双曲线经典例题讲解Word文档下载推荐.doc

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4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：

⑴正确判断焦点的位置；

⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.

二．双曲线的内外部：

（1）点在双曲线的内部.

（2）点在双曲线的外部.

三.双曲线的方程与渐近线方程的关系

（1）若双曲线方程为渐近线方程：

.

（2）若渐近线方程为双曲线可设为.

（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

四．双曲线的简单几何性质

　　－=1（a＞0，b＞0）

⑴范围：

|x|≥a，y∈R

⑵对称性：

关于x、y轴均对称，关于原点中心对称

⑶顶点：

轴端点A1（－a，0），A2（a，0）

⑷渐近线：

①若双曲线方程为渐近线方程

②若渐近线方程为双曲线可设为

③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是

⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是

六.弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。

第二部分典型例题分析

题型1：

运用双曲线的定义

例1.如图所示，为双曲线的左

焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（）

A．9B．16C．18D．27

[解析]，选C

练习：

设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：

|PF2|=3：

2，则△PF1F2的面积为 （）

A． B．12 C． D．24

解析：

①

又②

由①、②解得

直角三角形，

故选B。

题型2求双曲线的标准方程

例2已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．

解：

设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.

又双曲线过点（3，2），∴－=1.

又∵a2+b2=

（2）2，∴a2=12，b2=8.

故所求双曲线的方程为－=1.

1已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；

设双曲线方程为，

当时，化为，，

综上，双曲线方程为或

2.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为

A．B．

C．（x>

0）D．

[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

题型3与渐近线有关的问题

例3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是

A．B．C．D．

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B

过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是

设所求双曲线为点（1，3）代入：

.代入

（1）：

即为所求.

题型4弦中点问题——设而不求法

例4.双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）

A.B.C.D.

解:

设弦的两端分别为.则有：

∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.

则所求直线方程为：

，故选C.

1.在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？

如果存在，求弦所在的直线方程；

如不存在，请说明理由.

【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：

A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：

∵M（1，1）为弦AB的中点，

∴

故存在符合条件的直线AB，其方程为：

这个结论对不对呢？

我们只须注意如下两点就够了：

其一：

将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；

其二：

所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.

【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

这里，故方程

（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

结论；

不存在符合题设条件的直线.

2.已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？

若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

设符合题意的直线存在，并设、

则﹙1﹚得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将（4）、（5）代入（3）得

若，则直线的斜率，其方程为

得根据,说明所求直线不存在。

3.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P（6，6）

（1）求双曲线方程

（2）动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论

解

（1）如图，设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为=1

（2）P、A1、A2的坐标依次为（6,6）、（3，0）、（－3，0），∴其重心G的坐标为（2，2）

假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，设M（x1,y1），N（x2,y2）则有

，∴kl=∴l的方程为

y=（x－2）+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0∵Δ=16－4×

28＜0,∴所求直线l不存在

题型5综合问题

1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.

（Ⅰ）求双曲线C的方程

（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围

解

（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得

故双曲线的方程为.

（2）将代入得

由直线与双曲线交与不同的两点得

即且.①设，则

，由得，

而

于是，即解此不等式得②

由①+②得

故的取值范围为

2.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。

（Ⅰ）求ｋ的取值范围；

（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。

（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为

设，由题意建立方程组

消去，得，有

解得

∵

依题意得，整理后得

∴或，但∴

故直线的方程为

设，由已知，得

∴，

又，

∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴，点的坐标为，到的距离为

∴的面积

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