苏教版高中数学(必修1)1.2《子集、全集、补集》word教案Word格式.doc

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（5）所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.

（6）集合A中元素A、B都是集合B中的元素.

［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.

幻灯片（B）：

1.子集

定义：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.

［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.

［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.

如：

A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.

［师］依规定，空集是任何集合子集.

请填空：

_____A（A为任何集合）.

［生］A

［师］由A＝{正三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？

［生］由题可知应有AB，BC.

这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故AC.

［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”.

（1）任何一个集合是它本身的子集

［师］如A＝{9，11，13}，B＝{20，30，40}，那么有AA，BB.

师进一步指出：

如果AB，并且A≠B，则集合A是集合B的真子集.

这应理解为：

若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.

A是B的真子集，记作AB（或BA）真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.

那么_______是任何非空集合的真子集.

［生］应填

2.例题解析

［例1］写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

分析：

寻求子集、真子集主要依据是定义.

解：

依定义：

{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.

注：

如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.

［例2］解不等式x－3＞2，并把结果用集合表示.

由不等式x－3＞2知x＞5

所以原不等式解集是{x｜x＞5}

［例3］

（1）说出0，｛0｝和的区别；

（2）｛｝的含义

Ⅲ.课堂练习

1．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当AB时，求实数m的取值范围.

该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.

将A及B两集合在数轴上表示出来

要使AB，则B中的元素必须都是A中元素

即B中元素必须都位于阴影部分内

那么由x＜－2或x＞3及x＜－知－＜－2即m＞8

故实数m取值范围是m＞8

2．填空：

｛a｝｛a｝，a｛a｝，｛a｝，｛a，b｝｛a｝，0，｛0｝，1｛1,｛2｝｝，｛2｝｛1,｛2｝｝，｛｝

Ⅳ.课时小结

1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.

2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P10习题1.21，2

补充：

1.判断正误

（1）空集没有子集（）

（2）空集是任何一个集合的真子集（）

（3）任一集合必有两个或两个以上子集（）

（4）若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B（）

关于判断题应确实把握好概念的实质.

该题的5个命题，只有（4）是正确的，其余全错.

对于

（1）、

（2）来讲，由规定：

空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.

对于（3）来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.

对于（4）来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.

2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.

区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.

则该题先找该集合元素，后找真子集.

因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2

即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}

真子集：

、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个

3.

（1）下列命题正确的是（）

A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集

C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集

（2）以下五个式子中，错误的个数为（）

①{1}∈{0，1，2}②{1，－3}＝{－3，1}③{0，1，2}{1，0，2}

④∈{0，1，2}⑤∈{0}

A.5 B.2 C.3 D.4

（3）M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（）

A.aM B.aMC.{a}∈M D.{a}M

（1）该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A.由于只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.

（2）该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.

①应是{1}{0，1，2}，④应是{0，1，2}，⑤应是{0}

故错误的有①④⑤，选C.

（3）M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π

因3＜a＜4，故a是M的一个元素.

{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M.选D.

4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：

（1）A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}

（2）A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}

（1）因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.

（2）因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，

又x＝4n＝2·

2n

在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；

而在x＝4n中，2n只能是偶数.

故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.

评述：

此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.

5.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值.

因P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}

当a＝0时，Q={x｜ax＋1＝0}＝，QP成立.

又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0}＝{－}，

要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.

综上所述，a＝0或a＝－或a＝

这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.

本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况.

而当Q＝时，满足QP.

6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0}，要使APB，求满足条件的集合P.

由题A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}＝

B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}＝{－1，1，－4}

由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：

{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}

要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素.

而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.

7.已知AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？

因AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，由此，满足AB，有，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个.

又满足AC的集合A有

，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×

2＝16个.

其中同时满足AB，AC的有8个

，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.

有如下思路：

题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.

显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8（个）

8.设A＝{0，1}，B＝{x｜xA}，则A与B应具有何种关系？

因A＝{0，1}，B＝{x｜xA}

故x为，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素.故A∈B.

评注：

注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.

9.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，

（1）若BA，求实数m的取值范围.

（2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数.

（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.

（1）当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA.

当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B≤A成立，

需，可得2≤m≤3

综上m≤3时有BA

（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}

所以，A的非空真子集个数为：

28－2＝254

（3）∵x∈R，且A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.

则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件.

