高中文科数学一轮复习函数专题Word文档格式.doc
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又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+=.
(2)若3x-1>
1,即x>
,f(3x-1)=1+=;
若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
若3x-1<
-1,即x<
0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
∴f(3x-1)=
(3)∵f(a)=,∴a>
1或-1≤a≤1.
当a>
1时,有1+=,∴a=2;
当-1≤a≤1时,a2+1=,∴a=±
.
∴a=2或±
B组
1.(2010年广东江门质检)函数y=+lg(2x-1)的定义域是________.
由3x-2>
0,2x-1>
0,得x>
.答案:
{x|x>
}
2.(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)=则f(f(f()+5))=_.
∵-1≤≤2,∴f()+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f
(2)=-3,
∴f(-3)=(-2)×
(-3)+1=7.答案:
7
3.定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)的解析式为________.
∵对任意的x∈(-1,1),有-x∈(-1,1),
由2f(x)-f(-x)=lg(x+1),①
由2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),②
①×
2+②消去f(-x),得3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1),
∴f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1<
x<
1).
f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1<
1)
4.设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可能是________个.
由f(x+1)=f(x)+1可得f
(1)=f(0)+1,f
(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…本题中如果f(0)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点;
若f(0)≠0,则y=f(x)和y=x有零个交点.答案:
0或无数
5.设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=________,关于x的方程f(x)=x的解的个数为________个.
由题意得
,
∴f(x)=.
由数形结合得f(x)=x的解的个数有3个.
3
6.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),函数g(x)=-x2+bx+c,若f(2+)-f(+1)=,g(x)的图象过点A(4,-5)及B(-2,-5),则a=__________,函数f[g(x)]的定义域为__________.
2 (-1,3)
7.(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)=,则不等式f(x)>
f
(1)的解集是________.
由已知,函数先增后减再增,当x≥0,f(x)>
f
(1)=3时,令f(x)=3,
解得x=1,x=3.故f(x)>
f
(1)的解集为0≤x<
1或x>
3.
当x<
0,x+6=3时,x=-3,故f(x)>
f
(1)=3,解得-3<
0或x>
综上,f(x)>
f
(1)的解集为{x|-3<
3}.答案:
{x|-3<
3}
8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为________.
∵f(3)=f
(2)-f
(1),又f
(2)=f
(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2.答案:
-2
9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x与容器中的水量y之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x≥20),y与x之间函数的函数关系是________.
设进水速度为a1升/分钟,出水速度为a2升/分钟,则由题意得,得,则y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又因为水放完为止,所以时间为x≤,又知x≥20,故解析式为y=-3x+95(20≤x≤).答案:
y=-3x+95(20≤x≤)
10.函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.
(1)①若1-a2=0,即a=±
1,
(ⅰ)若a=1时,f(x)=,定义域为R,符合题意;
(ⅱ)当a=-1时,f(x)=,定义域为[-1,+∞),不合题意.
②若1-a2≠0,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数.
由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立,
∴∴
∴-≤a<
1.由①②可得-≤a≤1.
(2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1],显然1-a2≠0且-2,1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根.
∴∴∴a=2.
11.已知f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时、f(x)的解析式.
由f(x+2)=f(x),可推知f(x)是以2为周期的周期函数.当x∈[2k-1,2k+1]时,2k-1≤x≤2k+1,-1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1.
又f(x)=f(x-2)=f(x-4)=…=f(x-2k),
∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z.
12.在2008年11月4日珠海航展上,中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C型装置的工人有x位,他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x).(单位:
h,时间可不为整数)
(1)写出g(x),h(x)的解析式;
(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式;
(3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?
(1)g(x)=(0<
216,x∈N*),h(x)=(0<
216,x∈N*).
(2)f(x)=(3)分别为86、130或87、129.
第二节函数的单调性
1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<
x2时,都有f(x1)>
f(x2)”的是________.
①f(x)= ②f(x)=(x-1)2③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)
∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1<
f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:
①
2.函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数g(x)=f(logax)(0<
a<
1)的单调减区间是________.
∵0<
1,y=logax为减函数,∴logax∈[0,]时,g(x)为减函数.
由0≤logax≤≤x≤1.答案:
[,1](或(,1))
3.函数y=+的值域是________.
