高考数学总复习教案85空间几何体的表面积和体积 高考Word文档下载推荐.docx
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1×
1＝，高为AB＝2，所以这个四面体的体积为V＝S△ECF·
AB＝×
×
2＝.
5.（必修2P69复习题5改编）若长方体三个面的面积分别为，，，则此长方体的外接球的表面积是________．
6π
设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为R＝＝，外接球的表面积为S＝4π＝6π.
1.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧＝ch，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．柱体的体积公式是V柱体＝Sh．
2.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，该棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面积公式是S正棱锥侧＝ch′；
锥体的体积为V锥体＝Sh．
3.正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S正棱台侧＝（c＋c′）·
h′；
台体的体积公式是V台体＝h（S＋＋S′）．
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；
圆柱的侧面积公式是S圆柱侧＝cl＝2πr，圆锥的侧面积公式为S圆锥侧＝cl＝πrl，圆台的侧面积公式为S圆台侧＝（c＋c′）l＝π（r＋r′）l．
5.球体的体积公式是V球＝πR3，其中R为球的半径．
[备课札记]
题型1 与几何体的表面积有关的问题
例1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．
（18＋24）π
设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为＝2，圆锥底面面积为S1＝π·
（2）2＝24π，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S2＝π×
2×
3＝18π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝18π＋24π＝（18＋24）π.
如图，在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．
解：
如题图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d，在三棱锥PABC中，
∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，
∴AB＝AC＝BC＝a，
且点P在△ABC内的射影是△ABC的中心O′，
由正弦定理，得＝2r，∴r＝a.
又根据球的截面圆性质，有OO′⊥平面ABC，
而PO′⊥平面ABC，
∴P、O、O′三点共线，球的半径R＝.
又PO′＝＝＝a，
∴OO′＝R－a＝d＝，
∴＝R2－，解得R＝a.
∴S球＝4πR2＝3πa2.
题型2 与几何体体积有关的问题
例2 如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°
，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．
（1）求证：
DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．
图①
图②
（1）证明：
在题图①中，
∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°
，∴∠ACB＝60°
.
∵CD为∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ACD＝30°
.∴CD＝2.
∵CE＝4，∠DCE＝30°
，∴DE＝2.
则CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°
.DE⊥DC.
在题图②中，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE平面ACD，∴DE⊥平面BCD.
（2）解：
在题图②中，∵EF∥平面BDG，EF
平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.
∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，
∴AE＝EG＝CG＝2.
作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，
∴BH⊥平面ACD.由条件得BH＝.
S△DEG＝S△ACD＝×
AC·
CD·
sin30°
＝.
三棱锥B-DEG的体积V＝S△DEG·
BH＝×
在△ABC中，∠BAC＝90°
，∠B＝60°
，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图①）．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C（如图②）．
（1）若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；
（2）记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：
HF∥l；
（3）求证：
AD⊥B′E.
（1）解：
在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°
，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝，B′O＝.所以S△ADC＝×
＝.所以三棱锥B′ADC的体积为V＝×
S△ADC×
B′O
（2）证明：
因为H为B′C的中点，F为CE的中点，所以HF∥B′E.又HF平面B′ED，B′E平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因为HF
平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.
（3）证明：
连结EO，由
（1）知，B′O⊥AD.
因为AE＝，AO＝，∠DAC＝30°
，
所以EO＝＝.
所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO.
又B′O
平面B′EO，EO
平面B′EO，B′O∩EO＝O，
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E
平面B′EO，所以AD⊥B′E.
题型3 简单几何体的综合应用
例3 （2013·
徐州调研）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？
最大容积是多少？
设箱底边长为x，则箱高为h＝×
（0<
x<
a），
箱子的容积为V（x）＝x2×
sin60°
h＝ax2－x3（0<
a）．
由V′（x）＝ax－x2＝0，解得x1＝0（舍），x2＝a，
且当x∈时，V′（x）>
0；
当x∈时，V′（x）<
0，
所以函数V（x）在x＝a处取得极大值，
这个极大值就是函数V（x）的最大值：
V＝a×
－×
＝a3.
