最新人教版八年级数学第十五章分式导学案例.docx
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最新人教版八年级数学第十五章分式导学案例
第十五章分式
15.1.1从分数到分式
教学目标
1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．
2．能确定分式有意义的条件．
教学重、难点
分式的概念
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
章引言:
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？
问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船
在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？
顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；
逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．
问题2 这个问题的等量关系是什么？
顺流航行90km所用时间=逆流航行60km所用时间．
问题3 应怎样设未知数？
如何根据等量关系列出方程？
解：
设江水的流速为vkm/h.
依题意得：
追问 式子
与分数有什么相同点和不同点？
它们与你学过的整式有什么不同？
问题4 填空：
（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为cm.
问题4 填空：
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为.
追问1 上面问题中得到的式子
，
，
，
哪些不是我们学过的整式？
追问2 式子
，
，
与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？
二、知识应用，巩固提高
分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式（fraction）.分式
中，A叫做分子，B叫做分母.
问题5我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
为什么？
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
三、应用提高、拓展创新
课本128页练习1、2、3题
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）你能举例说明什么是分式吗？
（3）如何确定分式有意义的条件？
五、布置作业：
教科书习题15.1第2、3题.
15.1.2分式的基本性质（第一课时）
教学目标
1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．
2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．
教学重、难点
分式的基本性质和分式的约分
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 下列分数是否相等？
追问 这些分数相等的依据是什么？
问题2 你能叙述分数的基本性质吗？
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．
问题3 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？
问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
追问1如何用式子表示分式的基本性质？
二、知识应用，巩固提高
追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？
（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；
（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.
例2 填空：
问题5观察上例中
（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？
类比分数的相应变形，你联想到什么？
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
例3约分:
追问1 由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？
追问2 如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？
三、应用提高、拓展创新
教科书132页练习1
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）运用分式的基本性质时应注意什么？
（3）分式约分的关键是什么？
如何找公因式？
（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？
五、布置作业：
教科书习题15.1第4、6题.
15.1.2分式的基本性质（第二课时）
教学目标
1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.
2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.
教学重、难点
准确确定分式的最简公分母
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 通分：
追问1 分数通分的依据是什么？
追问2 如何确定异分母分数的最小公分母？
问题2 填空：
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分
式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
追问1 你认为分式通分的关键是什么？
分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.
追问2 上面问题中的两个分式的公分母是什么？
为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
追问3 两个分式的最简公分母是如何确定的？
最简公分母的确定方法：
取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．
分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：
先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
二、知识应用，巩固提高
例 通分：
三、应用提高、拓展创新
教科书132页练习2
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）分式通分的关键是什么？
（3）分式通分时，确定最简公分母的方法是什么？
五、布置作业：
教科书习题15.1第7题
15.2.1分式的乘除（第一课时）
教学目标
1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.
2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理
教学重、难点
分式的乘除法法则的运用
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的
时，水面的高度为多少？
（1）这个长方体容器的高怎么表示？
（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？
容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等.
问题2 大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？
（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？
观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？
你能用学过的运算法则求出结果吗？
问题3计算：
在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？
你能叙述这个法则吗？
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
二、知识应用，巩固提高
分式的乘除法法则
如何用文字语言来描述？
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
例1 计算：
三、应用提高、拓展创新
教科书138页练习2
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么区别和联系？
五、布置作业：
教材习题15.2第1题；
15.2.1分式的乘除（第二课时）
教学目标
1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.
2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.
教学重、难点
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
例1 计算：
练习1 计算:
思考 你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
猜想：
n为正整数时
?
