奥数之排列组合与概率讲义Word格式文档下载.docx
《奥数之排列组合与概率讲义Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数之排列组合与概率讲义Word格式文档下载.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（4）C,CC,C，CC,Cn,1nnnn,1nnk
n01nknkkkk，1kmn,kC，C，？
，C,C,2;
（5）;
（6）。
C，C，？
，C,CCC,C,nnnnkk,1k，mk，m，1nkn,m,0k
n,17（定理1:
不定方程x+x+„+x=r的正整数解的个数为。
C12nr,1
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x+x+„+x=r的正整数解12n构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。
反之B中每一个解（x,x,„,x）,将x作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,„,n，便得到A的一个装12ni
法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1
n,1个，将球分n份，共有种。
故定理得证。
Cr,1
r推论1不定方程x+x+„+x=r的非负整数解的个数为C.12nn，r,1
推论2从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数
m为C.n，m,1
0n1n,12n,22rn,rrnnn8（二项式定理:
若n?
N,则（a+b）=Ca，Cab，Cab，？
，Cab，？
Cb.其+nnnnn
rn,rrr中第r+1项T=叫二项式系数。
Cab,Cr+1nn
9（随机事件:
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
在大量重复进行同一试验时，事件
mA发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p（A）,0?
n
p（A）?
1.
10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么
m事件A的概率为p（A）=.n
11.互斥事件:
不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。
如果事件A，A，„，A彼12n此互斥，那么A，A，„，A中至少有一个发生的概率为12n
p（A+A+„+A）=p（A）+p（A）+„+p（A）.12n12n
12（对立事件:
事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。
由A定义知p（A）+p（）=1.A
13（相互独立事件:
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
14（相互独立事件同时发生的概率:
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即p（A•B）=p（A）•p（B）.若事件A，A，„，A相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p（A•A•„12n12•A）=p（A）•p（A）•„•p（A）.n12n
15.独立重复试验:
若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
16.独立重复试验的概率:
如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件
kkn-k恰好发生k次的概率为p（k）=•p（1-p）.Cnn
17（离散型随机为量的分布列:
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,„,10。
如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x,x,„,x,„,ξ取每一个值x（i=1,2,„）的概率p（ξ=x）=p，12iiii则称表
ξxxx„x„123i
pppp„p„123i为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=xp+xp+„+xp+„为ξ的数学期望或平均值、均值、1122nn
简称期望，称Dξ=（x-Eξ）2•p+（x-Eξ）2•p+„+（x-Eξ）2p+„为ξ的均方差，简称方差。
叫随机D,1122nn
变量ξ的标准差。
18（二项分布:
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发
kkn,k生k次的概率为p（ξ=k）=,ξ的分布列为Cpqn
ξ01„x„Ni
00n11n,1kkn,knnp„„CpqCpqCpqCpnnnn
此时称ξ服从二项分布，记作ξ,B（n,p）.若ξ,B（n,p），则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.19.几何分布:
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试
1k-1验中该事件发生的概率为p，则p（ξ=k）=qp（k=1,2,„），ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξpq=（q=1-p）.2p
二、方法与例题
1（乘法原理。
例1有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式,[解]将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则;
这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。
第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，„„这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有
（2n）!
（2n-1）×
（2n-3）×
3×
1=.n,2（n!
）
2（加法原理。
例2图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种,
2[解]断路共分4类:
1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R;
2）有2个电阻断路，有-1=5种可C44
3能;
3）3个电阻断路，有=4种;
4）有4个电阻断路，有1种。
从而一共有1+5+4+1=11种可能。
C4
3（插空法。
例310个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式,
6[解]先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个A6
464安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。
A，AA767
4（映射法。
例4如果从1，2，„，14中，按从小到大的顺序取出a,a,a使同时满足:
a-a?
3,a-a?
3，那么所有1232132符合要求的不同取法有多少种,
[解]设S={1,2,„,14}，={1，2，„，10};
T={（a,a,a）|a,a,a?
S,a-a?
S'
1231232132
'
3},T'
={（）?
},若，令S'
|a,a,a,S'
a,a,a（a,a,a）,T'
a,a,a123123123123
，则（a,a,a）?
T,这样就建立了从T'
到T的映射，它显然是单射，a,a,a,a，2,a,a，4123112233
其次若（a,a,a）?
T,令，则，从而此映射也是a,a,a,a,2,a,a,4（a,a,a）,T'
123112233123
3满射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120种。
|T'
|,C10
5（贡献法。
例5已知集合A={1，2，3，„，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。
99[解]设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有2个，所以a对x的贡献为2，又|A|=10。
9所以x=10×
2.
k[另解]A的k元子集共有个，k=1,2,„,10，因此，A的子集的元素个数之和为C10
1210019910×
2。
C，2C，？
，10C,10（C，C，？
，C）,101010999
6（容斥原理。
例6由数字1，2，3组成n位数（n?
