圆锥曲线的综合经典例题有答案解析.docx
《圆锥曲线的综合经典例题有答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线的综合经典例题有答案解析.docx（41页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
圆锥曲线的综合经典例题有答案解析
经典例题精析
类型一：
求曲线的标准方程
1.求中心在原点,一个焦点为
且被直线
截得的弦AB的中点横坐标为
的椭圆标准方程.
思路点拨：
先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定
、
（定量）.
解析：
方法一：
因为有焦点为
，
所以设椭圆方程为
，
由
，消去
得
，
所以
解得
故椭圆标准方程为
方法二：
设椭圆方程
因为弦AB中点
所以
，
由
得
（点差法）
所以
又
故椭圆标准方程为
.
举一反三：
【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为
.求该椭圆的标准方程.
【答案】依题意设椭圆标准方程为
（
），
并有
，解之得
，
∴椭圆标准方程为
2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线
有共同的渐近线，且过点
；
（2）与双曲线
有公共焦点，且过点
解析：
（1）解法一：
设双曲线的方程为
由题意，得
，解得
，
所以双曲线的方程为
解法二：
设所求双曲线方程为
（
），
将点
代入得
，
所以双曲线方程为
即
（2）解法一：
设双曲线方程为
－
=1
由题意易求
又双曲线过点
，∴
又∵
，∴
，
故所求双曲线的方程为
.
解法二：
设双曲线方程为
，
将点
代入得
，
所以双曲线方程为
.
总结升华：
先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定
、
.在第
（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第
（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.
（1）求双曲线的方程，关键是求
、
，在解题过程中应熟悉各元素（
、
、
、
及准线）之间的
关系，并注意方程思想的应用.
（2）若已知双曲线的渐近线方程
，可设双曲线方程为
（
）.
举一反三：
【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）一渐近线方程为
，且双曲线过点
.
（2）虚轴长与实轴长的比为
，焦距为10.
【答案】
（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是
故设双曲线方程为
，
∵点
在双曲线上，
∴
，解得
，
∴所求双曲线方程为
.
（2）由已知设
则
（
）
依题意
，解得
.
∴双曲线方程为
或
.
3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点
；
（2）焦点在直线
：
上
思路点拨：
从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论
解析：
（1）∵点
在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左
当抛物线开口方向左时，
设所求的抛物线方程为
（
），
∵过点
，∴
，
∴
，∴
，
当抛物线开口方向上时，
设所求的抛物线方程为
（
），
∵过点
，∴
，
∴
，∴
，
∴所求的抛物线的方程为
或
，
对应的准线方程分别是
，
.
（2）令
得
，令
得
，
∴抛物线的焦点为
或
当焦点为
时，
，∴
，
此时抛物线方程
；
焦点为
时，
，∴
，
此时抛物线方程为
∴所求的抛物线的方程为
或
，
对应的准线方程分别是
，
.
总结升华：
这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.
举一反三：
【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）焦点为F（4,0）；
（2）准线为
；
（3）焦点到原点的距离为1；
（4）过点（1，－2）；
（5）焦点在直线x-3y+6=0上.
【答案】
（1）所求抛物线的方程为y2=16x；
（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；
（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；
（4）所求抛物线的方程为
或
；
（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.
【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在
轴负半轴上，过顶点且倾角为
的弦长为
，求抛物线的方程.
【答案】设抛物线方程为
（
），又弦所在直线方程为
由
，解得两交点坐标
∴
，解得
.
∴抛物线方程为
.
类型二：
圆锥曲线的焦点三角形
4．已知
、
是椭圆
（
）的两焦点，P是椭圆上一点，且
，求
的面积.
思路点拨：
如图求
的面积应利用
，即
.关键是求
.由椭圆第一定义有
由余弦定理有
，易求之.
解析：
设
依题意有
（1）2-
（2）得
，
即
.
∴
.
举一反三：
【变式1】设
为双曲线
上的一点，
是该双曲线的两个焦点，若
，则
的面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】依据双曲线的定义有
，
由
得
、
，
又
，则
，即
，
所以
，故选A.
【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点
的弦交左半支于
、
两点，且
，设右焦点
，求
的周长.
【答案】：
由双曲线的定义有:
，
，
两式左、右分别相加
得（
.
即
∴
.
故
的周长
.
【变式3】已知椭圆的焦点是
直线
是椭圆的一条准线.
①求椭圆的方程；
②设点P在椭圆上,且
求
.
【答案】
①
.
②设
则
，
又
.
【变式4】已知双曲线的方程是
.
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设
和
是双曲线的左、右焦点，点
在双曲线上，且
，求
的大小
【答案】
（1）由
得
，
∴
，
，
.焦点
、
，离心率
，渐近线方程为
.
（2）
，
∴
∴
【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点
和
，且
，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比
.
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）若
为这两曲线的一个交点，求
的余弦值.
【答案】
（1）设椭圆方程为
（
），双曲线方程
，
则
，解得
∵
∴
.
故所求椭圆方程为
，双曲线方程为
.
