江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题文档格式.doc
《江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题文档格式.doc（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
10．若f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且f（x）＝则f（a+1）的值为．
11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：
x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为．
12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若·
＝5，·
＝－，则·
的值为．
13．若正数a，b，c成等差数列，则的最小值为．
14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f（x）＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，锐角,的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为,．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求的值；
Q
P
（2）求的值.
O
x
（第15题图）
16.（本小题满分14分）
（第16题图）
A
C
B
M
D
E
如图，在三棱锥中，，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点．
（1）求证:
平面平面；
（2）若平面，求的长．
17．（本小题满分14分）
A
B
C
D
F
E
（第17题图）
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为．若在半圆弧，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（≤θ＜）．
（1）试用θ表示BD的长；
（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为.已知过点M（，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
y
（第18题图）
（2）试问x轴上是否存在定点N，使得·
为定值．若存在，求出点N的坐标；
若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'
（x）为f（x）的导函数．
（1）若f（x）的极大值为0，求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）＋6x，求g（x）在[0，1]上取到最大值时x的值；
（3）若关于x的不等式f（x）≥f'
（x）在[，]上有解，求满足条件的正整数a的集合．
20．（本小题满分16分）
若数列{an}满足：
对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．
（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：
数列{an}为“T数列”；
（2）若公差为d的等差数列{an}为“T数列”，求d的取值范围；
（3）若数列{an}为“T数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜a－a＜an＋1，求数列{an}的通项公式．
数学附加题2018.05
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
N
（第21A题图）
在△ABC中，AC＝AB，M为边AB上一点，△AMC的外接圆交BC边于点N，BN＝2AM，
求证：
CM是∠ACB的平分线．
B．选修4—2：
矩阵与变换
已知矩阵A＝，B＝，若直线l:
x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，），圆心C为直线rsin（θ－）＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
D．选修4—5：
不等式选讲
已知a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（1，a）（a＞0）是抛物线C上一点，且AF＝2．
（1）求p的值；
（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．
·
F
（第22题图）
23．（本小题满分10分）
已知fn（x）＝Ax（x＋1）…（x＋i－1），gn（x）＝A＋x（x＋1）…（x＋n－1），其中x∈R，n∈N*且n≥2．
（1）若fn
（1）＝7gn
（1），求n的值；
（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn（x）＋gn（x）＝0所有解的集合．
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
1．{－3，－2，2}2．3．1504．75．6．[，2]7．①③
8．9．410．211．x＋2y－4＝012．－313．14．[e，4e]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
解：
（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，
所以cosα＝，………………………………2分
所以cos2α＝2cos2α－1＝．………………………………4分
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．………………………………6分
又因为β为锐角，所以cosβ＝．………………………………8分
因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，
因此sin2α＝2sinαcosα＝，……………………………10分
所以sin（2α－β）＝×
－×
＝．……………………………12分
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．…………………………………14分
16．（本小题满分14分）
（图1）
（1）证明：
如图1，连结PE．
因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，
所以PE⊥BC，……………………2分
且PE＝，同理AE＝．
因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分
因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BCÌ
平面ABC，
所以PE⊥平面ABC．
因为PEÌ
平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分
（2）解法一
如图1，连接CD交AE于O，连接OM．
因为PD∥平面AEM，PDÌ
平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，
所以PD∥OM，……………………………………9分
所以＝．……………………………………11分
因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，
所以O为DABC重心，所以＝，
所以PM＝PC＝．…………………………………14分
（图2）
解法二
如图2，取BE的中点N，连接PN．
因为D，N分别为AB，BE的中点，
所以DN∥AE．
又DNË
平面AEM，AEÌ
平面AEM，
所以DN∥平面AEM．
又因为PD∥平面AEM，DNÌ
平面PDN，PDÌ
平面PDN，DN∩PD＝D，
所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分
又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，
所以ME∥PN，所以＝．………………………………11分
因为E，N分别为BC，BE的中点，
所以＝，所以PM＝PC＝．………………………………14分
（1）连结DC．
在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，
所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝2．………………………………2分
因为BC为直径，所以∠BDC＝，
所以BD＝BCcosθ＝2cosθ．………………………………4分
（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝2cosθ，