3），且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问:
这样的n位数有多少个,
n123[解]用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3，用A，A，A分别表示不含1，不含2，不含3
n，2，3组成的n位数的集合，则|A|=|A|=|A|=2，|AA|=|AA|=|AA|=1。
|AAA|=0。
的由1:
:
123122313123
3n所以由容斥原理|AAA|==3×
2-3.所以满足条件:
|A|,|A:
A|，|A:
A:
A|123,,iij123i,i,j1
nn的n位数有|I|-|AAA|=3-3×
2+3个。
:
123
7（递推方法。
例7用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问:
能构造出多少个这样的n位数,
[解]设能构造a个符合要求的n位数，则a=3，由乘法原理知a=3×
3-1=8.当n?
3时:
1）如果n位数n12
的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2a;
2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是n-1
22或3，这样的n位数有2a，所以a=2（a+a）（n?
3）.这里数列{a}的特征方程为x=2x+2，它的两根为n-2nn-1n-2n
2332，,nn,x=1+,x=1-,故a=c（1+）+c（1+）,由a=3,a=8得，所3333c,c,12n1212122323
1n，2n，2以a,[（1，3）,（1,3）].n43
8（算两次。
r0r1r,12r,2r0例8m,n,r?
N，证明:
?
C,CC，CC，CC，？
，CC.+n，mnmnmnmnm
r[证明]从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种;
另一方面，从这n+m人中选出k位太太与C，nm
kr,kr-k位先生的方法有种，k=0,1,„,r。
所以从这n+m人中选出r位的方法有CCnm
0r1r,1r0种。
综合两个方面，即得?
式。
CC，CC，？
，CCnmnmnm
9（母函数。
例9一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，„，10，另有大、小王各一张，编号均
k为0。
从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值:
每张编号为k的牌计为2分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。
022[解]对于n?
{1,2,„,2004},用a表示分值之和为n的牌组的数目，则a等于函数f（x）=（1+）•xnn
110011222233n（1+）••••„•（1+）的展开式中x的系数（约定|x|<
1），由于f（x）=[（1+）（1+）•„xxxx1，x
10111111222333•（1+）]==。
（1,x）（1,x）x223（1，x）（1,x）（1,x）（1,x）
111n而0?
2004<
2，所以a等于的展开式中x的系数，又由于n22（1,x）（1,x）
1112322k2k=•=（1+x+x+„+x2k+„）[1+2x+3x+„+（2k+1）x+„],所以x在展22221,x（1,x）（1,x）（1,x）
22开式中的系数为a=1+3+5++（2k+1）=（k+1）,k=1,2,„,从而，所求的“好牌”组的个数为a=1003=1006009.2k2004
k10（组合数的性质。
k是奇数（k?
1）.例10证明:
Cm2,1
mmmmmm,,,,k，,,,k（21）（22）？
（211）21222k[证明]=令C,,,,,？
m2,1,,,kk12？
12
tmt,miimpp2,22,i2,tiiii=2•p（1?
i?
k），p为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，,,iitiipp2ii
k因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。
Cm2,1
nnn例11对n?
2,证明:
2,C,4.2n
k222kk[证明]1）当n=2时，2<
=6<
4;
2）假设n=k时，有2<
<
4,当n=k+1时，因为CC24k
[2（k，1）]!
2，（2k，1）!
2（2k，1）k1k，C,,,,C.2（k1）2k，（k，1）!
（k，1）!
k!
k，1
2（2k，1）kk，1kk，1k+12,又<
4，所以2<
.2C,C,4C,42k2（k，1）2kk，1
所以结论对一切n?
2成立。
11（二项式定理的应用。
n1,,例12若n?
N,n?
2，求证:
2,1，,3.,,n,,
n1111,,012nCCC？
C[证明]首先1，,，,，,，，,,2,其次因为,,nnnn2nnnnn,,
n1n（n,1）（n,k，1）11111？
,kC,,,,,,（k,2）1，所以，,,,nkknk!
k（k,1）k,1knn,k!
