全国卷文科2009-2015历年空间几何分类解析试题Word格式.docx
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(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,
所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°
,
故△AA1B为等边三角形,
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解:
由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,
所以OC=OA1=.
又A1C=,则A1C2=OC2+,
故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×
OA1=3.
C
B
A
D
C1
A1
2012.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°
,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点
(I)证明:
平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。
2011.如图,四棱锥中,∥,,侧面为等边三角形..
(I)证明:
(II)求AB与平面SBC所成角的大小。
【分析】第(I)问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件,找出AB的中点E,连结SE,DE,就做出了解决这个问题的关键辅助线。
(II)本题直接找线面角不易找出,要找到与AB平行的其它线进行转移求解。
【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算,注重与平面几何的综合.
解法一:
(Ⅰ)取中点,连结,则四边形为矩形,,连结,则,.
又,故,
所以为直角.………………3分
由,,,得平面,所以.
与两条相交直线、都垂直.
所以平面.………………6分
另解:
由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面.………………6分
(Ⅱ)由平面知,平面平面.
作,垂足为,则平面ABCD,.
作,垂足为,则.
连结.则.
又,故平面,平面平面.……9分
作,为垂足,则平面.
即到平面的距离为.
由于,所以平面,到平面的距离也为.
设与平面所成的角为,则,.……12分
2010(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥的底面为等腰梯形,∥,,垂足为,是四棱锥的高。
(Ⅰ)证明:
平面平面;
(Ⅱ)若,60°
求四棱锥的体积。
(18)解:
(Ⅰ)因为是四棱锥的高,
所以都在平面内,且
所以[来源:
Zxxk.Com]
故平面
(Ⅱ)因为为等腰梯形,.
所以.
因为
所以,.
可得.
等腰梯形的面积为S=……..9分
所以四棱锥的体积为……..12分
2009(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点在侧棱上,
是侧棱的中点;
(Ⅱ)求二面角的大小。