空间中的垂直关系(带答案)Word下载.doc

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【变式1】已知：

正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．

（Ⅰ）求证：

B1D1⊥AE；

（Ⅱ）求证：

AC∥平面B1DE．

【解答】

（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．

∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．

又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）

（Ⅱ）证明：

取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是C1C、B1B的中点，

∴CE∥B1F且CE=B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．∵正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴EF∥BC且EF=BC

又∵BC∥AD且BC=AD，∴EF∥AD且EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，

∴平面ACF∥平面B1DE．又∵AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．

【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°

，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：

FD=2：

1．

（Ⅰ）证明：

EA⊥PB；

（Ⅱ）证明：

BG∥面AFC．

（Ⅰ）证明：

因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°

，所以△ACD为等边三角形，

又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．

而AB∩PA=A

所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．

（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．

连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，

所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．

而BM∩MG=M

所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．

【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．

（1）证明：

AA1⊥BD

（2）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．

∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，

∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．

（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．

（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，

在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，

∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=

∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．

【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，

点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．

（1）求证：

AE⊥平面BCC1B1

（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；

（3）证明：

B1E⊥AF．

（1）∵AB=AC，E是BC的中点，

∴AE⊥BC．

在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥AA1，

∴BB1⊥平面ABC，

∵AE⊂平面ABC，

∴BB1⊥AE，…．（2分）

又∵BB1∩BC=B，…．（3分）

BB1，BC⊂平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）

（2）由

（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…

在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×

=11．…（6分）

∴=•AE==…（7分）

连结B1F，由

（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵B1F2=B1E2+EF2，∴B1E⊥EF…．（9分）

又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴B1E⊥平面AEF，…．（11分）

∵AF⊂平面AEF，∴B1E⊥AF．…．（12分）

【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB

PC⊥BC；

（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；

（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？

若存在，求AM的长；

否

则，说明理由．

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．

又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．

（2）∵BC⊥平面PCD，

∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．

∵E是PC的中点，

∴S△EDC=S△PDC==×

（×

2×

2）=1．VC﹣DEG=VG﹣DEC=GC•S△DEC=×

×

1=．

（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．

证明：

∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，

∴PA∥平面MEG．

在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．

∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：

A1B⊥AC1

（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E

点的位置；

若不存在，请说明理由．

连接AB1

∵BB1⊥平面A1B1C1

∴B1C1⊥BB1

∵B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1

∴B1C1⊥平面A1B1BA

∴A1B⊥B1C1.又∵A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1

∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1

（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…

∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴A1E⊥BD.又BD∩A1D=D，∴A1E⊥平面A1BD

【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．

AC⊥BC1；

（2）求证：

AC1∥平面CDB1．

【解答】证明：

（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．

又因为AC=3，BC=4，AB=5，

所以AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC．

又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．

（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。

又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．

【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．

CD⊥B1C1；

（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，

由D为AA1的中点，则DC=DC1，

又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，

则CD⊥DC1，

而CD⊥B1D，B1D∩DC1=D，

则CD⊥平面B1C1D，

由于B1C1⊂平面B1C1D，

故CD⊥B1C1；

（2）解：

由

（1）知，CD⊥B1C1，

且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，

V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=VB1﹣CDA1C1=SCDA1C1•B1C1=×

•B1C13=B1C13，

V=VABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，

故这两部分体积的比为1：

【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．

D1E⊥A1C1；

（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；

（3）求几何体ABED1D的体积．

连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为正方形，

所以A1C1⊥B1D1．

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，

又A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1．

因为DD1∩B1D1=D1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D．

又D1E⊂平面BB1D1D，所以D1E⊥A1C1．…（4分）

（Ⅱ）解：

连结BC1，过E作EF∥BC1交B1C1于点F．

因为AD1∥BC1，所以AD1∥EF．

所以A、E、F、D1四点共面．即点F为满足条件的点．又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以．…（8分）

（Ⅲ）解：

四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D．

因为==，点A到平面BED1D的距离h=，

所以几何体ABED1D的体积为：

=．…（13分）

题型二面面垂直的判定

例2.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，

D、E分别是BC、CA的中点.