（2）由对称性不妨设交点
在第一象限.设
、
.
由椭圆、双曲线的定义有:
解得
由余弦定理有
.
类型三：
离心率
5．已知椭圆上的点
和左焦点
，椭圆的右顶点
和上顶点
，当
，
（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
思路点拨：
因为
，所以本题应建立
、
的齐次方程，使问题得以解决.
解析：
设椭圆方程为
（
），
，
，
则
，即
.
∵
，∴
，
即
，∴
.
又∵
，
∴
.
总结升华：
求椭圆的离心率，即求
的比值，则可由如下方法求
.
（1）可直接求出
、
；
（2）在不好直接求出
、
的情况下，找到一个关于
、
的齐次等式或
、
用同一个量表示；
（3）若求
的取值范围，则想办法找不等关系.
举一反三：
【变式1】如图，
和
分别是双曲线
的两个焦点，
和
是以
为圆心，以
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】连接
，则
是直角三角形，且
，
令
，则
，
，
即
，
，
所以
，故选D.
【变式2】已知椭圆
（
）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且
，求椭圆的离心率.
法一：
∵
∴
又
，代入上式，得
，
利用
代入，消
得
即
由
，解得
∵
∴
.
法二：
在ΔABF中，∵
，
，
∴
，即
下略）
【变式3】如图，椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使
.求椭圆的离心率.
【答案】设椭圆的方程为
（
），焦距为
则直线l的方程为:
由
，消去
得
设点
、
则
∵
＋
∴C点坐标为
.
∵C点在椭圆上,∴
.
∴
∴
又
∴
∴
【变式4】设
、
为椭圆的两个焦点，点
是以
为直径的圆与椭圆的交点，若
，则椭圆离心率为_____.
【答案】如图，点
满足
，且
.
在
中，有：
∵
，∴
令此椭圆方程为
则由椭圆的定义有
∴
又∵
，∴
，
，
∴
∴
，∴
，即
.
6．已知
、
为椭圆的两个焦点，
为此椭圆上一点，且
.求此椭圆离心率的取值范围；
解析：
如图，令
则在
中，由正弦定理
，
∴
，
令此椭圆方程为
（
）,则
∴
即
（
），
∴
∴
∵
且
为三角形内角，
∴
，∴
∴
∴
.
即此椭圆离心率的取值范围为
.
举一反三：
【变式1】已知椭圆
，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使
，求其离心率
的取值范围.
【答案】△F1PF2中，已知
，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：
4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a②
联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴
【变式2】椭圆
的焦点为
，
，两条准线与
轴的交点分别为
，若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】由
得
，即
，解得
，
故离心率
.所以选D.
【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线
交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．
【答案】e∈[
1）
【变式4】双曲线
（a＞1,b＞0）的焦距为2c,直线
过点（a,0）和（0,b）,且点（1,0）到直线
的距离与点（-1,0）到直线
的距离之和s≥
c．求双曲线的离心率e的取值范围．
【答案】直线
的方程为bx+ay-ab=0．
由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点（1,0）到直线
的距离
．
同理得到点（-1,0）到直线
的距离
．
=
．
由s≥
c,得
≥
c,
即5a
≥2c2．
于是得5
≥2e2．
即4e4-25e2+25≤0．
解不等式,得
≤e2≤5．
由于e＞1,
所以e的取值范围是
．
类型五：
轨迹方程
7．已知
中，
为动点，若
、
边上两中线长的和为定值15.求动点
的轨迹方程.
思路点拨：
充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视
解法一：
设动点
且
则
、
边上两中点
、
的坐标分别为
.
∵
∴
即
.
从上式知，动点
到两定点
的距离之和为常数30，
故动点
的轨迹是以
为焦点且
的椭圆，
挖去点
.
∴动点
的轨迹方程是
（
）.
解法二：
设
的重心
，
动点
且
，
则
.
∴
点的轨迹是以
为焦点的椭圆（挖去点
），
且
.
其方程为
（
）.
又
代入上式，得
（
）为所求.
总结升华：
求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.
举一反三：
【变式1】求过定点
且和圆
:
相切的动圆圆心
的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心
动圆半径为
.
（1） 动圆
与圆
外切时，
，
（2）动圆
与圆
内切时，
，
由
（1）、
（2）有
.
∴动圆圆心M的轨迹是以
、
为焦点的双曲线，
且
.
故动圆圆心
的轨迹方程为
.
【变式3】已知圆
的圆心为M1，圆
的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，
由两圆外切的条件可得：
，
.
∴
.
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，
故所求轨迹方程为
.
【变式4】若动圆
与圆
:
相外切，且与直线
:
相切，求动圆圆心
的轨迹方程.
法一：
设
动圆半径
，动圆与直线
切于点
，点
.
依题意点
在直线
的左侧，故
∵
∴
.
化简得
即为所求.
法二：
设
作直线
：
.
过
作
于
，交
于
，
依题意有
∴
由抛物线定义可知，点
的轨迹是以
为顶点，
为焦点，
：
为准线的抛物线.
故
为所求.
升级会员 