令x=4+sin2α,α∈[0,],y=sinα+cosα=2sin(α+),∴1≤y≤2.
[1,2]
4.已知函数f(x)=|ex+|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围__.
当a<
0,且ex+≥0时,只需满足e0+≥0即可,则-1≤a<
0;
当a=0时,f(x)=|ex|=ex符合题意;
0时,f(x)=ex+,则满足f′(x)=ex-≥0在x∈[0,1]上恒成立.只需满足a≤(e2x)min成立即可,故a≤1,综上-1≤a≤1.
-1≤a≤1
5.(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x,都有f(x)≥M(M为常数),称M为f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________.
①f(x)=sinx;
②f(x)=lgx;
③f(x)=ex;
④f(x)=
∵sinx≥-1,∴f(x)=sinx的下确界为-1,即f(x)=sinx是有下确界的函数;
∵f(x)=lgx的值域为(-∞,+∞),∴f(x)=lgx没有下确界;
∴f(x)=ex的值域为(0,+∞),∴f(x)=ex的下确界为0,即f(x)=ex是有下确界的函数;
∵f(x)=的下确界为-1.∴f(x)=是有下确界的函数.答案:
①③④
6.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1.
(1)若存在x∈R使f(x)<
b·
g(x),求实数b的取值范围;
(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数m的取值范围.
(1)x∈R,f(x)<
g(x)x∈R,x2-bx+b<
0Δ=(-b)2-4b>
0b<
0或b>
4.
(2)F(x)=x2-mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4,
①当Δ≤0即-≤m≤时,则必需
-≤m≤0.
②当Δ>
0即m<
-或m>
时,设方程F(x)=0的根为x1,x2(x1<
x2),若≥1,则x1≤0.
m≥2.
若≤0,则x2≤0,
-1≤m<
-.综上所述:
-1≤m≤0或m≥2.
1.(2010年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________.
①y=- ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|
由函数y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:
④
2.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
令g(x)=x2-ax+3a,由题知g(x)在[2,+∞)上是增函数,且g
(2)>
0.
∴∴-4<
a≤4.答案:
-4<
a≤4
3.若函数f(x)=x+(a>
0)在(,+∞)上是单调增函数,则实数a的取值范围__.
∵f(x)=x+(a>
0)在(,+∞)上为增函数,∴≤,0<
a≤.
(0,]
4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<
0,则下列结论正确的是________.
①f(3)<
f(-2)<
f
(1) ②f
(1)<
f(3)
③f(-2)<
f
(1)<
f(3) ④f(3)<
f(-2)
由已知<
0,得f(x)在x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得f
(2)=f(-2),即f(3)<
f
(1).答案:
5.(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<
0成立,则a的取值范围是________.
由题意知,f(x)为减函数,所以解得0<
6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,0),定义函数g(x)=f(x)·
(x-1),则函数g(x)的最大值为________.
g(x)=
当0≤x<
1时,最大值为0;
当1≤x≤3时,
在x=2取得最大值1.答案:
7.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为[-2,0],则函数y=f(cos)的值域是________.
∵cos∈[-1,1],函数y=f(x)的值域为[-2,0],∴y=f(cos)的值域为[-2,0].答案:
[-2,0]
8.已知f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________.
∵函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为
∴x∈[1,3],令log3x=t,t∈[0,1],
∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当t=1时,ymax=13.答案:
13
9.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>
0,a≠1)在区间(0,)内恒有f(x)>
0,则f(x)的单调递增区间为__________.
令μ=2x2+x,当x∈(0,)时,μ∈(0,1),而此时f(x)>
0恒成立,∴0<
1.
μ=2(x+)2-,则减区间为(-∞,-).而必然有2x2+x>
0,即x>
0或x<
-.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-).答案:
(-∞,-)
10.试讨论函数y=2(logx)2-2logx+1的单调性.
易知函数的定义域为(0,+∞).如果令u=g(x)=logx,y=f(u)=2u2-2u+1,那么原函数y=f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数,而u=logx在x∈(0,+∞)内是减函数,y=2u2-2u+1=2(u-)2+在u∈(-∞,)上是减函数,在u∈(,+∞)上是增函数.又u≤,即logx≤,得x≥;
u>
,得0<
.由此,从下表讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性:
函数
单调性
(0,)
(,+∞)
u=logx
f(u)=2u2-2u+1
y=2(logx)2-2logx+1
故函数y=2(logx)2-2logx+1在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.