平面PBE⊥平面PAC；

（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？

并说明理由.

【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

平面AEC⊥平面BED.

（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，

∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；

【变式2】如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH．

【解答】在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．

∴，∴四边形CFDG是平行四边形，

∴DM=MC．又BH=HC，

∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，

∴BD∥平面FGH；

证法二：

在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．

∴，∴四边形BHFE为平行四边形．∴BE∥HF．

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．

（II）证明：

连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，

又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．

∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，

∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH．

【变式3】如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．

求证：

平面BCD⊥平面ABC．

【解答】因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AB⊥CD．

又CD⊥BC，AB∩BC=B，

所以CD⊥平面ABC．

又CD⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面ABC．

【变式4】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

平面EFG⊥平面PAD；

（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．

（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD…（3分）

又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，

∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD

∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；

…（6分）

（2）∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，

∴CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，

∴VM﹣EFG=VD﹣EFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，

∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH于是S△EFH=EF×

EH=2=S△EFG，

∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形

∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）

因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG=×

S△EFG×

=．…（12分）

【变式5】如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=．

AF∥平面BCE；

平面BCE⊥平面CDE；

（3）求此多面体的体积．

（1）取CE中点P，连接FP、BP，∵PF∥DE，且FP=1又AB∥DE，且AB=1，

∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（4分）

∵AD=AC，F是CD的中点，．所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE

又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.

（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，

等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）

【变式6】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°

，AB⊥B1C．

（I）求证：

平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．

由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．

（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．

连接AB1，则=•CO=×

AB2•CO=．

∵====，∴V三棱柱=2．

【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°

，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．

平面PBC⊥平面PDE；

（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？

若有，请找出具体位置，并进行证明；

若无，请分析说明理由．

连结BD，∠BAD=90°

，；

∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；

又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；

∴BC⊥PD，DE∩PD=D；

∴BC⊥平面PDE；

∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE；

（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：

△AOB∽△COD；

∵DC=2AB；

∴；

∴在PC上取F，使；

连接OF，则OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF；

∴PA∥平面BDF．

题型三：

面面垂直性质应用

例3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°

且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点.

BG⊥平面PAD；

AD⊥PB.

【变式1】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD。

∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD.∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD。

（2）∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴VM﹣EFG=VD﹣EFG，

取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，

∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH

于是S△EFH=EF×

EH=2=S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形，∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，

=．

【变式2】已知点P是菱形ABCD外一点，∠DAB＝60°

，其边长为a，侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．

AD⊥PB；

（2）若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF⊥平面ABCD.并证明你的结论．

[解析]　

（1）证明：

连接BG、PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°

.∴BG⊥AD.

又△PAD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.

∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.

（2）当F是PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.

证明如下：

取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE.

∴平面DEF∥平面PGB.∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD.∴PG⊥平面ABCD.

又PG⊂平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.

题型四求点面的距离

例4.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1=5，AB=12，求直线B1C1到平面A1BCD1的距离.

【变式】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，E，F分别是PB，PC的中点．

AE⊥PC；

（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离．

∵AP=AB，E是PB的中点，∴AE⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC且PA∩AB=A∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，∵PB∩BC=B，

∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC．…（6分）

设点A到平面PBD的距离为d，利用体积法，，∴点A到平面PBD的距离为．

课后作业

1.对于任意的直线l与平面，在平面必有直线m与l（）

A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线

2.若平面⊥平面，，点，则下列命题中的真命题有（）

①过P垂直于l的平面垂直于；

②过P垂直于l的直线在内；

③过P垂直于的直线平行于；

④过P垂直于的直线在内.

A.①②④B.③④C.①②③D.②③④

3.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD，那么有（）

A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADB

C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面BDC

4.若m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若m⊂β,α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n，m∥n,则α∥β

C.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

6.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，

侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有对.

7.三个平面两两互相垂直，它们的交线交于一点O，P到三个平面的距离