②若B＝，则要满足条件有：

或解之m＞4

综上有m＜2或m＞4

此问题解决：

（1）不应忽略；

（2）找A中的元素；

（3）分类讨论思想的运用.

（二）1.预习内容：

课本P9

2.预习提纲：

（1）求一个集合补集应具备的条件.

（2）能正确表示一个集合的补集.

（1）空集没有子集（）

（2）空集是任何一个集合的真子集（）

（3）任一集合必有两个或两个以上子集（）

（4）若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B（）

3.

（1）下列命题正确的是（）

（2）以下五个式子中，错误的个数为（）

（3）M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（）

6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0），要使APB，求满足条件的集合P.

（1）若BA，求实数m的取值范围.

（2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数.

子集、全集、补集

（二）

使学生了解全集的意义，理解补集的概念；

通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；

渗透相对的观点.

补集的概念.

补集的有关运算.

1.集合的子集、真子集如何寻求?

其个数分别是多少?

2.两个集合相等应满足的条件是什么?

［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是

部分与整体的关系.

请同学们由下面的例子回答问题：

看下面例子

A＝{班上所有参加足球队同学}

B＝{班上没有参加足球队同学}

S＝{全班同学}

那么S、A、B三集合关系如何?

［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.

即为如图阴影部分

由此借助上图总结规律如下：

1.补集

一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集（或余集）.

记作CSA，即CSA＝{x｜x∈3且xa}

上图中阴影部分即表示A在S中补集CSA

2.全集

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.

［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合.

举例如下：

请同学们思考其结果.

幻灯片（C）：

举例，请填充

（1）若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则CSA＝____________.

（2）若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则CSB＝___________.

（3）若S＝{1，2，4，8}，A＝，则CSA＝_______.

（4）若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，CUA＝{5}，则a＝_______

（5）已知A＝{0，2，4}，CUA＝{－1，1}，CUB＝{－1，0，2}，求B＝_______

（6）设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，CUA＝{5}，求m.

（7）设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求CUA、m.

师生共同完成上述题目，解题的依据是定义

例

（1）解：

CSA＝{2}

主要是比较A及S的区别.

例

（2）解：

CSB＝{直角三角形或钝角三角形}

注意三角形分类.

例（3）解：

CSA＝3

空集的定义运用.

例（4）解：

a2＋2a＋1＝5，a＝－1±

利用集合元素的特征.

例（5）解：

利用文恩图由A及CUA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.

例（6）解：

由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之m＝－4或m＝2

例（7）解：

将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6

当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}

又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}

故满足题条件：

CUA＝{1，4}，m＝4；

CUB＝{2，3}，m＝6.

此题解决过程中渗透分类讨论思想.

课本P10练习1，2，3，4

1.能熟练求解一个给定集合的补集.

2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.

（一）课本P10习题1.23，4

3.解：

因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A＝{x｜x是平行四边形}，那么CSA＝{x｜x是梯形}.

1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”：

（1）若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3}（）

（2）若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形}（）

（3）若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形}（）

（4）若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A（）

（5）若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝（）

（6）若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}（）

（7）若U是全集且AB，则CUACUB（）

紧扣定义，利用性质求解相关题目.

（2）（5）（6）正确，其余错误.

在

（1）中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{3}.

（2）若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得CSA＝{锐角或钝角三角形}.

（3）由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，也不是平行四边形.

（4）因U＝{1，2，3}，A＝，故CUA＝U.

（5）U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝.

（6）U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}.

（7）若U是全集且A＝B，则CUACUB.

上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪（CUA）＝U.

2.填空题

（1）A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.

（2）A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.

（3）已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.

（4）U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________

由全集、补集意义解答如下：

（1）由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知CUA＝{x｜x＜3＝（可利用数形结合）.对于

（2），由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知CUA＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于（3），全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于（4），全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.

3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.

因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么CUA＝{0，2，4，6，8，10}，CUB＝{0，1，4，6，8，9，10}.

4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.

因A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，

故U＝A∪（CUA）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}

而CUB＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.

5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.

由补集的定义及已知有：

a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9（舍）

所以符合题条件的a＝4

此题和第4题都用CUA＝{x｜x∈5，且xA}，有U中元素或者属于A，或者属于CUA.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.

6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.

本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.

由题所给定义：

N－M＝{x｜x∈N，且xM}＝{8}

从所给定义看：

类似补集但又区别于补集，A－B与CAB中元素的特征相同，后者