解三角形中的边角互换导学提纲.docx

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建水实验中学课堂导学提纲（高三数学文）使用时间:

9月15日主编：

吕达才编号：

ZZDG-必修③-07

解三角形中的边角互换导学提纲

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评价:

学习目标：

1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：

一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。

重点：

利用正（余弦）定理实现角边互换。

难点：

正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。

导学流程：

例1．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（）

（A）（B）（C）（D）

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A，根据正弦定理及得：

，。

【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。

例2在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且

（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。

【思路点拨】（I）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值

【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

即由余弦定理得故，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。

【方法技巧】

（1）利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。

sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

（2）以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，象本例中B+C＝60°

例3.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用。

【思路点拨】此题事实上比较简单,但学生不知从何入手.对已知条件

（1）左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件

（2）过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而做不出来.

【规范解答】法一：

在中则由正弦定理及余弦定理有:

（实现角边互换,从而找到解题突破口）

化简并整理得：

.又由已知.解得.

法二：

由余弦定理得:

.又,.

所以 ①

又，

，即

由正弦定理得，故 ②

由①，②解得.

评析：

从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.

当堂练习：

1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求b．

2.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则_________________。

3.在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若（a2+c2-b2）tanB=,则角B的值为（）

A. B. C.或 D.或

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