所以＝＝，
所以DF＝4cosθsin（＋θ），………………………………6分
且BF＝4cosθ，所以DE＝AF=4－4cosθ，………………………………8分
所以DE＋DF＝4－4cosθ＋4cosθsin（＋θ）=sin2θ－cos2θ＋3
＝2sin（2θ－）＋3．…………………………………12分
因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，
所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．……………13分
答：
当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．…………………………………14分
解
（1）离心率e＝＝，所以c＝a，b＝＝a，…………………………………2分
所以椭圆C的方程为＋＝1．
因为椭圆C经过点P（，），所以＋＝1，
所以b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．…………………………………4分
设N（n，0），
当l斜率不存在时，A（，y），B（，－y），则y2＝1－＝，
则×
＝（－n）2－y2＝（－n）2－＝n2－n－，…………………………………6分
当l经过左､右顶点时，×
＝（－2－n）（2－n）＝n2－4．
令n2－n－＝n2－4，得n＝4．……………………………………8分
下面证明当N为（4，0）时，对斜率为k的直线l：
y＝k（x－），恒有×
＝12．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得（4k2＋1）x2－k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，…………………………………10分
所以×
＝（x1－4）（x2－4）＋y1y2
＝（x1－4）（x2－4）＋k2（x1－）（x2－）
＝（k2＋1）x1x2－（4＋k2）（x1＋x2）＋16＋k2…………………………………12分
＝（k2＋1）－（4＋k2）＋16＋k2
＝＋16
＝＋16＝12．
所以在x轴上存在定点N（4，0），使得×
为定值．…………………………………16分
解法二
设N（n，0），当直线l斜率存在时，设l：
y＝k（x－），
所以x1＋x2＝，x1x2＝，…………………………………6分
＝（x1－n）（x2－n）＋y1y2＝（x1－n）（x2－n）＋k2（x1－）（x2－）
＝（k2＋1）x1x2－（n＋k2）（x1＋x2）＋n2＋k2
＝（k2＋1）－（n＋k2）＋n2＋k2……………………………………8分
＝＋n2
＝＋n2．……………………………………12分
若×
为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数，
则（－n－）k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，
所以所以n＝4，λ＝－4，
此时×
＝12．……………………………………14分
当直线l斜率不存在时，A（，y），B（，－y），则y2＝1－＝，
＝（－4）2－y2＝（－4）2－＝12，
为定值．………………………………16分
（1）因为f（x）＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），
所以f'
（x）＝6x2－6ax＝6x（x－a）．
令f'
（x）＝0，得x＝0或a．………………………………2分
当x∈（－∞，0）时，f'
（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，a）时，f'
（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，＋∞）时，f'
（x）＞0，f（x）单调递增．
故f（x）极大值＝f（0）＝3a－2＝0，解得a＝．………………………………4分
（2）g（x）＝f（x）＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），
则g′（x）＝6x2－6ax＋6＝6（x2－ax＋1），x∈[0，1]．
①当0＜a≤2时，△＝36（a2－4）≤0，
所以g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，1]上单调递增，
则g（x）取得最大值时x的值为1．……………………………6分
②当a＞2时，g′（x）的对称轴x＝＞1，且△＝36（a2－4）＞0，g′
（1）＝6（2－a）＜0，g′（0）＝6＞0，
所以g′（x）在（0，1）上存在唯一零点x0＝．
当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
则g（x）取得最大值时x的值为x0＝．………………………………8分
综上，当0＜a≤2时，g（x）取得最大值时x的值为1；
当a＞2时，g（x）取得最大值时x的值为．……………………………9分
（3）设h（x）＝f（x）－f′（x）＝2x3－3（a＋2）x2＋6ax＋3a－2，
则h（x）≥0在[，]有解．………………………………10分
h′（x）＝6[x2－（a＋2）x＋a]＝6[（x－）2－]，
因为h′（x）在（，）上单调递减，所以h′（x）＜h′（）＝－a2＜0，
所以h（x）在（，）上单调递减，
所以h（）≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分
设t（a）＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′（a）＝3a2－6a－6，
当a∈（0，1＋）时，t′（a）＜0，t（a）单调递减；
当a∈（1＋，＋∞）时，t′（a）＞0，t（a）单调递增．
因为t（0）＝4＞0，t
（1）＝－4＜0，所以t（a）存在一个零点m∈（0，1），…………………14分
因为t（4）＝－4＜0，t（5）＝24＞0，所以t（a）存在一个零点n∈（4，5），
所以t（a）≤0的解集为[m，n]，
故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分
（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2（n－1）2＝4n－2，
又a1＝S1＝2＝4×
1－2，所以an＝4n－2．…………………………………2分
所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4（n＋1）－2为数列{an}的第n＋1项，
因此数列{an}为“T数列”．…………………………………4分
（2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，
所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋（n－1）d＋|d|．
因为数列{an}为“T数列”，
所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋（n－1）d＋|d|＝am，即有（m－n）d＝|d|．…………6分
①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得（m－n）d＝|d|，
②若d＜0，则m＝n－1．
此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．
综上，d≥0．……………………………………8分
（3）因为an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．
又因为an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－（an＋1－an）＜an＋2，且数列{an}为“T数列”，
所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．…………………………………10分
设数列{an}的公差为t（t＞0），则有an＝1＋（n－1）t，
由an＜a－a＜an＋1，得1＋（n－1）t＜t[2＋（2n－1）t]＜1＋nt，………………………………12分
整理得n（2t2－t）＞t2－3t＋1，①
n（t－2t2）＞2t－t2－1．②
若2t2－t＜0，取正整数N0＞，
则当n＞N0时，n（2t2－t）＜（2t2－t）N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，
因此2t2－t≥0．
同样根据②式可得t－2t2≥0，
所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．
经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋（n－1）＝．………………………………16分
数学附加题参考答案及评分标准2018.05
4．只给整数
升级会员 