11.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>
1时,f(x)<
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<
-2.
(1)令x1=x2>
0,代入得f
(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f
(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>
x2,则>
1,由于当x>
0,
所以f()<
0,即f(x1)-f(x2)<
0,因此f(x1)<
f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数,
由f(|x|)<
f(9),得|x|>
9,∴x>
9或x<
-9.因此不等式的解集为{x|x>
-9}.
12.已知:
f(x)=log3,x∈(0,+∞),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列三个条件:
(1)在(0,1]上是减函数,
(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b;
若不存在,说明理由.
∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x=1时,f(x)最小,log3=1.即a+b=2.
设0<x1<x2≤1,则f(x1)>f(x2).即>恒成立.
由此得>0恒成立.
又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0恒成立,∴b≥1.
设1≤x3<x4,则f(x3)<f(x4)恒成立.∴<0恒成立.
∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4>b恒成立.∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b=1,∴a=1.∴存在a、b,使f(x)同时满足三个条件.
第三节函数的性质
1.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(b+2)的大小关系为________.
由f(x)为偶函数,知b=0,∴f(x)=loga|x|,又f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以0<
1,1<
a+1<
2,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(a+1)>
f(b+2).答案:
f(a+1)>
f(b+2)
2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f
(1)+f(4)+f(7)等于________.
f(x)为奇函数,且x∈R,所以f(0)=0,由周期为2可知,f(4)=0,f(7)=f
(1),又由f(x+2)=f(x),令x=-1得f
(1)=f(-1)=-f
(1)⇒f
(1)=0,所以f
(1)+f(4)+f(7)=0.答案:
3.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为________.
因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f
(1),而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f
(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f
(1)>
f(0)=0,所以-f
(1)<
0,即f(-25)<
f(80)<
f(11).
f(-25)<
f(11)
4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f(2x-1)<
f()的x取值范围是________.
由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|),由f(|2x-1|)<
f(),再根据f(x)的单调性得|2x-1|<
,解得<
(,)
5.(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R,f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2011)的值为________.
因为定义在R上的函数f(x)是偶函数,所以f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),故函数f(x)是以4为周期的函数,所以f(2011)=f(3+502×
4)=f(3)=f(-3)=-2.答案:
6.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5.
(1)证明:
f
(1)+f(4)=0;
(2)求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;
(3)求y=f(x)在[4,9]上的解析式.
(1)证明:
∵f(x)是以5为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1),
又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f
(1)=-f(-1)=-f(4),∴f
(1)+f(4)=0.
(2)当x∈[1,4]时,由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a>
0),由f
(1)+f(4)=0,得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).
(3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=0,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),而f
(1)=2(1-2)2-5=-3,∴k=-3,∴当0≤x≤1时,f(x)=-3x,从而当-1≤x<
0时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1时,f(x)=-3x.∴当4≤x≤6时,有-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.当6<
x≤9时,1<
x-5≤4,∴f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.
1.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则下列结论正确的是________.
①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2)
④f(x+3)是奇函数
∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函数f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数.答案:
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f
(1)+f
(2)+…+f(2009)+f(2010)=________.
f(x)=-f(x+)⇒f(x+3)=f(x),即周期为3,由f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,所以f
(1)=-1,f
(2)=-1,f(3)=2,所以f
(1)+f
(2)+…+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009)+f(2010)=f
(1)+f
(2)+f(3)=0.答案:
3.(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f
(1)=1,若将f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2010)=________.
f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),将f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则满足f(-2+x)=-f(x),即f(x+2)=-f(x),所以周期为4,f
(1)=1,f
(2)=f(0)=0,f(3)=-f
(1)=-1,f(4)=0,所以f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=0,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2010)=f(4)×
502+f
(2)=0.答案:
4.(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f′(x)>
0,若f(-1)=0,那么关于x的不等式xf(x)<
0的解集是________.
在(0,+∞)上有f′(x)>
0,则在(0,+∞)上f(x)是增函数,在(-∞,0)上是减函数,又f(x)在R上是偶函数,且f(-1)=0,∴f
(1)=0.从而可知x∈(-∞,-1)时,f(x)>