第1章 量子理论基础.docx

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第1章量子理论基础

第一章量子理论基础

习题答案

1什么是物质波和它的统计解释？

参考答案:

象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，

代表粒子的几率密度，在时刻t，空间q点附近体积元

内粒子的几率应为

；在整个空间找到一个粒子的几率应为

。

表示波函数具有归一性。

2如何理解合格波函数的基本条件？

参考答案

合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数

代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分

必为一个有限数。

3如何理解态叠加原理？

参考答案

在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q1状态，部分地处于Q2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4测不准原理的根源是什么？

参考答案

根源就在于微观粒子的波粒二象性。

5铝的逸出功是4.2eV，用2000Å的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？

（b）与其相联系的德布罗依波波长是多少？

（c）如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？

参考答案

（a）根据爱因斯坦光电方程

，又

，得光电子动能：

（b）由德布罗依关系式，相应的物质波波长为

（c）由不确定关系式

，若位置不确定量

，则动量不确定量

6波函数e-x（0≤x≤）是否是合格波函数，它归一化了吗？

如未归一化，求归一化常数。

参考答案

没有归一化，归一化因子为

7一个量子数为n，宽度为

的一维势箱中的粒子，①在0~1/4的区域内的几率是多少？

②n取何值时几率最大？

③当n→∞时，这个几率的极限是多少？

参考答案

一维势阱中粒子可用波函数

来描述。

（1）

（2）

（3）

8函数

是不是一维势箱中粒子的可能状态？

如果是，其能量有无确定值？

如果有，是多少？

如果能量没有确定值，其平均值是多少？

参考答案

根据态叠加原理，

是一维势箱中粒子一个可能状态。

能量无确定值。

平均值为

对状态

，若能量有确定值，则应

，E为常数。

又对一维势阱粒子本征态

有

。

？

一维势阱中粒子能量为

，由此可知

。

所以

，

不是能量本征态，能量无确定值。

（3）该状态能量平均值为

？

（注：

同一算符的本征函数有正交归一性，即

）

=

=

9在这些算符

，

exp,

中，那些是线性算符？

参考答案

和

是线性算符.

10下列函数,那些是

的本征函数?

并求出相应的本征值。

（a）eimx（b）sinx（c）x2+y2（d）（a-x）e-x

参考答案

（a）和（b）是

的本征函数，其相应的本征值分别为-m2和-1。

11有算符

求

。

参考答案

根据算符之积的定义