高中数学直线与圆、圆与圆之间的关系的高考考点解析及例题辅导Word文档下载推荐.doc
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一般地，曲线为切点的切线方程是：
。
这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。
②过圆外一点的切线方程：
4直线和圆相交：
这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题
5经过两个圆交点的圆系方程：
经过，的交点的圆系方程是：
在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程
6经过直线与圆交点的圆系方程：
经过直线与圆的交点的圆系方程是：
7几何法:
比较圆心到直线的距离与圆半径的大小
8代数法:
讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数
题型讲解
例1已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径
分析：
由于OP⊥OQ，所以kOP·
kOQ=－1，问题可解
解：
由消去x得5y2－20y+12+m=0
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件
y1+y2=4，y1y2=
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0
而x1=3－2y1，x2=3－2y2，
∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2＝－15+
∴－15++＝0
∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－，3），半径r=
点评：
（1）在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑
（2）体会垂直条件是怎样转化的，以及韦达定理的作用：
处理y1,y2与x1,x2的对称式在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算
例2求经过两圆和的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程
根据已知，可通过解方程组得圆上两点，由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；
也可根据已知，设所求圆的方程为，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程
因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
所以设所求圆的方程为
展开、配方、整理，得+=+
圆心为，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圆的方程为
圆C1：
x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：
x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆
例3已知圆C：
，直线l：
（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）
（1）证明：
不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得
l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0
∵m∈R，∴得
即l恒过定点A（3，1）
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点
（2）解：
弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0
若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要圆心到直线的距离小于半径。
例4一直线经过点P被圆截得的弦长为8,求此弦所在直线方程
解:
（1）当斜率k不存在时,过点P的直线方程为,
代入,得
弦长为,符合题意
（2）当斜率k存在时,设所求方程为,
即
由已知,弦心距,
解得
所以此直线方程为,即
所以所求直线方程为或
点评:
关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解本题还要注意,斜率不存在时直线符合题意
例5自点A（-3,3）发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程
由已知可得圆C：
关于x轴对称的圆C‘的方程为，其圆心C‘（2，-2），则与圆C’相切，
设:
y-3=k（x+3）,
，
整理得12k2+25k+12=0,解得或，
所以所求直线方程为y-3=（x+3）或y-3=（x+3），
即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是求圆的切线方程的常用方法若本题由“”求切线方程也可,但过程要复杂些
例6如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值
（1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值,
由图形性质可知,
由原点向圆作切线,
其中切线斜率的最大值即为的最大值
设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,
由,解得或
（2）x,y满足,
另法：
应用线性规划的思路，如图，2x-y的最小值或最大值就在直线2x-y＝b与圆的切点处达到。
圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题,由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解题中应用也非常广泛
例7一个圆和已知圆外切,并与直线:
相切于点M（）,求该圆的方程
已知圆方程化为:
其圆心P（1,0）,半径为1
设所求圆的圆心为C（a,b）,
则半径为,
因为两圆外切,,
从而1+
（1）
又所求圆与直线：
相切于M（）,
直线,于是,
即
（2）
将
（2）代入
（1）化简,得a2-4a=0,a=0或a=4
当a=0时,,所求圆方程为
当a=4时,b=0,所求圆方程为
小结：
1有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定
2当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；
与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形
3有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用
4在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用
5使用圆的参数方程在解决有关最值问题时可以使运算变得简单
6解圆与直线的综合问题时,注意数形结合及利用圆的几何性质
练习
1x轴与圆的位置关系是（）
A相切B相离C相交且不过圆心D通过圆心
答案:
A
2圆与圆的位置关系是（）
A相离B外切C相交D内切
C
3由点M（5,3）向圆所引切线长是（）
ABC51D1
4圆与圆的位置关系是（）
A相离B外切C相交D内切
C
5在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为（）
ABCD
B
6若动圆与圆相外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是（）
Ay2+12x-12=0By2-12x+12=0Cy2+8x=0Dy2-8x=0
7直线x=2被圆所截弦长等于,则a的值为（）
A-1或-3B或C1或3D
8集合,,,
且仅有2个元素,则a的值为（）
A1B0C-1D0,1
B
9设m>
0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为
A相切B相交C相切或相离D相交或相切
圆心到直线的距离为d=，圆半径为
∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离
答案：
10圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于
ABC1D5
圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=
A
11圆x2+y2－4x=0在点P（1，）处的切线方程为
Ax+y－2=0Bx+y－4=0Cx－y+4=0Dx－y+2=0
解法一：
x2+y2－4x=0，y=kx－k+x2－4x+（kx－k+）2=0
该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=
∴y－=（x－1），即x－y+2=0
解法二：
∵点（1，）在圆x2+y2－4x=0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直
又∵圆心为（2，0），∴·
k=－1
解得k=，∴切线方程为x－y+2=0
D
12若过两点A（-1,0）,B（0,2）的直线与圆相切,则a=_____
13如果直线将圆平分,且不通过第四象限,那么的斜率取值范围是__________
14方程的曲线形状是__________
圆或二射线
15过圆x2+y2=r2上一点P（3,1）的切线方程为__________
3x+y=r2
16两圆x2+y2=16及（x-4）2+（y+3）2=R（R>
0）在交点处的切线互相垂直,则R=__________
3
17．由点P（6,8）作圆x2+y2=9的切线，则切线长等于（）,两切点所在的直线方程是（6x+8y─9=0）说明求切线的方法
18．经过圆（x─a）2+（y─b）2=r2上一点（x0,y0）的圆的切线方程是
（（x0─a）（x─a）+（y0─b）（y─b）=r2）说明：
当圆的方程为x2+y2=r2（即a=b=0）时，过圆上一点P（x0,y0）的圆的切线方程为x0x+y0y=r2,应记住这个公式
19．P（3,0）为圆C:
x2+y2─8x─2y+12=0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是（x+y─3=0）
用勾股定理推导出所求直线垂直于CP（提问是哪条直线即可，然后立即给出答案）
20．已知圆的方程是（x─1）2+y2=1,过原点O作圆的弦，则弦的中点M的轨迹方程是（（x─1/2）2+y2=1/4（x¹
0））
提示：
设已知圆的圆心是P，则M的轨迹是以OP为直径的圆去掉O
21．若圆（x─3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x─3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是（4<
r<
6）
圆心P（3,─5）到直线4x─3y=2的距离等于5,由|5─r|<
1得4<
6
22．圆x2+y2+2x+4y─3=0上到直线4x─3y=2的距离为的点公有 ___个
（3）提示：
圆的半径为2,计算圆心（─1,─2）到直线x+y+1=0的距离为d=,即可作出判断
23曲线与直线y=k（x-2）+4有两个交点,则实数k的取值范围是_____________
24圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________
解析：
∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上又已知圆心在直线2x－y－7=0上，∴联立y=－3，2x－y－7=0解得x=2，
∴圆心为（2，－3），半径r=|AC|==
∴所求圆C的方程为（x－2）2+（y+3）2=5
（x－2）2+（y+3）2=5
25若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___
－1＜k≤1或k=－
26一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程
由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为（a,a-1）,半径为r,由题意可得
经计算得a=2,r=5
所以所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=25
27已知圆C:
x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?
若存在,写出直线的方程;
若不存在,说明理由
设直线L的斜率为１，且L的方程为y=x+b,则
消元得方程２x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1＋x2＝－（b+1）,y1+y2=x1＋x2+2b=b-1,则ＡＢ中点为，又弦长为＝，由题意可列式＝解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1
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