高考数学一轮复习空间几何体的结构及其三视图和直观图.docx
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高考数学一轮复习空间几何体的结构及其三视图和直观图
第
章 立体几何初步
第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
[考纲传真] （教师用书独具）1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
（对应学生用书第91页）
[基础知识填充]
1．简单多面体的结构特征
（1）棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
（2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
（3）棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2．旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3.空间几何体的三视图
（1）三视图的名称
几何体的三视图包括：
正视图、侧视图、俯视图．
（2）三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．
4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
[知识拓展]
1．底面是梯形的四棱柱，侧放后易被误认为是四棱台．
2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下．
S直观图＝
S原图形，S原图形＝2
S直观图．
[基本能力自测]
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（ ）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（ ）
（3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.（ ）
（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．（教材改编）如图7 1 1，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是（ ）
图7 1 1
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱D．简单组合体
C [由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]
3．（2018·兰州模拟）如图7 1 2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
【导学号：
79170224】
图7 1 2
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
B [由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，
经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．]
4．（2016·天津高考）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图7 1 3所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
图7 1 3
B [由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，
故其侧（左）视图为图②.]
5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．
2π [由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，
所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]
（对应学生用书第92页）
空间几何体的结构特征
（1）下列说法正确的是（ ）
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
（2）以下命题：
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
（1）B
（2）B [
（1）如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．
① ②
根据棱台的定义，可知C，D不正确．
（2）由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．]
[规律方法] 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
3．因为棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
[变式训练1] 下列结论正确的是（ ）
【导学号：
79170225】
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
D [如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．
① ②
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
由母线的概念知，选项D正确．]
空间几何体的三视图
角度1 由空间几何体的直观图判断三视图
（1）（2018·肇庆模拟）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）
（2）（2018·秦皇岛模拟）如图7 1 4，在图
（1）的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为CD、BC的中点，将图
（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图
（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）【导学号：
79170226】
图7 1 4
（1）C
（2）D [
（1）由题意该四棱锥的直观图如下图所示：
则其三视图如图：
（2）依次找出图
（2）中各顶点在投影面上的正投影，可知该几何体的侧视图为
]
角度2 已知三视图，判断几何体
（1）某四棱锥的三视图如图7 1 5所示，该四棱锥最长棱棱长为
（ ）
图7 1 5
A．1 B．
C．
D．2
（2）（2018·内江模拟）如图7 1 6，已知三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝
，侧面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（ ）
图7 1 6
A．
，1，
B．
，1,1
C．2,1，
D．2,1,1
（1）C
（2）B [
（1）由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABCD.
又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，
所以PC为最长棱．
连接AC，则PC＝
＝
＝
.
（2）由题意知，x是等边△PAB边AB上的高，x＝2sin60°＝
，
y是边AB的一半，y＝
AB＝1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z＝
AB＝1；
∴x，y，z分别是
，1,1.]
[规律方法] 1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．
2．根据三视图还原几何体．
（1）对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
（2）明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．
（3）根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
易错警示：
对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．
空间几何体的直观图
（1）（2017·桂林模拟）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A．
a2 B．
a2
C．
a2 D.
a2
（2）（2018·广安模拟）如图7 1 7所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________.
【导学号：
79170227】
图7 1 7
（1）D
（2）2＋
[
（1）如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝
OC＝
a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝
O′C′＝
a，
所以S△A′B′C′＝
A′B′·C′D′＝
×a×
a＝
a2.
（2）根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD＝1，高AB＝2A′B′＝2，下底为BC＝1＋
，
∴
×2＝2＋
.]
[规律方法] 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（两坐标轴成45°或135°）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变）来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．
2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝
S原图形．
[变式训练2]
（1）（2018·南昌模拟）如图7 1 8，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是（ ）
图7 1 8
A．4B．6
C．8D．10
（2）已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝
，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．【导学号：
79170228】
（1）D
（2）
[
（1）以C为原点，以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，在x轴上取点A，使得CA＝C′A′＝6，
在y轴上取点B，使得BC＝2B′C′＝8，则AB＝
＝10.
（2）如图所示：
因为OE＝
＝1，所以O′E′＝
，E′F＝
，
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝
×
＝
.]
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