高中数学 142《全称量词与存在量词二量词否定》教案 新人教选修21Word文件下载.docx

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（1）p：

∃x∈R，x2＋2x+2≤0；

（2）p：

有的三角形是等边三角形；

（3）p：

有些函数没有反函数；

（4）p：

存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

（1）∀x∈R，x2＋2x+2>

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：

∀x∈M,有P（x）成立；

其否定命题┓P为：

∃x∈M,使P（x）不成立。

存在性命题P：

∃x∈M，使P（x）成立；

∀x∈M,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:

∀∈M,p（x）否定为⌝P:

∃∈M,⌝P（x）

∃∈M,p（x）否定为⌝P:

∀∈M,⌝P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。

即须遵循下面法则：

否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

词语的否定

不是

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

必有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

所有x不成立

一个也没有

至多有n-1个

至少有两个

存在一个x不成立

存在有一个成立

五、巩固运用

例1写出下列全称命题的否定：

所有人都晨练；

∀x∈R，x2＋x+1>

平行四边形的对边相等；

∃x∈R，x2－x+1＝0；

（1）⌝P：

有的人不晨练；

（2）∃x∈R，x2＋x+1≤0；

（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；

（4）∀x∈R，x2－x+1≠0；

例2写出下列命题的否定。

（1）所有自然数的平方是正数。

（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

（4）有些质数是奇数。

解：

（1）的否定：

有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：

存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：

存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：

所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。

在求解中极易误当为简单命题处理；

这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3写出下列命题的否定。

（1）若x2＞4则x＞2.。

（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）可以被5整除的整数，末位是0。

（4）被8整除的数能被4整除。

（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解

（1）否定：

存在实数，虽然满足＞4，但≤2。

或者说：

存在小于或等于2的数，满足＞4。

（完整表达为对任意的实数x,若x2＞4则x＞2）

（2）否定：

虽然实数m≥0,但存在一个，使+-m=0无实数根。

（原意表达：

对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

）

（3）否定：

存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：

存在一个数能被8整除，但不能被4整除.（原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除）

（5）否定：

存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。

（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。

例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

若x＞y,则5x＞5y；

若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

正方形的四条边相等；

已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

若x＞y，则5x≤5y；

假命题

　　否命题：

若x≤y，则5x≤5y；

真命题

（2）⌝P：

若x2+x﹤2，则x2-x≥2；

若x2+x≥2，则x2-x≥2）；

假命题。

　（3）⌝P：

存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；

否命题：

若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。

（4）⌝P：

存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。

已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。

真命题。

评注：

命题的否定与否命题是完全不同的概念。

其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；

而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；

而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．原命题“若P则q”的形式，它的非命题“若p，则⌝q”；

而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

六、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

七、课后练习

1．命题p：

存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）

A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（）

A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误

3．命题“∀x∈R，x2-x+3>

0”的否定是

4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是

否命题是

5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；

（2）q：

∃∈R，使得x2+x+1≤0；

6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>

1，则方程x2-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若是锐角三角形，则的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若（x-1）（x-2）=0，则x≠1,x≠2．

八、参考答案：

1．B

2．C

3．∃x∈R，x2-x+3≤0

4．否定形式：

末位数是0或5的整数，不能被5整除

否命题：

末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除

5．

（1）⌝p：

∃m∈R，方程x2+x-m=0无实根；

（2）⌝q：

∀∈R，使得x2+x+1>

6．⑴若m>

1，则方程x2-2x+m=0无实数根，（真）；

⑵平方和为0的两个实数不都为0（假）；

⑶若是锐角三角形，则的任何一个内角不都是锐角（假）；

⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0（假）；

⑸若（x-1）（x-2）=0，则或，（真）．

2019-2020年高中数学1.4.2《正切函数的性质与图象》教学设计新人教A版必修4

【教学目标】

1.理解利用正切线作出的正切函数图象.

2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.

3.掌握正切函数的基本性质.

【导入新课】

复习

我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.

新授课阶段

一、正切函数的图象：

当α在第一象限时，

正弦线sinα=BM>

余弦线cosα=OM>

M

正切线tanα=AT>

那么，当α在其他三个象限

的情况呢？

请同学们画

A

x

出其他三个象限的正切线.