,
1111111112n2+得证。
C,，？
，C,,2，,，,，？
，,,3,,3.nn2n1223n,1nnnn
nm,hhm，1例13证明:
C,C,C（h,m,n）.,n,kkn，1k,0
m,hn-k[证明]首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是（1+x）的展Cn,k
hm,hhm-hkkn-kk开式中x的系数。
是（1+y）的展开式中y的系数。
从而•就是（1+x）•（1+y）的展开式中CCCkkn,k
m-hhxy的系数。
nn,,mhhnkkm-hh于是，就是展开式中xy的系数。
C,C（1，x）（1，y）,,,nkk,0,0kk
n，1n，1kkkkCx,Cy,,n，1n，1n，1n，1n（1，x）,（1，y）,nkkk,0k,0另一方面，==（1，x）（1，y）,,（1，x）,（1，y）x,y,0k
kkn，1n，1x,ykkkm，1k-1k-2k-1m-hh•=（x+xy+„+y），上式中，xy项的系数恰为。
CxCC,,n，1n，1n，1x,yk,0k,0
nm,hhm，1所以C,C,C.,n,kkn，1k,0
12（概率问题的解法。
例14如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问:
恰好有k件是次品的概率是多少,
n[解]把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为（a+b）（即所有的可
kkn-k能结果）。
设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数为•ab，Cn
kknk,Cabn故所求的概率为p（A）=.na，b（）
例15将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。
[解]设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为
1kk223145-k（1-p）（k=0,1,2,„,5），由题设，且0<
p<
1，化简得，所以Cp（1,p）,Cp（1,p）Cpp,5553
321240,,,,3恰好有3次正面朝上的概率为C，,.,,,,533343,,,,
例16甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问:
在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大,[解]
（1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜:
A—2:
0（甲净胜二局），A—2:
1（前二12
1局甲一胜一负，第三局甲胜）.p（A）=0.6×
0.6=0.36,p（A）=×
0.6×
0.4×
0.6=0.288.C212
因为A与A互斥，所以甲胜概率为p（A+A）=0.648.1212
2
（2）如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜:
B—3:
0（甲净胜3局），B—3:
1（前3局甲2胜1
1负，第四局甲胜），B—3:
2（前四局各胜2局，第五局甲胜）。
因为B，B，B互斥，所以甲胜概率为3122
223222p（B+B+B）=p（B）+p（B）+p（B）=0.6+×
0.6+×
0.6=0.68256.CC12312334
由
（1），
（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。
例17有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2;
B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。
从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。
求:
（1）取出3张卡片都写0的概率;
（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率;
（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。
1211112C,C，C,C,CC,C412231214[解]
（1）;
（3）记ξ为取出的3张卡p,,p,,12122163C,CC,C6767
片的数字之积，则ξ的分布为
ξ0248
37241p42636342
3724132所以E,,0，，2，，4，，8，,.4263634263
三、基础训练题
1（三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。
2（在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。
2，3，„，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。
3（用1，
4（10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。
5（以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。
10006（今天是星期二，再过10天是星期_________。
10037（由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。
（3x，2）
8（如果凸n边形（n?
4）的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。
9（袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k（1?
k?
a+b）次取到黑球的概率为_________。
10（一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，„，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。
11（某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。
他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。
12（马路上有编号为1，2，3，„，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。
13（a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。
iiiinm14（已知i,m,n是正整数，且1<
m?
n。
证明:
（2）（1+m）>
（1+n）.nA,mAmn
n15.一项“过关游戏”规定:
在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2，则算过关。
问:
（1）某人在这项游戏中最多能过几关,
（2）他连过前三关的概率是多少,（注:
骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）
四、高考水平训练题
1（若n?
{1,2,„,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。
22（从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。
3（四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。
4（三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。
5（一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>
1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。
n,,16（将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数,x，,,,42x,,
是整数的项有_________个。
7（从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。
58（二项式（x-2）的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。
9（有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒,（颠倒后相同的算同一种）
10（在1，2，„，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。
111（投掷一次骰子，出现点数1，2，3，„，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率6
为_________。
12（某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m（m?
n）名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。
13（某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）,（粮食单产总产量=）耕地面积
五、联赛一试水平训练题
1（若0<
a<
b<
c<
d<
500，有_________个有序的四元数组（a,b,c,d）满足a+d=b+c且bc-ad=93.2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_________。
3（已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:
A?
A满足:
（1）若i?
j，则f（i）?
f（j）;
（2）若i+j=7，则f（i）+f（j）=7，这样的映射的个数为_________。
4（1，2，3，4，5的排列a,a,a,a,a具有性质:
对于1?
4,a,a,„,a不构成1，2，„，i的某个排1234512i
列，这种排列的个数是_________。
5（骰子的六个面标有1，2，„，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_________，最小值为_________。
6（某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。
7（如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a?
b,b?
c,c?
d,d?
a;
且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数的个数为_________。
abcd
8（如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a,a,a,„,123若a=2005，则a=_________。
nn
升级会员 