空间向量运算的坐标表示练习题Word格式.doc

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【解析】　∵AB的中点M，∴＝，故|CM|＝||＝＝.

【答案】　C

3．（2014·

德州高二检测）已知向量a＝（2,3），b＝（k,1），若a＋2b与a－b平行，则k的值是（　　）

A．－6B．－C.D．14

【解析】　由题意得a＋2b＝（2＋2k,5），且a－b＝（2－k,2），又因为a＋2b和a－b平行，则2（2＋2k）－5（2－k）＝0，解得k＝.

4.（2014·

河南省开封高中月考）如图3­

1­

32，在长方体ABCD­

A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（　　）

图3­

32

A．1B.C.D.

【解析】　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（1,1，），F，所以|EF|＝＝，故选C.

二、填空题

5．（2014·

青岛高二检测）已知点A（1,2,3），B（2,1,2），P（1,1,2），O（0,0,0），点Q在直线OP上运动，当·

取得最小值时，点Q的坐标为________．

【解析】　设＝λ＝（λ，λ，2λ），故Q（λ，λ，2λ），故＝（1－λ，2－λ，3－2λ），＝（2－λ，1－λ，2－2λ）．则·

＝6λ2－16λ＋10＝62－，当·

取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.

【答案】　

6．若＝（－4,6，－1），＝（4,3，－2），|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.

【解析】　设a＝（x，y，z），由题意有代入坐标可解得：

或

【答案】　或

7．若A（m＋1，n－1,3），B（2m，n，m－2n），C（m＋3，n－3,9）三点共线，则m＋n＝________.

【解析】　因为＝（m－1,1，m－2n－3），＝（2，－2,6），由题意得∥，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.

【答案】　0

三、解答题

8．已知向量a＝（1，－3,2），b＝（－2,1,1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2,2）．

（1）求|2a＋b|；

（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？

（O为原点）

【解】　　

（1）2a＋b＝（2，－6,4）＋（－2,1,1）＝（0，－5,5），

故|2a＋b|＝＝5.

（2）＝＋＝＋t＝（－3，－1,4）＋t（1，－1，－2）＝（－3＋t，－1－t,4－2t），

若⊥b，则·

b＝0，

所以－2（－3＋t）＋（－1－t）＋（4－2t）＝0，解得t＝，

因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为.

9．在正方体ABCD­

A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心．

求证：

⊥.

【证明】　建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A（1,0,0），A1（1,0,1），M，O.

∴＝，＝.

∵·

＝×

（－1）＋×

0＋1×

＝0，

∴⊥.

1．已知向量a＝（－2，x,2），b＝（2,1,2），c＝（4，－2,1），若a⊥（b－c），则x的值为（　　）

A．－2B．2C．3D．－3

【解析】　∵b－c＝（－2,3,1），a·

（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.

2．已知a＝（cosα，1，sinα），b＝（sinα，1，cosα），则向量a＋b与a－b的夹角是（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

【解析】　a＋b＝（cosα＋sinα，2，sinα＋cosα），a－b＝（cosα－sinα，0，sinα－cosα），∴（a＋b）·

（a－b）＝0，

∴（a＋b）⊥（a－b）．

玉溪高二检测）设动点P在棱长为1的正方体ABCD­

A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是________．

【解析】　由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A（1,0,0），B（1,1,0），C（0,1,0），D1（0,0,1），则＝（1,1，－1），得

＝λ＝（λ，λ，－λ），所以

＝＋＝（－λ，－λ，λ）＋（1,0，－1）＝（1－λ，－λ，λ－1），

＝＋＝（－λ，－λ，λ）＋（0,1，－1）＝（－λ，1－λ，λ－1）．

显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于·

＜0，即－λ（1－λ）－λ（1－λ）＋（λ－1）2＜0，即（λ－1）（3λ－1）＜0，解得＜λ＜1，因此λ的取值范围是.

4.在正三棱柱ABC­

A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°

？

33

【解】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A（0,0,0），C（0,2,0），B（，1,0），B1（，1,2），M.

又点N在CC1上，可设N（0,2，m）（0≤m≤2），

则＝（，1,2），＝，

所以||＝2，||＝，·

＝2m－1.

如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°

，那么向量和的夹角等于45°

或135°

.

又cos〈，〉＝＝.

所以＝±

，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．

所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°