O

我们将区间进行

八等分，9个点分别为

分别画出其中

的正切线，

然后利用描点法画出正切函数的大致图象.

Y=tanα，α∈

由正切三角比的诱导公式可知：

那么y=，可知为y=tanx的一个周期.

由此，我们可以画出y=tanx在R上的大致图象如下：

例1

（1）比较tan1670与tan1730的大小;

（2）比较与的大小.

（1）∵900<

1670<

1730<

1800，而y=tanx在900～1800上单调增函数，

∴tan1670<

tan1730.

（2），，

又：

内单调递增，

.

二、正切函数的性质

观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质：

1.定义域：

，

2.值域：

R

观察：

当从小于，时，

当从大于，时，.

3.周期性：

4.奇偶性：

奇函数.

5.单调性：

在开区间内，函数单调递增.

从图象上看出函数y=tanx的单调区间是，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？

考察这个区间内的函数y=tanx的单调性.

在这个区间内任意取，且，y1-y2=tanx1-tanx2

==

因为，所以则cosx1、cosx2>

0，sin（）<

0,从而tanx1-tanx2<

0，y1<

y2.即正切函数y=tanx在上是增函数.由奇函数的性质可知，在上正切函数y=tanx也是增函数.由于y=tanx的周期为，则函数y=tanx在开区间内单调递增.

除了上述证明方法以外，请同学们思考:

对于正切函数y=tanx，你还有什么方法能够证明它在开区间内单调递增吗？

证法2：

在这个区间内任意取，且,tanx1-tanx2=.

因为所以tan（x1-x2）<

0，tanx1≥0，tanx2>

0.因此1+tanx1·

tanx2>

0.

则tanx1-tanx2<

0,tanx1<

tanx2,即正切函数y=tanx在上是增函数.接下来的证明同前一种方法.

[说明]

在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在每一个单调区间上是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？

请同学们思考并说明.

例2讨论函数的性质.

略解：

定义域：

;

值域：

R;

它是非奇非偶函数;

在上是增函数;

令f（x）=tan（x+）=tan（x++）=tan[（x+）+]=f（x+），

因此，函数f（x）的周期是.

例3求下列函数的单调区间：

递增区间为

；

单调递增区间是：

变式训练1：

求函数的单调区间.

因为原函数可以化为：

单调递增区间为：

单调递减区间为

例4求下列函数的周期：

变式训练2：

求解

（）

例5求函数y=tan的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.

令u=3x-,则y=tanu，由u≠可得：

，即函数的定义域是

y=tanu的值域为R，因此y=tan的值域为R.

存在x=和x=-,使tan（3·

-）≠±

tan[3·

（-）-],

所以，y=tan是非奇非偶函数.

由可以得到

∴y=tan在

上是增函数.

令f（x）=y=tan=tan=tan[3（x+）-]=f（x+），

∵f（x）=f（x+），∴函数f（x）=y=tan的周期是.

课堂小结

小结和归纳这节课所学习的内容：

正切函数y=tanx的性质：

全体实数R

周期性：

正切函数是周期函数，

最小正周期T=

奇偶性：

奇函数

单调性：

正切函数在开区间

内都是增函数.

我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.

我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx的周期是的结论，然后再利用周期函数定义f（x）=f（x+T），求出函数的周期.

作业

见同步练习

拓展提升

1.函数的周期是（）

（A）（B）（C）（D）

2.函数的定义域为（）

（A）（B）

（C）

（D）

3.下列函数中,同时满足

（1）在（0,）上递增,

（2）以2为周期,（3）是奇函数的是（）

4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.

5.给出下列命题:

（1）函数y=sin|x|不是周期函数;

（2）函数y=|cos2x+1/2|的周期是π/2;

（3）函数y=tanx在定义域内是增函数;

（4）函数y=sin（5π/2+x）是偶函数;

（5）函数y=tan（2x+π/6）图象的一个对称中心为（π/6,0），

其中正确命题的序号是_______________（注:

把你认为正确命题的序号全填上）.

6.求函数y=lg（1-tanx）的定义域.

参考答案

1.C2.D3.C4.tan2<

tan3<

tan15.

（1）（4）（5）6.