>x
”为真命题.
题型四含有量词的命题的应用
【典例4】 已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
[解] ∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
[变式] 若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解] ∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．
又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，
∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.
∴4－m≥0，即m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．
求参数范围的2类题型
（1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
（2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[针对训练]
4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
[解] 不等式m＋x2－2x＋5>0可化为
m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.
要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围．
[解] 不等式m－（x2－2x＋5）>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝（x－1）2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.
所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．
课堂归纳小结
1．判断全称量词命题的关键：
一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称量词命题的真假的方法：
定义法：
对给定的集合的每一个元素x，p（x）都为真；代入法：
在给定的集合
内找出一个x，使p（x）为假，则全称量词命题为假．
3．判定存在量词命题真假的方法：
代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真，否则命题为假.
1．下列命题中，不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘0都等于0
B．自然数都是正整数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．一定存在没有最大值的二次函数
[解析] D选项是存在量词命题．
[答案] D
2．下列命题中，存在量词命题的个数是（ ）
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．0B．1
C．2D．3
[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．
[答案] B
3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是（ ）
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
[解析] “∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．
[答案] C
4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵对于任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.
[答案] a≤8
5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？
并判断其真假．
（1）∃x∈R，|x|＋2≤0；
（2）存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点．
[解]
（1）存在量词命题．
∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R，
使|x|＋2≤0.故命题为假命题．
（2）存在量词命题．
∵x2＋x＋8＝
2＋
>0，∴命题为假命题．
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
课后作业（八）
复习巩固
一、选择题
1．下列量词是全称量词的是（ ）
A．至少有一个B．存在
C．都是D．有些
[答案] C
2．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
[解析] ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．
[答案] C
3．下列命题是存在量词命题的是（ ）
A．一次函数的图象都是上升的或下降的
B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
[解析] 选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．
[答案] C
4．下列是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2>0B．∀x，y∈R，x2＋y2>0
C．∀x∈Q，x2∈QD．∃x∈Z，使x2>1
[解析] 首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．
[答案] C
5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使
>2
[解析] 只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为
是无理数，而（
）2＝2不是无理数，所以C为假命题．
[答案] A
二、填空题
6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．
[解析] 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.
[答案] ∀x≤0，x3≤0
7．给出下列四个命题：
①y＝
⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．
其中全称量词命题是________．
[解析] ①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．
[答案] ①②④
8．四个命题：
①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
[解析] ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±
时，x2＝2，而±
为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0（x∈R）恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即（x－1）2>0，当x＝1时（x－1）2＝0，故④为假命题．
[答案] 0
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．
（1）存在x，使得x－2≤0；
（2）矩形的对角线互相垂直平分；
（3）三角形的两边之和大于第三边；
（4）有些素数是奇数．
[解]
（1）存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．
（2）全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
（3）全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
（4）存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．
10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
（1）所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
（2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使
x2＋
x＋1是有理数．
[解]
（1）∀x∈R，使x2＋x＋1>0；真命题．
（2）∀a，b∈R，使ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
（3）∃x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．
（4）∀x∈Q，使
x2＋
x＋1是有理数；真命题．
综合运用
11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ）
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∀x∈R，
＝x
D．平面内，不相交的两条直线是平行直线
[解析] A中的命题是全称量词命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C中的命题是全称量词命题，但
＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.
[答案] D
12．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是（ ）
A．∃x∈R，
ax2－bx≥
ax
－bx0
B．∃x∈R，
ax2－bx≤
ax
－bx0
C．∀x∈R，
ax2－bx≥
ax
－bx0
D．∀x∈R，
ax2－bx≤
ax
－bx0
[解析] 由于a>0，令函数y＝
ax2－bx＝
a
2－
，故此函数图象的开口向上，且当x＝
时，取得最小值－
，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝
，故∀x∈R，
ax2－bx≥
ax
－bx0，故选C.
[答案] C
13．已知函数y＝x2＋bx＋c，则“c<0”是“∃x0∈R，使x
＋bx0＋c<0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] ∃x0∈R，使x
＋bx0＋c<0的充要条件是x
＋bx0＋c<0有解，即b2－4c>0,4c＋bx0＋c<0.反之当∃x0∈R，使x
＋bx0＋c<0时，只要4c[答案] A
14．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．
[解析] 依题意，得
即
∴a<－1.
[答案] {a|a<－1}
15．已知命题“∃x∈R,2x＋（a－1）x＋
≤0”是假命题，求实数a的取值范围．
[解] 由题意可得“对∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋
>0恒成立”是真命题，令Δ＝（a－1）2－4<0，得－1
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