.

14.在Rt中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运

动且满足，当取得最小值时，实数的值为（）

A.B.C.D.

15.直线与圆交于、两点，且，过点、分别作的垂线与轴交于点、，则等于（）

A.B.4C.D.8

16.已知数列的首项，且，，是此数列的前

项和，则以下结论正确的是（）

A.不存在和使得B.不存在和使得

C.不存在和使得D.不存在和使得

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，高等于3，

点、、、为所在线段的三等分点.

（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；

（2）求异面直线、所成的角的大小.

18.已知中，角、、所对应的边分别为、、，（是

虚数单位）是方程的根，.

（1）若，求边长的值；

（2）求面积的最大值.

19.平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”，平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.

（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；

（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，，是“等比向量列”，“公比”，，，求.

20.如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆，

点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.

（1）证明：

过椭圆上的点的“切线”方程是；

（2）设、是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线、分别交轴于点、，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：

点是线段的中点；

（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线、所成夹角是否相等？

并说明理由.

21.已知函数（R，R），（R）.

（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；

（2）判断在和的单调性，并说明理由；

（3）证明：

函数存在零点，使得成立的充要条件是.

【解析】画数轴，

【解析】由

【解析】，∴

【解析】设三边为a、b、c，对角线为d，∴

，，，∴

也可取正方体的特殊情况去求

【解析】，，

【解析】

【解析】，∴或

【解析】，

【解析】外接球半径为1，，球面距离为

10.椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为

【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为

【解析】当，，∴；

当，，，

∴，∴满足条件的所有实数解为或

【解析】在有4个周期，最大值为

【解析】由，选B

【解析】建系，设，，，，，∴时取到最小值，此时，选C

【解析】长为直径，∴经过原点，，，选D

【解析】令，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；

令，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选A.

（1）；

（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为

（1）解为，∴，由正弦定理，；

（2）画出△ABC的外接圆可知，时，面积最大，为.

（2），错位相减求和为

（1）设直线，

联立椭圆，，可证结论；

（2），

∴，同理，

，即点是线段的中点

（3）相等，，，，由夹角公式

，，所以所成夹角相等.

（2）根据单调性定义分析，在上递减，在上递增；

（3）“函数存在零点，使得成立”说明

成立，根据无穷等比数列相关性质，，

结合第

（2）问，在上递减，在上递增，

∴，反之亦然.