你能写出推导过程吗？
试试看．
你能用文字语言叙述得到的结论吗？
分式的乘方法则：
一般地，当n是正整数时，
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
二、知识应用，巩固提高
例2 计算：
例3 计算：
分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？
练习2 计算：
三、应用提高、拓展创新
教科书139页练习1，2题
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）运用分式乘方法则计算的步骤是什么？
它与整式的乘方运算有什么区别和联系？
（3）分式的乘方与乘除混合运算的运算顺序是什么？
五、布置作业：
教科书习题15.2第3题．
15.2.2分式的加减（第一课时）
教学目标
1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．
2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．
教学重、难点
分式的加减法法则
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：
km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
（1）什么是增长率？
（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？
（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
二、知识应用，巩固提高
例 计算：
三、应用提高、拓展创新
课本141页练习1，2题
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？
（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？
五、布置作业：
教科书习题15.2第4、5题．
15.2.2分式的加减（第二课时）
教学目标
1．理解分式混合运算的顺序．
2．会正确进行分式的混合运算．
3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．
教学重、难点
分式的混合运算．
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题 数的混合运算的顺序是什么？
你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
分式的混合运算顺序：
“从高到低、从左到右、括号从小到大”．
例1计算：
这道题的运算顺序是怎样的？
通过对例1的解答，同学们有何收获？
对于不带括号的分式混合运算：
（1）运算顺序：
先乘方，再乘除，然后加减；
（2）计算结果要化为最简分式．
二、知识应用，巩固提高
例2计算：
通过对例2的解答，同学们有何收获？
对于带括号的分式混合运算：
（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；
（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；
（3）计算结果要化为最简分式．
三、应用提高、拓展创新
练习1 计算：
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）分式混合运算的顺序是什么？
我们是怎么得到它的？
（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？
五、布置作业：
教科书习题15.2第6题．
15.2.3整数指数幂
教学目标
1．了解负整数指数幂的意义．
2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．
3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数．
教学重、难点
幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1你们还记得正整数指数幂的意义吗？
正整数指数幂有哪些运算性质呢？
将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？
问题2 am中指数m可以是负整数吗？
如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
（1）根据分式的约分，当a≠0时，如何计算
？
（2）如果把正整数指数幂的运算性质
（a≠0，m，n是正整数，m>n）中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像
情形也能使用，如何计算？
数学中规定：
当n是正整数时，
这就是说，
是an的倒数．
问题3 引入负整数指数和0指数后，
（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？
问题4类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？
（1）
（m，n是整数）；
（2）
（m，n是整数）；
（3）
（n是整数）；（4）
（m，n是整数）；
（5）
（n是整数）．
二、知识应用，巩固提高
例1 计算：
三、应用提高、拓展创新
问题5 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1）
（m，n是整数）；
（2）
（m，n是整数）；
（3）
（n是整数）；
探索：
归纳：
如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？
规律：
对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
例2用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；
（2）-0.00078；（3）0.00002009.
例3纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm=10-9m．把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？
五、布置作业：
教科书习题15.2第7、9题
15.3分式方程（第一课时）
教学目标
1．了解分式方程的概念．
2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．
3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．
教学重、难点
利用去分母的方法解分式方程
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程
．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
追问1 方程
与上面的方程有什么共同特征？
分母中含有未知数．
分式方程的概念：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
追问2 你能再写出几个分式方程吗？
注意：
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
问题2你能试着解分式方程
吗？
问题3这些解法有什么共同特点？
总结：
这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．
思考：
（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
（4）这样做的依据是什么？
总结：
（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
追问 你得到的解
是分式方程
的解吗？
二、知识应用，巩固提高
问题4 解分式方程：
追问1 你得到的解
是分式方程
的解吗？
该如何验证呢？
是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
追问2 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程
的解
是分式方程
的解，而整式方程
的解
却不是分式方程
的解？
原因：
在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．
检验的方法主要有两种：
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
显然，第2种方法比较简便！
问题5你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？
解分式方程应该注意什么？
基本思路 将分式方程化为整式方程一般步骤：
（1）去分母；
（2）解整式方程；
（3）检验．
注意：
由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．
三、应用提高、拓展创新
例 解下列方程：
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？
解分式方程应该注意什么？
五、布置作业：
教科书习题15.3第1
（1）～（4）题．
15.3分式方程（第二课时）
教学目标
1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系数的分式方程．
2．能够列分式方程解决简单的实际问题．
3．通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．
教学重、难点
分式方程的解法
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
例1解方程
解分式方程的步骤：
（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）检验．
用框图的方式总结为：
二、知识应用，巩固提高
例2解关于x的方程
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
三、应用提高、拓展创新
某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25％，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）解分式方程的一般步骤有哪些？
关键是什么？
解方程的过程中要注意的问题有哪些？
（3）列分式方程解应用题的步骤是什么？
与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？
五、布置作业：
教科书习题15.3第1（5）（6）（7）（8）题．
15.3分式方程（第三课时）
教学目标
列分式方程解决实际问题．
教学重、难点
列分式方程解实际问题．
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4元/件，他用17600元购进2倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？
分析：
二、知识应用，巩固提高
例2 某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？
思考：
（1）这个问题中的已知量有哪些？
未知量是什么？
（2）你想怎样解决这个问题？
关键是什么？
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）.
上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．例2中列出的方程是以x为未知数的分式方程，其中v，s是已知常数，
根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．
三、应用提高、拓展创新
练习1 商场用50000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．
练习2 八年级学生去距学校skm的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了tmin后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．
四、归纳小结
（1）借助分式方程解决实际问题时，应把握哪些主要问题？
（2）本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？
举例说明．
五、布置作业：
教科书习题15.3第4、5、7题．
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