答：
当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
（1）求该四面体的体积的最大值；
（2）当四面体的体积最大时，求其表面积．
（1）如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，
∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝·
S△BPC·
AP＋S△BPC·
PD＝·
AD＝·
·
a·
x
＝≤·
＝a3（当且仅当x＝a时取等号）．
∴该四面体的体积的最大值为a3.
（2）由
（1）知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，
∴S表＝2×
a2＋2×
a×
＝a2＋a×
＝a2＋＝a2.
【示例】 （本题模拟高考评分标准，满分14分）
如图，底面边长为a，高为h的正三棱柱ABC-A1B1C1，其中D是AB的中点，E是BC的三等分点．求几何体BDEA1B1C1的体积．
学生错解：
解∵BD＝，BE＝，∠DBE＝60°
∴S△DBE＝BD·
BEsin∠DBE＝a2，S△A1B1C1＝·
A1B1·
B1C1sin60°
＝a2.
由棱台体积公式得
VBDEA1B1C1＝h（S△BDE＋S△A1B1C1＋）
＝h
＝a2h.
审题引导：
（1）弄清组合体的结构，这里几何体DBEA1B1C1不是棱台，也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台；
（2）运用体积公式进行计算．
规范解答：
如图，取BC中点F，连结DF、C1D、C1E、C1F，得正三棱台DBFA1B1C1及三棱锥C1DEF.
∵S△A1B1C1＝a2，
S△DBF＝S△ABC＝a2，（4分）
∴VDBFA1B1C1＝h（S△DBF＋S△A1B1C1＋）
＝h（a2＋a2＋）＝a2h.（8分）
∴VC1DEF＝h·
a2＝a2h，（10分）
∴VBDEA1B1C1＝VDBFA1B1C1VC1DEF＝a2h－a2h＝a2h.（14分）
错因分析：
没有弄清所给几何体的结构，几何体DBEA1B1C1不是棱台．
1.（2013·
南京调研）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.
13
根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13（cm）．
2.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．
设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l＝18cm，由αl＝2πr，代入数据即可得π×
18＝2πr，解得r＝12cm，因此所求角的余弦值即为＝＝.
济南模拟改）如图所示，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是________．
36π
在正三棱锥S-ABC中，易证SB⊥AC，又MN∥BS，∴MN⊥AC.∵MN⊥AM，
∴MN⊥平面ACM.∴MN⊥SC，∴∠CSB＝∠CMN＝90°
，即侧面为直角三角形，底面边长为2.此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则（2－R）2＋＝R2，∴R＝3，∴外接球的表面积是36π.
4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：
在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．（注：
①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；
②一尺等于十寸）
3
本题考查圆台的体积公式．做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF＝14（单位寸，下同），OC＝6，OF＝18，OG＝9，即G是OF中点，所以GE为梯形的中位线，所以GE＝＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为（100π＋36π＋）＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以＝3，即平地降雨量是3寸．
5.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
CE⊥平面PAD；
（2）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°
，求四棱锥P-ABCD的体积．
因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，
所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，
所以CE⊥平面PAD.
由
（1）可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·
cos45°
＝1，CE＝CD·
sin45°
＝1.
因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．
所以SABCD＝SABCE＋S△ECD＝AB·
AE＋CE·
DE＝1×
2＋×
1＝.
又PA⊥平面ABCD，PA＝1，
所以VP-ABCD＝SABCD·
PA＝×
福州模拟）如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．
三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为×
2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
48
因为球的体积为π，柱体的高为2r＝4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r＝2，所以底面边长a＝4，所以V柱＝×
（4）2×
4＝48.
杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°
，∠ADC＝135°
，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
由已知得CE＝2，DE＝2，CB＝5，
S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π（2＋5）×
5＋π×
25＋π×
2＝（60＋4）π，V＝V圆台－V圆锥＝（π·
22＋π·
52＋）×
4－π×
22×
4.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？
并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）．
由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr（1.2－2r）＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π（r2－0.8r）＝－3π（r－0.4）2＋0.48π.∴当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．
1.几何体体积的求法：
（1）若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体，可直接套用公式计算求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征，弄清组合体的结构十分必要．
2.求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法：
选择恰当的棱或母线将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离．
请使用课时训练（B）第5课时（见活页）．
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