解三角形中的边角互换导学提纲Word下载.docx
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小组:
评价:
学习目标:
1.在三角形中考查三角函数式变换,是近几年高考的热点,它是在新的载体上进行的三角变换,因此要时刻注意它重要性:
一是作为三角形问题,它必然要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,及时进行边角转化,有利于发现解决问题的思路;
其二,它毕竟是三角形变换,只是角的范围受到了限制,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的,注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,是使问题获得解决的突破口。
2.在解三角形时,要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的关系,利用正余弦定理可将将角换成边,边换成角。
重点:
利用正(余弦)定理实现角边互换。
难点:
正(余)弦定理的角边互换的灵活运用。
导学流程:
例1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,则A=()
(A)(B)(C)(D)
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A,根据正弦定理及得:
,。
【方法技巧】根据所给边角关系,选择使用正弦定理或余弦定理,将三角形的边转化为角。
例2在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。
【思路点拨】
(I)根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角
(II)由(I)知角C=60°
-B代入sinB+sinC中,看作关于角B的函数,进而求出最值
【规范解答】
(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
即由余弦定理得故,A=120°
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
故当B=30°
时,sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。
sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用,象本例中B+C=60°
例3.在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且求b
【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理的灵活运用。
【思路点拨】此题事实上比较简单,但学生不知从何入手.对已知条件
(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件
(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而做不出来.
【规范解答】法一:
在中则由正弦定理及余弦定理有:
(实现角边互换,从而找到解题突破口)
化简并整理得:
.又由已知.解得.
法二:
由余弦定理得:
.又,.
所以 ①
又,
,即
由正弦定理得,故 ②
由①,②解得.
评析:
从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.
当堂练习:
1.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若,,求b.
2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,若,则_________________。
3.在△ABC中,角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为()
A. B. C.或 D.或
3